закон Архимеда

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1044181 писал(а):

А вот с 3D бруском дело обстоит сложнее

Почему? Всё то же соображение - все силы "Архимеда" (для достаточно большого бруска) сосредоточены только в его нижней части - эквивалентно плаванию на поверхности обычной жидкости. Могут меняться только точные соотношения длин рёбер при которых теряется устойчивость - качествено будет тоже самое.

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1044196 писал(а):

Почему?

Потому что это решение в принципе, а нам хочется просто решение. Даже для куба есть не два, а три симметричных положений равновесия. Плюс вырожденность из-за вращений вокруг вертикальной оси

[Утундрий]

В общем, я тут почертил синусов да игреков и получил следующее решение. Если прямоугольник шире чем выше, то положение шириной вширь устойчиво. Если прямоугольник слегка уже чем выше, то положение шириной в небеси устойчиво. Если прямоугольник уже чем выше на некую трансцендентную числу, то его перевернёт шириной вширь. Бубновый квадрат неустойчив.

[Утундрий]

Да, я традиционно мог ошибиться в арифметике. Поэтому вот формула для сверки:

$$a > 2\sqrt {3b} \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{{e^b - 1}} - \frac{1}{b}} $$

где $a$ - горизонтальней, чем вертикальней, а $b$ - вертикальней, чем горизонтальней. И обе они выражены в таких единицах, чтобы было $p = e^{ - z} $.

[Geen]

Утундрий в сообщении #1044691 писал(а):

Да, я традиционно мог ошибиться в арифметике. Поэтому вот формула для сверки:

$$a > 2\sqrt {3b} \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{{e^b - 1}} - \frac{1}{b}} $$

где $a$ - горизонтальней, чем вертикальней, а $b$ - вертикальней, чем горизонтальней. И обе они выражены в таких единицах, чтобы было $p = e^{ - z} $.

Что-то не то, кажется - если прямоугольник маленький, он, по идее, должен всегда ложиться на длинную сторону...

[Red_Herring]

Утундрий
Т.е. при $b \le a < a_*$ вертикальное и горизонтальное положение устойчивы и между ними имеется неустойчивое наклонное, а вот при $a>a_*$ уже наклонного просто нет и горизонтальное устойчиво, а вертикальное —нет. Так?

[Geen]

Red_Herring в сообщении #1044706 писал(а):

Утундрий
Т.е. при $b \le a < a_*$ вертикальное и горизонтальное положение устойчивы и между ними имеется неустойчивое наклонное, а вот при $a>a_*$ уже наклонного просто нет и горизонтальное устойчиво, а вертикальное —нет. Так?

Нет. При больших размерах короткая сторона может быть устойчивой (за счёт того, что "работает" только малая нижняя часть боковых граней)

[Red_Herring]

Geen в сообщении #1044713 писал(а):

Нет. При больших размерах короткая сторона может быть устойчивой (за счёт того, что "работает" только малая нижняя часть боковых граней)

Я спрашивал Утундрий, который считал

[Утундрий]

Geen в сообщении #1044704 писал(а):

если прямоугольник маленький, он, по идее, должен всегда ложиться на длинную сторону...

Так и есть. Возможно, слишком витиевато сказонул... $a$ - это просто горизонтальный размер.

То есть, пока прямоугольник не слишком вытянут, у него два положения равновесия. Для более вытянутых - одно, горизонтальное. Наклонные (кроме квадрата) пока не смотрел.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1044739 писал(а):

у него два положения равновесия

2 положения устойчивого равновесия и 1 неустойчивого, а когда очень вытянут, то 1 и 1

[Утундрий]

Red_Herring в сообщении #1044744 писал(а):

2 положения устойчивого равновесия и 1 неустойчивого

Это вряд ли, учитывая что фазовое пространство системы - окружность. Неустойчивых положений должно быть тоже два.

[Oleg Zubelevich]

Даже линиаризованные в окрестности положения равновесия уравнения движения -- это система на угол поворота и глубину погружения. Ну никак одной степени свободы не получается. И совершенно неочевидно, что для исследования устойчивости достаточно только рассматривать возмущения угла и не рассматривать возмущения глубины погружения.

-- Ср авг 12, 2015 09:11:02 --

можно такую постановку представить: брусок гвоздиком приколотили за центр где-то в толще жидкости и он крутится вокруг центра без трения о гвоздик. тогда еще куда не шло

-- Ср авг 12, 2015 09:13:47 --

а в общем случае можно представить себе такую ситуацию: при малом возмущении угла, брусок погрузится на немалую глубину, а от этого в нем уже все эти ваши метацентры существенно сместятся и поведение системы даже относительно угла поворота изменится

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #1044748 писал(а):

система на угол поворота и глубину погружения

Глубина погружения, конечно, изменяется. Но это явление всего лишь масштабирует момент и не меняет его знака.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1044747 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1044744 писал(а):

2 положения устойчивого равновесия и 1 неустойчивого

Это вряд ли, учитывая что фазовое пространство системы - окружность. Неустойчивых положений должно быть тоже два.

Я не различал симметричных (иначе все удваивается).

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #1044753 писал(а):

Глубина погружения, конечно, изменяется. Но это явление всего лишь масштабирует момент и не меняет его знака.

вот я беру линеризованное уравнение кинетического момента

$$J_S\ddot\Phi\boldsymbol e_x=\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}\Phi+\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial z}Z$$

($Z,\Phi$ -- возмущения высоты и угла соответственно около положения равновесия $z_*,\phi_*$.)

В этих терминах, Ваше рассуждение выглядит так: если $\frac{\partial M_S(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}<0$ то равновесие устойчиво,
если $\frac{\partial M_S(\phi_*,z_*)}{\partial \phi}>0$ то неустойчиво.
Это было бы верно, если бы не было еще одного слагаемого

-- Ср авг 12, 2015 09:51:50 --

при этом $\frac{\partial \boldsymbol M_S(\phi_*,z_*)}{\partial z}=0$

Все! согласен, из моих уравнений следует тоже самое.