Как в вузах предел функции по Коши определяют

[SomePupil]

Вариант 1: Функция должна быть определена в проколотой окрестности точки. Предел на краю отрезка? Ну, что ж, это не проблема, введем левые и правые пределы. Остаются смутные сомнения насчет функций с хитрой областью определения, но это вроде бы не важно.

Вариант 2: Точка должна быть предельной по отношению к области определения. Все «круто, четко и нормуль». Но: преподу надо быть последовательным – вместе с предельными точками надо ввести внутренние, граничные, изолированные точки, а раз так, то вместе с ними и открытые, замкнутые множества, компакты, идеальные и связные множества. Это уже проблема.

Вариант 3: По-простому, без упоминания никаких окрестностей и предельных точек. Функция в изолированной точке может иметь любой предел, но ведь нас изолированные точки не интересуют, правда?

Какой вариант лучше?

[robot80]

По Коши - это же вроде на языке "эпсилон - дельта" через неравенства? Для любого положительного эпсилон найдётся дельта и тд и тп.... В общем, как у Фихтенгольца...
Через окрестности (тоже по Коши) - это уже модернизация, это Кудрявцев...
Традиционный подход для среднего матфака - первый.

[kp9r4d]

Цитата:

Но: преподу надо быть последовательным – вместе с предельными точками надо ввести внутренние, граничные, изолированные точки, а раз так, то вместе с ними и открытые, замкнутые множества, компакты, идеальные и связные множества. Это уже проблема.

Не вижу в чём тут последовательность.

[SomePupil]

Ну, МФТИшные преподы так не считают (гугл синяя серия Баумана)
К тому же, и в английских учебниках обычно есть азы топологии.

Я задал этот вопрос, потому что заметил одно любопытное обстоятельство: во всех признанных университетах (МГУ, НИУ ВШЭ, Cambridge, MIT...) перед определением предела функции обязательно вводят понятие предельной точки. Это видно и по их учебникам (Зорич, Рудин, Abbott, Ross Kenneth, Robert Bartle...) и по лекциям, выложенным на их сайтах.

К тому же, у меня самого было недостаточное понимание предела функции (что я узнал, когда не смог ответить на хитрые вопросы моего препода об изолированных точках). И вот именно когда я узнал про базовую топологию вещественной оси, ко мне пришло полное понимание предела.

Тут что-то есть.

По мне, определение должно быть максимально точным и должен давать правильные результаты даже для самых ненужных, банальных случаев. Такой максимальной точностью обладает лишь определение с предельными точками.

А каково мнение опытных преподов?

[Nsk]

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1044813 писал(а):

Ну, МФТИшные преподы так не считают (гугл синяя серия Баумана)

А какое отношение синия серия Баумана имеет к МФТИшным преподам?

[Brukvalub]

SomePupil в сообщении #1044813 писал(а):

А каково мнение опытных преподов?

Я преподаю математический анализ более 30 лет и вынужден заметить, что в этом предложении:

SomePupil в сообщении #1044813 писал(а):

По мне, определение должно быть максимально точным и должен давать правильные результаты даже для самых ненужных, банальных случаев. Такой максимальной точностью обладает лишь определение с предельными точками.

не согласован род используемых слов: "определение" - оно (средний род), "должен" - "он" - мужской род. Так писать нельзя!

[ewert]

SomePupil в сообщении #1044507 писал(а):

Вариант 1: Функция должна быть определена в проколотой окрестности точки.

Я лично предпочитаю (и предпочту через месяц) именно этот вариант. Ибо нефиг извращаться без надобности.

[SomePupil]

Brukvalub, в дальнейшем учту

[мат-ламер]

Миша Вербицкий высказался, что из программ по анализу надо изгонять эпсилон-дельта язык и всё надо переводить на язык топологии. Как думаете, насколько в этом есть смысл? По мне так ерунда всё это.

[Oleg Zubelevich]

я уже приводил примеры, Миша иногда довольно грубые ошибки и несуразицы лепит и именно в анализе. Интересно, как он полноту собирается определять в чисто топологических терминах

[Mikhail_K]

Другой вопрос: а почему вообще предел функции определяют по её значениям в проколотой окрестности, а через последовательности - сходящиеся к данной точке, но не содержащие её? Это представляется несколько неестественным. Почему бы не определять предел функции через последовательности - любые, сходящиеся к данной точке, и по Коши - по значениям в целой окрестности точки (а не в проколотой)?

Конечно, тогда кое-что изменится. Например, предел функции в точке будет обязан совпадать с её значением в этой точке, в том случае, если существуют и предел, и значение.
Но по-моему, предел функции - вообще не такое уж важное понятие. Важнее предел последовательности, а для функций - непрерывность, возможно верхний и нижний пределы (тоже предлагаю определять с учётом самой точки). Колебание функции, которое вводится вместо верхних и нижних пределов для отображений метрических пространств, определяется уже без всяких проколотых окрестностей. И не понятно, зачем вообще их прокалывать.

[ex-math]

Затем, что если у нас устранимый разрыв, то предел не будет существовать и мы потеряем информацию о поведении функции.

[Nemiroff]

Mikhail_K в сообщении #1047812 писал(а):

Почему бы не определять предел функции через последовательности - любые, сходящиеся к данной точке, и по Коши - по значениям в целой окрестности точки (а не в проколотой)?

Потому что это бесполезная конструкция.

[Mikhail_K]

ex-math в сообщении #1047814 писал(а):

Затем, что если у нас устранимый разрыв, то предел не будет существовать и мы потеряем информацию о поведении функции.

Гм. Если в точке устранимого разрыва функция принимает какое-то ещё значение, то да, потеряем. Мне почему-то кажется, что чаще всего в точках устранимого разрыва функция бывает не определена. Тогда не потеряем.

Nemiroff в сообщении #1047816 писал(а):

Потому что это бесполезная конструкция.

Приведите пример, где бы стандартная конструкция была полезной, а мой вариант - бесполезным. Мне кажется предел функции, по большому счёту, вообще малополезной конструкцией, как его ни определяй. Есть польза в пределе последовательности, в непрерывности функции, в колебании функции; а где нужен предел функции?

[Brukvalub]

Mikhail_K в сообщении #1047812 писал(а):

Почему бы не определять предел функции через последовательности - любые, сходящиеся к данной точке, и по Коши - по значениям в целой окрестности точки (а не в проколотой)?

Вы где учили математику? Про производную хоть что-то слыхали? Если не слыхали - почитайте учебник, а если слыхали, то подумайте, какое значение принимает разностное отношение из определения производной "в самой точке".