Использование кривизны для поиска асимптот

[vlad_light]

(Оффтоп)

Заранее извиняюсь за то, что не читал тему полностью

А такой пример будет работать:

$$ \sum _{n=1}^\infty \bigg(1 - \frac1n\mathbf 1_{[n + \frac 1n, n+1 - \frac 1n]}(x)\bigg) + \text{сшиватель}(x), $$

где функция "сшиватель" гладко соединяет ряд в местах $[n - \frac 1n, n + \frac 1n]$? Или такое не считается элементарным?

(Оффтоп)

Если на последнее ответ -- да, то дальше не интересно

[Алексей К.]

grizzly в сообщении #1039931 писал(а):

Ваша функция совсем не монотонная; у неё даже частота осцилляций растёт на бесконечности.

Ну, выкручусь тем, что, кажется, в теме нет чёткой постановки задачи-контрпримера, а я не смог её сформулировать из кусочков-сообщений...

Т.е если я свою пилу сплющу раза в 2-3 по вертикали, и прибавлю к ней $y=x$, то добьюсь монотонности, но какие-то пожелания с осцилляциями удовлетворены не будут.

Непрерывности и ограниченности кривизны никто пока не требовал --- это я точно помню!

[grizzly]

vlad_light в сообщении #1039954 писал(а):

Или такое не считается элементарным?

Нет, не считается -- это слишком просто, чтобы быть элементарым :) Но я постарался не ответить "да", чтобы не отбивать интерес :)

А подобные примеры уже упоминали в дебрях вышесказанного.

[g______d]

Ну хорошо, а так: $e^{-x}+e^{-5x}\sin(e^{3x})$?

[grizzly]

g______d в сообщении #1039971 писал(а):

Ну хорошо, а так: $e^{-x}+e^{-5x}\sin(e^{3x})$?

С ума сойти! Хоть сегодня смогу уснуть спокойно :)

-- 23.07.2015, 23:21 --

Одно радует -- интуиция не подвела. Я не сомневался, что пример может быть найдет.

[Shtorm]

Отлично!
g______d, Вы поставили жирную точку в этом признаке. Большое спасибо! Спасибо всем участникам за обсуждение и участие в теме.
Остаётся только попробовать сформулировать признак для более узкого класса кривых.
А вот вопросик возникает по этой кривой:

$$y=e^{-x}+e^{-5x}\sin(e^{3x})$$

По моим расчётам выходит, что её кривизна скачет от $-\infty$ до $+\infty$. Но я смотрю на построенную в Maple кривую и вижу, что она спадает, спадает, спадает. Неужели неровности на кривой дают такой эффект?

[vlad_light]

Shtorm в сообщении #1039991 писал(а):

я смотрю на построенную в Maple кривую

Вижу, Алексей К. не зря трудился

[INGELRII]

g______d
Супер! Никогда бы не додумался.

Я-то имел в виду просто кусочно заданную функцию, состоящую из прямых отрезков и дуг окружностей. На прямых отрезках кривизна ноль, на окружностях ее можно делать произвольно большой, лишь бы радиус взять поменьше.

Но такое, говорят, не считается элементарной функцией.

[Алексей К.]

()

Оставил жалобы на два вышерасположенных сообщения:

Shtorm в сообщении #1039991 писал(а):

её кривизна скачет от $-\infty$ до $+\infty$.

--- за издевательство;

vlad_light в сообщении #1040014 писал(а):

Вижу, Алексей К. не зря трудился

--- за издёвку.

Когда за вами придут, знайте: это я на вас написал!

[Shtorm]

INGELRII в сообщении #1040058 писал(а):

Но такое, говорят, не считается элементарной функцией.

Да.
Алексей К., я имел ввиду, что при $x\to +\infty$ кривизна не имеет предела. Но если разобраться почему не имеет предела, то видно, что кривизна принимает значения $(-\infty; +\infty)$. Что не так?

[INGELRII]

Shtorm
И что с того, что да? Вот вы говорите, что элементарные функции нужны для преподавательских целей. ОК. Но вот я вспоминаю, как я сам учился, и знаете что? Кусочно заданные функции там тоже имели место быть! Я даже еще более страшную вещь скажу: модуль считается элементарной функцией, а ведь он именно что кусочно задан!

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1040236 писал(а):

Что не так?

Словоупотребление, как обычно, не так.
Маяковскому --- можно писать "партия", а иметь в виду "Ленин".
Здесь --- совсем не тот случай.

[Shtorm]

INGELRII в сообщении #1040244 писал(а):

Но вот я вспоминаю, как я сам учился, и знаете что? Кусочно заданные функции там тоже имели место быть!

Я с Вами полностью согласен в этом плане НО! Вы когда учились, искали ли асимптоты графиков функций, заданных кусочно? Я лично - нет. И когда сейчас сам преподаю, я таких заданий не даю. А смысл? Не, ну давайте подискутируем...я не против...

INGELRII в сообщении #1040244 писал(а):

Я даже еще более страшную вещь скажу: модуль считается элементарной функцией, а ведь он именно что кусочно задан!

Модуль считается элементарной функцией. Если есть какая-то кусочно заданная функция, которую можно записать по-другому - а именно одним аналитическим выражением (используя стандартные операции и количество этих операций конечно), то это тоже считается элементарной функцией.

-- Пт июл 24, 2015 22:06:06 --

Алексей К., я Вас считаю своим наставником, так что скажите, как именно написать правильно и в чём пагубность применённых мною слов.

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #1040247 писал(а):

Вот вы говорите, что элементарные функции нужны для преподавательских целей.

Это тоже, возможно, проблема словоупотребления. Или хуже.

Ни одна теорема учебного курса не замыкается на на элементарные функции. Ни поиск экстремумов, ни поиск асимптот, ни вычисление определённого интеграла, ни "основная теорема ДГ", ни ..., ни ..., ни ...
Только признаки Shtorm'а требуют элементарных (а точнее, совсем-совсем простых) функций

-- 24 июл 2015, 22:14:31 --

Shtorm в сообщении #1040248 писал(а):

скажите, как именно написать правильно и в чём пагубность применённых мною слов.

Shtorm в сообщении #1039991 писал(а):

По моим расчётам выходит, что её кривизна скачет от $-\infty$ до $+\infty$. Но я смотрю на построенную в Maple кривую и вижу, что она спадает, спадает, спадает.

И при этом скачет (как уже сказано) от $-\infty$ до $+\infty$, скачет и скачет.
Вот девочка скачет со скакалкой --- это одноразовое действо? Двухразовое? Скакнула в плюс-бесконечность, потом в минус-, и всё?

Вынужденно подумавши, Вы потом написали правильно.

Shtorm в сообщении #1040236 писал(а):

я имел ввиду, что при $x\to +\infty$ кривизна не имеет предела.

Ну, мне кажется, что правильно. Я в математике не особо силён... В русском языке лучше разбираюсь.

INGELRII, напишите, please, об этом своими (Вашими) словами.

[INGELRII]

Shtorm
Я вам предложил пример не исследования ради, а назидания для. Чтобы подтвердить мысль. Не надо функцию исследовать, все уже украдено до нас. В смысле, функция придумана специально для того, чтобы на нее взглянуть и убедиться, что монотонность и неосциллируемость функции не гарантирует, что пределом ее кривизны будет нуль. Никакой другой цели у нее нет.

Вообще, придумать пример функции с заданными свойствами имхо всегда проще в виде кусочного задания, нежели в элементарном. Придумали? Посмотрели? Убедились? Забыли!