2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Извиняюсь за тупой вопрос. Вот есть у меня трёхмерный вектор угловой скорости как функция времени: $\vec{\omega}(t)$. А нужно найти трёхмерный поворот как функцию времени. Казалось бы, интегрируем, и все дела: $$\vec{\Omega}(t) = \int\limits_0^t \vec{\omega}(t') dt'.$$ Однако вспоминается, что поворот, строго говоря, не вектор, а линейное преобразование, так что композиция поворотов зависит от порядка аргументов. Совершенно тупой пример: Есть 90 поворотов на 1 градус вокруг оси $x$ и 90 поворотов на 1 градус вокруг оси $y$. Очевидно, что во всех из трёх указанных ниже случаях получим разные результаты:
1) Сначала выполняются все повороты вокруг $x$, потом все повороты вокруг $y$.
2) Сначала выполняются все повороты вокруг $y$, потом все повороты вокруг $x$.
3) Повороты вокруг $x$ и вокруг $y$ выполняются поочерёдно.

Соответственно, вопрос таков: При каких условиях расчёт поворота как функции времени можно свести к указанному выше интегралу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 21:09 
Аватара пользователя


13/08/13
4032
Никакой.
Если хотите третий вариант, то вектора нужно складывать в эллиптическом пространстве.

-- 12.08.2015, 21:14 --

А ну или если все вектора угловой скорости сонаправлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Sicker в сообщении #1044852 писал(а):
вектора нужно складывать в эллиптическом пространстве

Это как? Конкретней можно? Вот мне нужно написать программу. Поворот я могу представить вектором или ортогональной матрицей. Численно находить произведение миллионов ортогональных матриц не хотелось бы. Поэтому хотелось бы найти аналитическое решение (функция $\vec{\omega}(t)$ выражается полиномом).

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27142
https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity#Angular_velocity_tensor?

epros в сообщении #1044848 писал(а):
Соответственно, вопрос таков: При каких условиях расчёт поворота как функции времени можно свести к указанному выше интегралу?
Ничего кроме уже приведённого
Sicker в сообщении #1044852 писал(а):
А ну или если все вектора угловой скорости сонаправлены.
в голову не приходит. Может, есть какие-то специально сконструированные примеры, но вряд ли они часто встречаются среди зависимостей поворота от времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 22:53 
Аватара пользователя


13/08/13
4032
epros в сообщении #1044857 писал(а):
Это как? Конкретней можно?

Рассмотрите трехмерную сферу.
Ваши вектора угловой скорости это бесконечные малые перемещение по этой сфере.
Только бесконечно малому радиану поворота двухмерной сферы соответствует половина этого бесконечно малого перемещения по трехмерной сфере.
А реализовать все это можно умножениями матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27142
Sicker в сообщении #1044863 писал(а):
бесконечно малому радиану
:shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:03 
Аватара пользователя


13/08/13
4032
:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Sicker в сообщении #1044863 писал(а):
А реализовать все это можно умножениями матриц.
Умножения матриц -- это худший вариант численного интегрирования. Неужели нет аналитического решения? У меня угловая скорость описывается полиномом четвёртой степени. Сам-то полином интегрируется легко, но вот с этими миллионами матричных произведений что делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:25 
Аватара пользователя


13/08/13
4032
epros
А что у вас за задача?

-- 12.08.2015, 23:29 --

epros
Ну можно написать метрику трехмерной сферы, и складывать вектора там.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27142
Короче говоря, по тому отрывку получается $R(t) = \exp\int_0^t W(t)\,dt$, если я не намудрил; $R$ — оператор поворота. Наверняка это какой-нибудь классический результат.

UPD. Хм, нет, формула же страдает от тех же недостатков, и тут уже невооружённым глазом видимых, потому что $e^{A+B}=e^Ae^B$ только для коммутирующих $A,B$. В общем, решать надо уравнение $\frac d{dt}R(t) = W(t)R(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
epros в сообщении #1044848 писал(а):
Вот есть у меня трёхмерный вектор угловой скорости как функция времени: $\vec{\omega}(t)$. А нужно найти трёхмерный поворот как функцию времени.

Можно связать этот вектор с кватернионом $q(t)=\cos\frac{\phi}{2}+\vec{n}\sin\frac{\phi}{2}$, где $\phi=\int\limits_0^t|\vec{\omega}(t')|dt'$ и $\vec{n}=\vec{\omega}/|\vec{\omega}|$. Тогда преобразование $\vec{v}\to q\vec{v}q^{-1}$ определяет поворот вектора $\vec{v}$ на угол $\phi$. Кстати, т.к. умножение в алгебре кватернионов некоммутативно, условия 1) - 3) естественно приводят к разным результатам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:36 
Аватара пользователя


13/08/13
4032
arseniiv
Тогда повороты коммутативны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27142
Sicker в сообщении #1044876 писал(а):
Тогда повороты коммутативны.
Обновил пост как раз. Это я неправильно решил дифур. Дифур будет правильным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:38 
Аватара пользователя


13/08/13
4032
lek
Точно)
Еще можно воспользоваться спинорным представлением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости
Сообщение12.08.2015, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27142
lek в сообщении #1044875 писал(а):
Можно связать этот вектор с кватернионом $q(t)=\cos\frac{\phi}{2}+\vec{n}\sin\frac{\phi}{2}$, где $\phi=\int\limits_0^t|\vec{\omega}(t')|dt'$ и $\vec{n}=\vec{\omega}/|\vec{\omega}|$. Тогда преобразование $\vec{v}\to q\vec{v}q^{-1}$ определяет поворот вектора $\vec{v}$ на угол $\phi$.
Получается не совсем тот поворот, т. к. плоскость всего вращения на $[0;t]$ не обязательно совпадает с мгновенной в момент $t$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group