Определения алгебраических структур

[Duelist]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с определениями алгебраических структур.
Возьмём, например, обычную абелеву группу. В принципе, всё ясно: это множество с операцией, удовлетворяющей в нём нескольким аксиомам. Так в учебниках пишут. Но такое определение не совсем точно. По-моему, определения и доказательства, использующие более строгую формулировку, должны отличаться весьма заметными деталями. В моём понимании, если говорить более строго, то абелева группа - это мн-во $ G=\{M,+\}$ из двух эл-тов, где $M$ - некоторое мн-во, $+$ - некоторая функция $+: M \times M \rightarrow M$. Функция $+$ должна удовлетворять нескольким аксиомам. Если $a,b,c \in G$ и $+(a,b)=c,$ то мы пишем $a+b=c$.
Далее о проблемах. Вот взять уже определение подгруппы, как в учебниках: подгруппой $B$ абелевой группы $A$ называется подмн-во группы $A$, удовлетворяющее нескольким аксиомам. Но о каком подмножестве идёт речь? Как вообще в группе, подгруппе и т.д. операция отделяется от "множества", "подмножества"? У множества $G=\{M,+\}$, например, всего четыре подмножества: $\varnothing, \{M\}, \{+\}, \{M,+\}$ и только последнее будет подгруппой. Если я не ошибаюсь, подгруппу можно определить так: множество $g=\{m,\bullet \}$ есть подгруппа группы $G = \{M,+\}$, если $m \subset M,$ $ \bullet \subset +$ и в $g$ выполняются следующие аксиомы... Я не знаю, может быть, пару $\{M,+\}$ лучше даже упорядочить, чтобы сразу определение всё ставило на свои места, а не нужно было как-то писать группа $G=\{M,+\}$, где $M$ - некоторое мн-во... Тогда уже нужно, наверное, будет вводить функции типа $coordone(G)$, $coordsd(G)$. Потом в теоремах тоже. Например, я тут доказывал, что пересечение подгрупп группы $A,$ тоже подгруппа $A$. Там пересечение надо определять и использовать потом это определение. И там у меня ещё была тема про простые подполя. С полями, ясно, то же самое.
В общем, прошу пожалуйста объяснить, как это всё в алгебре строго определяется.

[740]

Duelist в сообщении #1039697 писал(а):

абелева группа - это мн-во $ G=\{M,+\}$ из двух эл-тов, где $M$ - некоторое мн-во, $+$ - некоторая функция $+: M \times M \rightarrow M$.

это не множество

[Brukvalub]

Duelist в сообщении #1039697 писал(а):

Возьмём, например, обычную абелеву группу. В принципе, всё ясно: это множество с операцией, удовлетворяющей в нём нескольким аксиомам. Так в учебниках пишут. Но такое определение не совсем точно.

Поясните, в чем конкретно "такое определение не совсем точно"? Я уверен, что даваемое в учебниках определение "обычной абелевой группы" "совсем точно", а все остальное - ваши беспочвенные фантазии.

[whitefox]

Алгебраические структуры.
Согласно определению, это никакие не множества, а упорядоченные тройки множеств. Первое из которых не пусто, второе либо третье множество может быть пустым, но не оба одновременно.

Рассмотрим структуру $\mathfrak A = \langle A, F, R\rangle.$ Если функции и отношения этой структуры удовлетворяют определённым аксиомам, например аксиомам группы, то мы имеем алгебраическую структуру определённого вида, например группу.

Возьмём произвольное непустое подмножество $A'$ множества $A.$ Каждую функцию, принадлежащую $F,$ и каждое отношение, принадлежащее $R,$ ограничим на множество $A'$ (с учётом соответствующей арности). Получим новую алгебраическую структуру $\mathfrak A' = \langle A', F', R'\rangle.$

В общем случае функции и отношения структуры $\mathfrak A'$ не будут удовлетворять тем же аксиомам, что и соответствующие функции и отношения структуры $\mathfrak A.$ Но если это случится, то структура $\mathfrak A'$ будет подструктурой структуры $\mathfrak A$ того же самого вида, например подгруппой.

[Duelist]

whitefox в сообщении #1039718 писал(а):

Согласно определению, это никакие не множества, а упорядоченные тройки множеств.

Я с этим согласен, и не спорил с этим. Просто упорядоченные тройки множеств - это тоже множества, поэтому я и пишу так.

whitefox в сообщении #1039718 писал(а):

Рассмотрим структуру $\mathfrak A = \langle A, F, R\rangle.$ Если функции и отношения этой структуры удовлетворяют определённым аксиомам, например аксиомам группы, то мы имеем алгебраическую структуру определённого вида, например группу.

Возьмём произвольное непустое подмножество $A'$ множества $A.$ Каждую функцию, принадлежащую $F,$ и каждое отношение, принадлежащее $R,$ ограничим на множество $A'$ (с учётом соответствующей арности). Получим новую алгебраическую структуру $\mathfrak A' = \langle A', F', R'\rangle.$

В общем случае функции и отношения структуры $\mathfrak A'$ не будут удовлетворять тем же аксиомам, что и соответствующие функции и отношения структуры $\mathfrak A.$ Но если это случится, то структура $\mathfrak A'$ будет подструктурой структуры $\mathfrak A$ того же самого вида, например подгруппой.

