2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 01:27 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Решить в натуральных числах уравнение $$n+n! =m^{k+1}$$
Очевидных решений только три - $(2,\quad 2,\quad 1),\quad (3,\quad 3,\quad 1),\quad (5,\quad 5,\quad 2)$

Кажется, открытая проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 09:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Да, задача открытая, но про такого типа задачи уже все знают.
рувики на странице про "Задачу Брокара" писал(а):
...Этот результат далее обобщил Лука, показав (снова в предположении верности abc-гипотезы), что равенство
$$n! = P(x)$$
имеет лишь конечное число целых значений для заданного многочлена $P(x)$ по меньшей мере второй степени с целыми коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 09:03 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
При $k=1$ имеем $n!+n=m^2$. По-моему, не очень сильно отличается от классического $n!+1=m^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 09:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
nnosipov в сообщении #1040756 писал(а):
По-моему, не очень сильно отличается от классического $n!+1=m^2$.

А кто его знает. Здесь про уравнение $n!+k=m^2$ пишут, что если $k$ не есть квадрат, легко доказывается конечность числа решений.
Цитата:
A. Dabrowski [3] easily showed that, for each fixed $k$ that is not a square, there is only a finite number of solutions.

Там есть пример "большого" решения: $11! + 18^2= 6318^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 09:29 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
grizzly в сообщении #1040758 писал(а):
Здесь
про уравнение $n!+k=m^2$ пишут, что если $k$ не есть квадрат, легко доказывается конечность числа решений.
Угу, и этим уже воспользовались составители ЕГЭ-сборников. Но тут нужно быть аккуратным: мы года два назад обсуждали здесь, как решить уравнение $n!+3n=m^2$ (взятого из одного такого сборника), и безуспешно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
nnosipov
Оно же легко решается выделением полного квадрата и разложением на множители.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 10:16 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
ex-math, там дикая описка, вместо $n^2$ должен быть $n!$. Извиняюсь, сейчас исправлю.

Вот та тема topic44485.html Помнится, писал я тогда В. Сендерову по поводу этого уравнения, но и он ничего оптимистичного сообщить не мог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 10:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Оффтоп)

nnosipov
Да, спасибо. Я уже вижу, что развёл сплошной оффтопик в этой теме спросонья :D
Забавно, что приведенное Вами уравнение я сразу воспринял как нужно (с факториалом). Иллюзия контекста -- сильная штука.

 Профиль  
                  
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 10:46 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Да почему оффтоп, всё по делу. Вот с уравнением $n!-n=m^{k+1}$ может быть попроще, мне кажется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group