2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:53 
Аватара пользователя


13/08/13
4093
arseniiv
Да, те каждая новая ось поворота определяется относительно новой сместившейся системы координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
Вы правы, но насколько я понимаю ТС надо написать программу, поэтому на конечных (достаточно малых) временных интервалах плоскости вращений можно фиксировать. Впрочем, можно поискать и точное решение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27150
Просто epros как раз не хочет (я бы тоже не хотел :-)) умножать много-много раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8619
lek в сообщении #1044875 писал(а):
Можно связать этот вектор с кватернионом $q(t)=\cos\frac{\phi}{2}+\vec{n}\sin\frac{\phi}{2}$, где $\phi=\int\limits_0^t|\vec{\omega}(t')|dt'$ и $\vec{n}=\vec{\omega}/|\vec{\omega}|$.
Я мало общался с кватернионами, поэтому мне сейчас идея не очень понятна. В частности, мне непонятно в какой момент мы должны взять вектор $\vec{n}$. Ибо направление угловой скорости в момент $t$, очевидно, ничего не говорит о направлении интегрального поворота в этот момент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 00:19 
Аватара пользователя


13/08/13
4093
epros
А что насчет спинорного представления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8619
arseniiv в сообщении #1044885 писал(а):
Просто epros как раз не хочет (я бы тоже не хотел :-)) умножать много-много раз.
Идеально было бы аналитическое решение. Угловая скорость записывается неким полиномом 4-ой степени $t$ . Если бы угол как функцию времени удалось записать пусть не полиномом, то хотя бы какой-нибудь формулкой, то компьютеру было бы уже гораздо легче считать.

-- Чт авг 13, 2015 01:25:47 --

Sicker в сообщении #1044887 писал(а):
А что насчет спинорного представления?
А что можно сделать со спинорным представлением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27150
epros в сообщении #1044888 писал(а):
Идеально было бы аналитическое решение.
Я вот сейчас попросил Mathematica’у решить системку (дифур на предыдущей странице) для угловой скорости, линейно зависящей от времени — не вышло, степени больше даже не пробовал. Но, может быть, вручную всё решится.

-- Чт авг 13, 2015 02:35:29 --

Может, и численное решение той системы будет быстрее умножения для той же точности, но как-то сомнения берут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
Вместо кватернионов можно взять матрицы Паули и рассмотреть спинорное представление, как предлагает Siker. Вектор $\vec{n}_{i}$ фиксируется для всех $t'\in [t_{i-1},t_{i}]\subset [0,t]$, аналогично фиксируется $\phi_{i}$. В результате получаем $q_{i}$, определяющее вращение вокруг оси $\vec{n}_{i}$ на угол $\phi_{i}$. Затем находим произведение $q=q_{1}\dots q_{m}$ и, окончательно, преобразование $\vec{v}\to q\vec{v}q^{-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8619
Честно говоря, пока не вижу, чем все эти варианты представлений лучше тупого вычисления $N$ произведений ортогональных матриц (имеется в виду численное решение посредством разбивки отрезка $[0,t]$ на $N$ кусков).

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27150
https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation#Performance_comparisons: кватернионы умножать друг на друга менее затратно, чем матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 01:06 
Аватара пользователя


13/08/13
4093
epros
Можно еще рассмотреть метрику трехмерного шара, в которой геодезические-прямые линии. Составить диффур движения этой точки а потом провести между начальной и конечной точкой прямую, вычислить ее длину и угол наклона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8619
arseniiv, численное решение -- всё равно численное решение. Для меня нахождение поворота как функции $t$ -- это всего лишь один из промежуточных результатов. И если я здесь вместо более или менее простой формулки буду иметь загадочную компьютерную функцию в виде чёрного ящика, который каждый раз 5 минут жужжит, прежде чем выдать ответ, то это будет грустно...

-- Чт авг 13, 2015 02:17:04 --

Sicker в сообщении #1044894 писал(а):
Можно еще рассмотреть метрику трехмерного шара, в которой геодезические-прямые линии.
Я вот сейчас думаю над гиперсферой, но что-то ничего не придумывается. Т.е. в принципе понятно, что когда у нас есть интегральный поворот (это -- точка на гиперсфере) и текущее значение угловой скорости (а это -- вектор в точке полюса), то можно как-то записать уравнение движения этой точки по гиперсфере. Наверное, из этого должен получится какой-то дифур, который при удачном стечении обстоятельств может быть даже удастся аналитически решить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 01:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27150
epros
Так попробуйте решить дифур $R'(t) = W(t)R(t)$ не численно. Может, кососимметричность матрицы $W$ что-нибудь даёт.

-- Чт авг 13, 2015 03:36:21 --

(Наверно, я ерунду предлагаю…)

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8619
arseniiv в сообщении #1044899 писал(а):
Так попробуйте решить дифур $R'(t) = W(t)R(t)$ не численно.
Ну вот смотрите к чему приводят все эти пробы. Используем, что $(dR) R^{-1} = d(\ln R)$ (??). Интегрируем полученное равенство: $\ln R = \int\limits_0^t W(t') dt'$. Интеграл -- это сумма матриц, поэтому вопросов с некоммутативностью не возникает. Отсюда $R = \exp{\int\limits_0^t W(t') dt'}$. Ничего нового сравнительно с интегралом в первом сообщении, ибо я и так знаю, что если $$W = \omega_x X + \omega_y Y + \omega_z Z,$$ где $X$, $Y$ и $Z$ следующие матрицы генераторов поворотов:
$$X =
\begin{Vmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0
\end{Vmatrix}
\qquad
Y = \begin{Vmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
-1& 0 & 0
\end{Vmatrix}
\qquad
Z = \begin{Vmatrix}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{Vmatrix},$$
а $$\vec{\alpha} = \int\limits_0^t \vec{\omega}(t') dt',$$ то формулой $$R = \exp(\alpha_x X + \alpha_y Y + \alpha_z Z)$$ мы получим указанное выше выражение для $R$ из указанного в первом посте темы интеграла. Здесь матричная экспонента (и, соответственно, матричный логарифм) всего лишь переводит антисимметричную матрицу в соответствующую ортогональную матрицу (и наоборот).

Но проблема-то остаётся всё та же! Матричная экспонента -- это такая хитрая штука, что экспонента от суммы вовсе не обязательно равна произведению экспонент слагаемых. Поэтому порядок, в котором выполняются умножения экспонент от матриц, существенен, хотя порядок, в котором под экспонентой выполняются сложения матриц, ничего не меняет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение13.08.2015, 11:06 


10/02/11
6786
epros в сообщении #1044935 писал(а):
arseniiv в сообщении #1044899

писал(а):
Так попробуйте решить дифур $R'(t) = W(t)R(t)$ не численно. Ну вот смотрите к чему приводят все эти пробы. Используем, что $(dR) R^{-1} = (d \ln R)$ (??). Интегрируем полученное равенство: $\ln R = \int\limits_0^t W(t') dt'$. Интеграл -- это сумма матриц, поэтому вопросов с некоммутативностью не возникает. Отсюда $R = \exp{\int\limits_0^t W(t') dt'}$

О как мы неавтономные линейные системы щелкаем. :mrgreen: Это верно если $W$ коммутирует с $\int W$, чего, вообще говоря, не наблюдается

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group