Открытое уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Решить в натуральных числах уравнение

$$n+n! =m^{k+1}$$

Очевидных решений только три - $(2,\quad 2,\quad 1),\quad (3,\quad 3,\quad 1),\quad (5,\quad 5,\quad 2)$

Кажется, открытая проблема?

[grizzly]

Да, задача открытая, но про такого типа задачи уже все знают.

рувики на странице про "Задачу Брокара" писал(а):

...Этот результат далее обобщил Лука, показав (снова в предположении верности abc-гипотезы), что равенство

$$n! = P(x)$$

имеет лишь конечное число целых значений для заданного многочлена $P(x)$ по меньшей мере второй степени с целыми коэффициентами.

[nnosipov]

При $k=1$ имеем $n!+n=m^2$. По-моему, не очень сильно отличается от классического $n!+1=m^2$.

[grizzly]

nnosipov в сообщении #1040756 писал(а):

По-моему, не очень сильно отличается от классического $n!+1=m^2$.

А кто его знает. Здесь про уравнение $n!+k=m^2$ пишут, что если $k$ не есть квадрат, легко доказывается конечность числа решений.

Цитата:

A. Dabrowski [3] easily showed that, for each fixed $k$ that is not a square, there is only a finite number of solutions.

Там есть пример "большого" решения: $11! + 18^2= 6318^2$.

[nnosipov]

grizzly в сообщении #1040758 писал(а):

Здесь
про уравнение $n!+k=m^2$ пишут, что если $k$ не есть квадрат, легко доказывается конечность числа решений.

Угу, и этим уже воспользовались составители ЕГЭ-сборников. Но тут нужно быть аккуратным: мы года два назад обсуждали здесь, как решить уравнение $n!+3n=m^2$ (взятого из одного такого сборника), и безуспешно.

[ex-math]

nnosipov
Оно же легко решается выделением полного квадрата и разложением на множители.

[nnosipov]

ex-math, там дикая описка, вместо $n^2$ должен быть $n!$. Извиняюсь, сейчас исправлю.

Вот та тема topic44485.html Помнится, писал я тогда В. Сендерову по поводу этого уравнения, но и он ничего оптимистичного сообщить не мог.

[grizzly]

(Оффтоп)

nnosipov
Да, спасибо. Я уже вижу, что развёл сплошной оффтопик в этой теме спросонья
Забавно, что приведенное Вами уравнение я сразу воспринял как нужно (с факториалом). Иллюзия контекста -- сильная штука.

[nnosipov]

Да почему оффтоп, всё по делу. Вот с уравнением $n!-n=m^{k+1}$ может быть попроще, мне кажется.