Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #1043639 писал(а):

Итак, всего пока имеется 20 потенциальных паттернов.

Согласно гипотезе, которая обсуждалась здесь, мы уже имеем гораздо больше потенциальных паттернов.
Если удвоить элементы всех 20 паттернов, получим ещё 20 потенциальных паттернов.

Пример

Возьмём первый потенциальный паттерн Jens K Andersen вместе с квадратом Стенли, составленным из элементов этого паттерна:

0  2  6  20  42 
30  32  36  50  72 
60  62  66  80  102 
84  86  90  104  126 
114  116  120  134  156 

0 2 6 20 30 32 36 42 50 60 62 66 72 80 84 86 90 102 104 114 116 120 126 134 156

Удвоим элементы паттерна:

0 4 12 40 60 64 72 84 100 120 124 132 144 160 168 172 180 204 208 228 232 240 252 268 312

Разумеется, квадрат Стенли из элементов нового паттерна тоже составится:

0 4 12 40 84
60 64 72 100 144
120 124 132 160 204
168 172 180 208 252
228 232 240 268 312

И мы получили совсем новый потенциальный паттерн с бОльшим диаметром.
Можно далее и утроить элементы всех 20 паттернов, это даст ещё 20 новых потенциальных паттернов.
60 хватит?

[Dmitriy40]

Мда, засада. Учитывая что неизвестно (в отличии от КПППЧ для которых есть хоть какая-то экспериментальная база) распределение решений для таких паттернов, то каким диаметром ограничиться - вопрос.
Нет, верхняя граница конечно есть, но она настолько огромна, что паттернов в неё влезет десятки. Скажем для интервала 0-1e18 точная верхняя граница диаметра для 25-ти последовательных простых чисел составляет 34608. Для бОльших интервалов и граница больше. Я спрашивал можно ли и как уменьшить эту оценку, но реальных способов не придумали.

[Nataly-Mak]

Но и это ещё не всё. Оказывается, умножать элементы паттерна можно не только на целые числа. Ниже будет показан пример.

Пандиагональному квадрату 6-го порядка из последовательных простых чисел крупно повезло
Уникальное решение - смотрите A073523.
Это сам квадрат

67+
0 126 4 184 42 172
72 166 46 114 90 40
174 30 124 22 96 82
6 100 64 162 84 112
132 36 160 34 60 106
144 70 130 12 156 16
S=930

это его паттерн:

0 4 6 12 16 22 30 34 36 40 42 46 60 64 70 72 82 84 90 96 100 106 112 114 124 126 130 132 144 156 160 162 166 172 174 184

Паттерн теоретически допустимый. Но вряд ли найдётся хотя бы ещё один набор из 36 последовательных простых чисел в точности соответствующий этому же паттерну. Похоже, что этот паттерн и соответствующий ему пандиагональный квадрат действительно уникальны. Кроме того, это решение минимальное, то есть квадрат имеет минимальную магическую константу.

Но... найдётся ли хотя бы ещё один пандиагональный квадрат 6-го порядка из последовательных простых чисел, пусть и с другим паттерном
Я очень долго решала эту задачу, но решение так и не нашла. Хотя, конечно, проверка у меня маломощная и проверила я не такой уж и большой интервал.

А теперь о потенциальных паттернах для таких квадратов.
Первый потенциальный паттерн получаю, удваивая элементы показанного паттерна:

0 8 12 24 32 44 60 68 72 80 84 92 120 128 140 144 164 168 180 192 200 212 224 228 248 252 260 264 288 312 320 324 
332 344 348 368

Этот паттерн менее плотный и диаметр у него побольше. Вполне симпатичный паттерн.

А вот теперь - внимание! Подумала: нельзя ли умножить элементы паттерна, например, на 1.5?
Попробовала, умножила элементы последнего паттерна, проверила полученный паттерн в сервисе, паттерн признан допустимым!

0 12 18 36 48 66 90 102 108 120 126 138 180 192 210 216 246 252 270 288 300 318 336 342 372 378 390 396 432 468 480 486 498 516 522 552

Ещё разрядили и увеличили диаметр паттерна.
Ну, дальше можно утроить элементы первоначального паттерна.
Очевидно, что пандиагональный квадрат 6-го порядка из элементов всех новых паттернов составится, потому что при умножении всех элементов магического квдарата на одно и то же число он остаётся магическим, только изменится его магическая константа.

