2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 01:27 
Аватара пользователя
Решить в натуральных числах уравнение $$n+n! =m^{k+1}$$
Очевидных решений только три - $(2,\quad 2,\quad 1),\quad (3,\quad 3,\quad 1),\quad (5,\quad 5,\quad 2)$

Кажется, открытая проблема?

 
 
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 09:01 
Аватара пользователя
Да, задача открытая, но про такого типа задачи уже все знают.
рувики на странице про "Задачу Брокара" писал(а):
...Этот результат далее обобщил Лука, показав (снова в предположении верности abc-гипотезы), что равенство
$$n! = P(x)$$
имеет лишь конечное число целых значений для заданного многочлена $P(x)$ по меньшей мере второй степени с целыми коэффициентами.

 
 
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 09:03 
При $k=1$ имеем $n!+n=m^2$. По-моему, не очень сильно отличается от классического $n!+1=m^2$.

 
 
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 09:11 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #1040756 писал(а):
По-моему, не очень сильно отличается от классического $n!+1=m^2$.

А кто его знает. Здесь про уравнение $n!+k=m^2$ пишут, что если $k$ не есть квадрат, легко доказывается конечность числа решений.
Цитата:
A. Dabrowski [3] easily showed that, for each fixed $k$ that is not a square, there is only a finite number of solutions.

Там есть пример "большого" решения: $11! + 18^2= 6318^2$.

 
 
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 09:29 
grizzly в сообщении #1040758 писал(а):
Здесь
про уравнение $n!+k=m^2$ пишут, что если $k$ не есть квадрат, легко доказывается конечность числа решений.
Угу, и этим уже воспользовались составители ЕГЭ-сборников. Но тут нужно быть аккуратным: мы года два назад обсуждали здесь, как решить уравнение $n!+3n=m^2$ (взятого из одного такого сборника), и безуспешно.

 
 
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 10:13 
Аватара пользователя
nnosipov
Оно же легко решается выделением полного квадрата и разложением на множители.

 
 
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 10:16 
ex-math, там дикая описка, вместо $n^2$ должен быть $n!$. Извиняюсь, сейчас исправлю.

Вот та тема topic44485.html Помнится, писал я тогда В. Сендерову по поводу этого уравнения, но и он ничего оптимистичного сообщить не мог.

 
 
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 10:39 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

nnosipov
Да, спасибо. Я уже вижу, что развёл сплошной оффтопик в этой теме спросонья :D
Забавно, что приведенное Вами уравнение я сразу воспринял как нужно (с факториалом). Иллюзия контекста -- сильная штука.

 
 
 
 Re: Открытое уравнение в натуральных числах
Сообщение27.07.2015, 10:46 
Да почему оффтоп, всё по делу. Вот с уравнением $n!-n=m^{k+1}$ может быть попроще, мне кажется.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group