2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение11.08.2015, 17:18 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Вариант 1: Функция должна быть определена в проколотой окрестности точки. Предел на краю отрезка? Ну, что ж, это не проблема, введем левые и правые пределы. Остаются смутные сомнения насчет функций с хитрой областью определения, но это вроде бы не важно.

Вариант 2: Точка должна быть предельной по отношению к области определения. Все «круто, четко и нормуль». Но: преподу надо быть последовательным – вместе с предельными точками надо ввести внутренние, граничные, изолированные точки, а раз так, то вместе с ними и открытые, замкнутые множества, компакты, идеальные и связные множества. Это уже проблема.

Вариант 3: По-простому, без упоминания никаких окрестностей и предельных точек. Функция в изолированной точке может иметь любой предел, но ведь нас изолированные точки не интересуют, правда?

Какой вариант лучше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение11.08.2015, 19:40 


06/08/13
151
По Коши - это же вроде на языке "эпсилон - дельта" через неравенства? Для любого положительного эпсилон найдётся дельта и тд и тп.... В общем, как у Фихтенгольца...
Через окрестности (тоже по Коши) - это уже модернизация, это Кудрявцев...
Традиционный подход для среднего матфака - первый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение12.08.2015, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Цитата:
Но: преподу надо быть последовательным – вместе с предельными точками надо ввести внутренние, граничные, изолированные точки, а раз так, то вместе с ними и открытые, замкнутые множества, компакты, идеальные и связные множества. Это уже проблема.

Не вижу в чём тут последовательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение12.08.2015, 16:13 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Ну, МФТИшные преподы так не считают (гугл синяя серия Баумана)
К тому же, и в английских учебниках обычно есть азы топологии.

Я задал этот вопрос, потому что заметил одно любопытное обстоятельство: во всех признанных университетах (МГУ, НИУ ВШЭ, Cambridge, MIT...) перед определением предела функции обязательно вводят понятие предельной точки. Это видно и по их учебникам (Зорич, Рудин, Abbott, Ross Kenneth, Robert Bartle...) и по лекциям, выложенным на их сайтах.

К тому же, у меня самого было недостаточное понимание предела функции (что я узнал, когда не смог ответить на хитрые вопросы моего препода об изолированных точках). И вот именно когда я узнал про базовую топологию вещественной оси, ко мне пришло полное понимание предела.

Тут что-то есть.

По мне, определение должно быть максимально точным и должен давать правильные результаты даже для самых ненужных, банальных случаев. Такой максимальной точностью обладает лишь определение с предельными точками.

А каково мнение опытных преподов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение12.08.2015, 16:50 


23/10/12
20

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1044813 писал(а):
Ну, МФТИшные преподы так не считают (гугл синяя серия Баумана)

А какое отношение синия серия Баумана имеет к МФТИшным преподам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение12.08.2015, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
SomePupil в сообщении #1044813 писал(а):
А каково мнение опытных преподов?

Я преподаю математический анализ более 30 лет и вынужден заметить, что в этом предложении:
SomePupil в сообщении #1044813 писал(а):
По мне, определение должно быть максимально точным и должен давать правильные результаты даже для самых ненужных, банальных случаев. Такой максимальной точностью обладает лишь определение с предельными точками.

не согласован род используемых слов: "определение" - оно (средний род), "должен" - "он" - мужской род. Так писать нельзя! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение12.08.2015, 23:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
SomePupil в сообщении #1044507 писал(а):
Вариант 1: Функция должна быть определена в проколотой окрестности точки.

Я лично предпочитаю (и предпочту через месяц) именно этот вариант. Ибо нефиг извращаться без надобности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение13.08.2015, 02:23 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Brukvalub, в дальнейшем учту

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение23.08.2015, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6593
Миша Вербицкий высказался, что из программ по анализу надо изгонять эпсилон-дельта язык и всё надо переводить на язык топологии. Как думаете, насколько в этом есть смысл? По мне так ерунда всё это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение23.08.2015, 19:16 


10/02/11
6786
я уже приводил примеры, Миша иногда довольно грубые ошибки и несуразицы лепит и именно в анализе. Интересно, как он полноту собирается определять в чисто топологических терминах :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение25.08.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4609
Другой вопрос: а почему вообще предел функции определяют по её значениям в проколотой окрестности, а через последовательности - сходящиеся к данной точке, но не содержащие её? Это представляется несколько неестественным. Почему бы не определять предел функции через последовательности - любые, сходящиеся к данной точке, и по Коши - по значениям в целой окрестности точки (а не в проколотой)?

Конечно, тогда кое-что изменится. Например, предел функции в точке будет обязан совпадать с её значением в этой точке, в том случае, если существуют и предел, и значение.
Но по-моему, предел функции - вообще не такое уж важное понятие. Важнее предел последовательности, а для функций - непрерывность, возможно верхний и нижний пределы (тоже предлагаю определять с учётом самой точки). Колебание функции, которое вводится вместо верхних и нижних пределов для отображений метрических пространств, определяется уже без всяких проколотых окрестностей. И не понятно, зачем вообще их прокалывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение25.08.2015, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Затем, что если у нас устранимый разрыв, то предел не будет существовать и мы потеряем информацию о поведении функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение25.08.2015, 21:56 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Mikhail_K в сообщении #1047812 писал(а):
Почему бы не определять предел функции через последовательности - любые, сходящиеся к данной точке, и по Коши - по значениям в целой окрестности точки (а не в проколотой)?
Потому что это бесполезная конструкция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение25.08.2015, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4609
ex-math в сообщении #1047814 писал(а):
Затем, что если у нас устранимый разрыв, то предел не будет существовать и мы потеряем информацию о поведении функции.

Гм. Если в точке устранимого разрыва функция принимает какое-то ещё значение, то да, потеряем. Мне почему-то кажется, что чаще всего в точках устранимого разрыва функция бывает не определена. Тогда не потеряем.
Nemiroff в сообщении #1047816 писал(а):
Потому что это бесполезная конструкция.

Приведите пример, где бы стандартная конструкция была полезной, а мой вариант - бесполезным. Мне кажется предел функции, по большому счёту, вообще малополезной конструкцией, как его ни определяй. Есть польза в пределе последовательности, в непрерывности функции, в колебании функции; а где нужен предел функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как в вузах предел функции по Коши определяют
Сообщение25.08.2015, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Mikhail_K в сообщении #1047812 писал(а):
Почему бы не определять предел функции через последовательности - любые, сходящиеся к данной точке, и по Коши - по значениям в целой окрестности точки (а не в проколотой)?

Вы где учили математику? Про производную хоть что-то слыхали? Если не слыхали - почитайте учебник, а если слыхали, то подумайте, какое значение принимает разностное отношение из определения производной "в самой точке". :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group