-- Пн авг 10, 2015 18:51:37 --

Насчёт умножения элементов паттерна на не целое число... ничего не могу сказать: всегда ли такое умножение превращает допустимый паттерн в допустимый
Может быть, это просто удачный случай?
Иногда при умножении на не целое число и элементы паттерна могут стать не целыми, что уж совсем плохо.
Для умножения на целое число мою гипотезу признали верной, даже очевидной

[tolstopuz]

Nataly-Mak в сообщении #1043979 писал(а):

Насчёт умножения элементов паттерна на не целое число... ничего не могу сказать: всегда ли такое умножение превращает допустимый паттерн в допустимый
Может быть, это просто удачный случай?

Рассмотрите отдельно числитель и знаменатель. Умножить на $3$ проблемы нет, вопрос с делением на $2$. А если попробовать поделить на $2$ предыдущий паттерн ($0,4,6,12\ldots$)?

[Nataly-Mak]

Этот

0 4 6 12 16 22 30 34 36 40 42 46 60 64 70 72 82 84 90 96 100 106 112 114 124 126 130 132 144 156 160 162 166 172 174 184

Плохо, потому что появятся нечётные элементы паттерна.
Ну, в принципе это, может быть, и ничего страшного. Просто нам такие паттерны не годятся для кортежей из простых чисел.
Поделить на 2 можно попробовать.

[tolstopuz]

Nataly-Mak в сообщении #1043984 писал(а):

Плохо, потому что появятся нечётные элементы паттерна.

Ну вот, значит, на $2$ можно делить не любой паттерн.

Теперь попробуйте поделить на $3$ несколько паттернов и оцените разницу:

а) $0, 2, 6$
б) $0, 6, 12$
в) $0, 6, 18$
г) $0, 18, 36$

[Dmitriy40]

Nataly-Mak в сообщении #1043979 писал(а):

Первый потенциальный паттерн получаю, удваивая элементы показанного паттерна:
...
Подумала: нельзя ли умножить элементы паттерна, например, на 1.5?
Попробовала, умножила элементы последнего паттерна,

И разумеется получили в точности утроенный первоначальный паттерн.

[Nataly-Mak]

Поделила:

0  2  3  6  8  11  15  17  18  20  21  23  30  32  35  36  41  42  45  48  50  53  56  57  62  63  65  66  72  78  80  81  83  86  87  92

Но в сервисе паттерн забраковали; это и понятно - уже по модулю 2 он не проходит.
Делить на 2 можно только в том случае, когда это не приводит к появлению нечётных элементов паттерна.

-- Пн авг 10, 2015 19:29:43 --

tolstopuz в сообщении #1043988 писал(а):

Теперь попробуйте поделить на $3$ несколько паттернов и оцените разницу:

а) $0, 2, 6$
б) $0, 6, 12$
в) $0, 6, 18$
г) $0, 18, 36$

Ну, и на 3 можно делить не любой паттерн
Это понятно, я об этом выше уже написала: при умножении элементов паттерна на не целое число элементы могут стать не целыми.
Меня интересует вопрос: в том случае, когда всё хорошо (нечётных элементов нет, не целых элементов нет) - всегда ли допустимый паттерн превращается в допустимый

Сейчас выполню ваше задание

-- Пн авг 10, 2015 19:38:50 --

tolstopuz
в примере б) после деления на 3 паттерн стал не допустимым.
В примерах в) и г) после деления получены допустимые паттерны.

Вывод: может быть по-разному.
Значит, мне с умножением на 1.5 повезло

Спасибо за разъяснения.

[tolstopuz]

Nataly-Mak в сообщении #1043994 писал(а):

в примере б) после деления на 3 паттерн стал не допустимым.
В примерах в) и г) после деления получены допустимые паттерны.

Если еще подумать, чем отличается г) от б) и в), можно заметить, что в г) все числа делятся на $9$. Тогда делить можно безболезненно.

Еще один тонкий момент - не испортит ли деление на одно число картину по другим простым числам. Не буду вдаваться в подробности - там требуется знание основ теории чисел, - но скажу определенно: не испортит.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Ага, повезло, что два умножить на полтора получается целое число три.

