Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости

[epros]

Извиняюсь за тупой вопрос. Вот есть у меня трёхмерный вектор угловой скорости как функция времени: $\vec{\omega}(t)$. А нужно найти трёхмерный поворот как функцию времени. Казалось бы, интегрируем, и все дела:

$$\vec{\Omega}(t) = \int\limits_0^t \vec{\omega}(t') dt'.$$

Однако вспоминается, что поворот, строго говоря, не вектор, а линейное преобразование, так что композиция поворотов зависит от порядка аргументов. Совершенно тупой пример: Есть 90 поворотов на 1 градус вокруг оси $x$ и 90 поворотов на 1 градус вокруг оси $y$. Очевидно, что во всех из трёх указанных ниже случаях получим разные результаты:
1) Сначала выполняются все повороты вокруг $x$, потом все повороты вокруг $y$.
2) Сначала выполняются все повороты вокруг $y$, потом все повороты вокруг $x$.
3) Повороты вокруг $x$ и вокруг $y$ выполняются поочерёдно.

Соответственно, вопрос таков: При каких условиях расчёт поворота как функции времени можно свести к указанному выше интегралу?

[Sicker]

Никакой.
Если хотите третий вариант, то вектора нужно складывать в эллиптическом пространстве.

-- 12.08.2015, 21:14 --

А ну или если все вектора угловой скорости сонаправлены.

[epros]

Sicker в сообщении #1044852 писал(а):

вектора нужно складывать в эллиптическом пространстве

Это как? Конкретней можно? Вот мне нужно написать программу. Поворот я могу представить вектором или ортогональной матрицей. Численно находить произведение миллионов ортогональных матриц не хотелось бы. Поэтому хотелось бы найти аналитическое решение (функция $\vec{\omega}(t)$ выражается полиномом).

[arseniiv]

https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_velocity#Angular_velocity_tensor?

epros в сообщении #1044848 писал(а):

Соответственно, вопрос таков: При каких условиях расчёт поворота как функции времени можно свести к указанному выше интегралу?

Ничего кроме уже приведённого

Sicker в сообщении #1044852 писал(а):

А ну или если все вектора угловой скорости сонаправлены.

в голову не приходит. Может, есть какие-то специально сконструированные примеры, но вряд ли они часто встречаются среди зависимостей поворота от времени.

[Sicker]

epros в сообщении #1044857 писал(а):

Это как? Конкретней можно?

Рассмотрите трехмерную сферу.
Ваши вектора угловой скорости это бесконечные малые перемещение по этой сфере.
Только бесконечно малому радиану поворота двухмерной сферы соответствует половина этого бесконечно малого перемещения по трехмерной сфере.
А реализовать все это можно умножениями матриц.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1044863 писал(а):

бесконечно малому радиану

[Sicker]

[epros]

Sicker в сообщении #1044863 писал(а):

А реализовать все это можно умножениями матриц.

Умножения матриц -- это худший вариант численного интегрирования. Неужели нет аналитического решения? У меня угловая скорость описывается полиномом четвёртой степени. Сам-то полином интегрируется легко, но вот с этими миллионами матричных произведений что делать?

[Sicker]

epros
А что у вас за задача?

-- 12.08.2015, 23:29 --

epros
Ну можно написать метрику трехмерной сферы, и складывать вектора там.

[arseniiv]

Короче говоря, по тому отрывку получается $R(t) = \exp\int_0^t W(t)\,dt$, если я не намудрил; $R$ — оператор поворота. Наверняка это какой-нибудь классический результат.

UPD. Хм, нет, формула же страдает от тех же недостатков, и тут уже невооружённым глазом видимых, потому что $e^{A+B}=e^Ae^B$ только для коммутирующих $A,B$. В общем, решать надо уравнение $\frac d{dt}R(t) = W(t)R(t)$.

[lek]

epros в сообщении #1044848 писал(а):

Вот есть у меня трёхмерный вектор угловой скорости как функция времени: $\vec{\omega}(t)$. А нужно найти трёхмерный поворот как функцию времени.

Можно связать этот вектор с кватернионом $q(t)=\cos\frac{\phi}{2}+\vec{n}\sin\frac{\phi}{2}$, где $\phi=\int\limits_0^t|\vec{\omega}(t')|dt'$ и $\vec{n}=\vec{\omega}/|\vec{\omega}|$. Тогда преобразование $\vec{v}\to q\vec{v}q^{-1}$ определяет поворот вектора $\vec{v}$ на угол $\phi$. Кстати, т.к. умножение в алгебре кватернионов некоммутативно, условия 1) - 3) естественно приводят к разным результатам.

[Sicker]

arseniiv
Тогда повороты коммутативны.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1044876 писал(а):

Тогда повороты коммутативны.

Обновил пост как раз. Это я неправильно решил дифур. Дифур будет правильным.

[Sicker]

lek
Точно)
Еще можно воспользоваться спинорным представлением.

[arseniiv]

lek в сообщении #1044875 писал(а):

Можно связать этот вектор с кватернионом $q(t)=\cos\frac{\phi}{2}+\vec{n}\sin\frac{\phi}{2}$, где $\phi=\int\limits_0^t|\vec{\omega}(t')|dt'$ и $\vec{n}=\vec{\omega}/|\vec{\omega}|$. Тогда преобразование $\vec{v}\to q\vec{v}q^{-1}$ определяет поворот вектора $\vec{v}$ на угол $\phi$.

Получается не совсем тот поворот, т. к. плоскость всего вращения на $[0;t]$ не обязательно совпадает с мгновенной в момент $t$.