[Nataly-Mak]

tolstopuz
в общем, надо действовать так: умножить на не целое число и потом проверить полученный паттерн на допустимость.
Глубже - нужно хорошо знать теорию.

Ещё раз спасибо.

А как насчёт того, чтобы порешать нерешённые проблемы века?
Я вот уже до кортежей добралась. И всё равно почти ничего не решается.
Ну, только малюсенькую проблему решили - пандиагональный квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел.

[tolstopuz]

Dmitriy40 в сообщении #1044010 писал(а):

Ага, повезло, что два умножить на полтора получается целое число три.

Кстати, полезно ввести понятие примитивной формы паттерна. Это когда его делить уже не на что, можно только умножать на целое число.

-- Пн авг 10, 2015 19:04:49 --

Nataly-Mak в сообщении #1044011 писал(а):

А как насчёт того, чтобы порешать нерешённые проблемы века?

У меня своих проблем два петабайта :)

[Nataly-Mak]

tolstopuz в сообщении #1044018 писал(а):

У меня своих проблем два петабайта :)

Понятно

[Dmitriy40]

tolstopuz в сообщении #1044018 писал(а):

Кстати, полезно ввести понятие примитивной формы паттерна.

Да, уже подумал об этом.

Интересно что все 10 найденных квадратов 4х4 найдены именно в примитивной форме паттерна.

Dmitriy40 в сообщении #1043905 писал(а):

Нет, верхняя граница конечно есть, но она настолько огромна, что паттернов в неё влезет десятки.

Её можно немного уменьшить, т.к. вряд ли одновременно все интервалы в паттерне близки к максимальным, а значит как только любой из них приблизится к максимуму - дальше можно не умножать.
Например для паттерна

0 2 6 20 30 32 36 42 50 60 62 66 72 80 84 86 90 102 104 114 116 120 126 134 156

в интервале $0 .. 1\cdot10^{18}$ умножать на числа более 65 нет смысла, хотя по критерию для точной верхней границы (равной 34608) допустимы числа до 221. Более чем втрое меньше паттернов.
Для паттерна

0 2 6 8 30 32 42 48 60 62 72 86 92 102 116 126 128 146 156 162 168 186 212 216 282

в том же интервале количество множителей уменьшается с 122 до 21. Практически вшестеро.
Очень даже неплохо.
Причём если конкретные числа количества множителей зависят от интервала, то их соотношение - уже нет, постоянно на всей числовой оси.

[Nataly-Mak]

Dmitriy40 в сообщении #1044051 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1044018 писал(а):

Кстати, полезно ввести понятие примитивной формы паттерна.

Да, уже подумал об этом.

Поздно, поздно подумал! На подхвате чужих идей работаешь
Сам ты - ноль без палочки.
Тебе и эту тему отдать? Возьми! Подавись!
Только что ты с ней делать будешь? Ты ведь в магических квадратах ни бум-бум.
Ну, всё равно, давай, рули. Одним хвастовством зальёшь все темы.

Модератор Lia твой оффтоп из темы удалять не желает.
Ну, так это понятно. Ей гораздо приятнее меня удалить с форума, чем твоё дерьмо.
Жалоба на оффтоп закрыта без всяких объяснений.

Как же! Такой важный оффтоп удалять его же процитировал tolstopuz.
А то, что в оффтопе уже повторено сказанное выше - да плевать!
И вообще - ты хоть сейчас возьми и посмотри, как ты вёл себя во время нашего диалога с tolstopuz.
Хотя вряд ли ты можешь посмотреть на своё гадкое поведение. А посмотришь, так залюбуешься: "Ах, какой же я молодец, какой я умный - знаю, что 1.5 умножить на 2 получится 3. А она - ха-эха-ха - дура, не знает".
Между прочим: если бы я не показала первоначальный паттерн, который перед тем умножила на 2, ты о нём ничего и не знал бы (и другие не знали бы). Факт получения нового паттерна путём умножения на 1.5 налицо.
Ну, молодец, что начинаешь усваивать таблицу умножения. Дерзай, твори!
Я по форуму ПЕН отлично помню, как ты действовал с натуральными числами. Тебе ещё учить да учить таблицу умножения. До пенсии вряд ли выучишь

Toucan:

См. post1044078.html#p1044078