Спасибо, да, я почти так это всё себе и представлял. Забыл про отношения - третью координату тройки - да, нужно для упорядочивания мн-ва $A$ (первой координаты).
Проблема в том, что, например, в Винберге, или в лекциях НМУ по алгебре Городенцева этого всего не пишут. Ни об упорядоченных тройках, ни о функциях, ни об отношениях. Пишут, например, что группа $A$ - это множество с операцией, удовлетворяющее аксиомам, подгруппа $B$ группы $A$ - это подмножество группы $A$, в котором выполняются аксиомы. Но это всё не точно и не строго.
Буду читать Ленга, наверное, теперь.

[iifat]

Duelist в сообщении #1039882 писал(а):

упорядоченные тройки множеств - это тоже множества

Множества. Но отнюдь не множества трёх элементов тройки.

whitefox в сообщении #1039718 писал(а):

Согласно определению

Странное какое-то определение. На кой, собственно, отличать функции от отношений? Точнее, зачем собирать функции в одном элементе тройки, а отношения в другом? И что такое, стесняюсь спросить, нульарная функция, и на кой она, собственно, нужна? И без неё прекрасно — единственность единицы , помнится, вполне доказуема.

[Brukvalub]

Duelist в сообщении #1039882 писал(а):

Проблема в том, что, например, в Винберге, или в лекциях НМУ по алгебре Городенцева этого всего не пишут. Ни об упорядоченных тройках, ни о функциях, ни об отношениях. Пишут, например, что группа $A$ - это множество с операцией, удовлетворяющее аксиомам, подгруппа $B$ группы $A$ - это подмножество группы $A$, в котором выполняются аксиомы. Но это всё не точно и не строго.

Ни минуты не сомневаюсь, что только вы знаете толк в истинной строгости!
Тем не менее, осмелюсь заметить, что тысячи математиков довольствуются именно той строгостью, которая использована в упомянутых вами учебниках. Более того, некоторые из этих математиков успешно развивают алгебру, пишут научные статьи и поругивают излишнюю строгость типа бурбакизма. Например, академик В.И. Арнольд терпеть не мог бурбакизм и ту строгость, которую вы проповедуете (он много писал об этом в своих популярных брошюрах), но при этом сильно продвинул несколько довольно абстрактных областей математики.

[whitefox]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1039890 писал(а):

На кой, собственно, отличать функции от отношений?

Можно и не отличать. Вот цитата из той же статьи в Викепедии:

Цитата:

Благодаря тому, что любую $n$-арную операцию $f:A^{n} \to A$ можно представить как $(n+1)$-мерное отношение $\mathrm{r}f = \{\langle a_1, \dots , a_n, a_{n+1} \rangle \mid a_{n+1} = f(a_1, \dots , a_n) \},$ любые алгебраические системы могут быть исследованы как модели, теоретико-модельным инструментарием.

Полагаю, что различие делается, в основном, в дидактических целях.

iifat в сообщении #1039890 писал(а):

И что такое, стесняюсь спросить, нульарная функция, и на кой она, собственно, нужна?

Стесняюсь отвечать. Полагаю ваш вопрос риторическим.

[Duelist]

iifat в сообщении #1039890 писал(а):

Duelist в сообщении #1039882 писал(а):

упорядоченные тройки множеств - это тоже множества

Множества. Но отнюдь не множества трёх элементов тройки.

Я знаю, да, там скорее элементами будут упорядоченные пары, потому что это конечная последовательность же из трёх элементов. Но я же в первом посте ещё немного по-своему неправильно объявлял группой множество из двух элементов, а не упорядоченную пару или тройку.

Brukvalub в сообщении #1039902 писал(а):

Тем не менее, осмелюсь заметить, что тысячи математиков довольствуются именно той строгостью, которая использована в упомянутых вами учебниках. Более того, некоторые из этих математиков успешно развивают алгебру, пишут научные статьи и поругивают излишнюю строгость типа бурбакизма. Например, академик В.И. Арнольд терпеть не мог бурбакизм и ту строгость, которую вы проповедуете (он много писал об этом в своих популярных брошюрах), но при этом сильно продвинул несколько довольно абстрактных областей математики.

Про Бурбаки, Арнольда слышал. И не только. Сейчас, извините, не буду говорить об этом всём.

[g______d]

Duelist в сообщении #1039882 писал(а):

Буду читать Ленга, наверное, теперь.

По-моему, "Конкретная теория групп" Вавилова неплохая книжка. По-моему, там довольно долго разъясняются подобные нюансы (типа байки о том, что группу нельзя определять как множество с двумя операциями, можно только с одной или с тремя).

[Duelist]

g______d в сообщении #1040005 писал(а):

По-моему, "Конкретная теория групп" Вавилова неплохая книжка. По-моему, там довольно долго разъясняются подобные нюансы (типа байки о том, что группу нельзя определять как множество с двумя операциями, можно только с одной или с тремя).

Спасибо, посмотрю.

[iifat]

Duelist в сообщении #1039998 писал(а):

объявлял группой множество из двух элементов, а не упорядоченную пару или тройку

И таки совершали ту же ошибку: группа не есть множество из двух элементов. Это упорядоченная пара.

[Duelist]

iifat в сообщении #1040021 писал(а):

Duelist в сообщении #1039998 писал(а):

объявлял группой множество из двух элементов, а не упорядоченную пару или тройку

И таки совершали ту же ошибку: группа не есть множество из двух элементов. Это упорядоченная пара.

Господи, ну так я ж и сказал: "неправильно объявлял группой множество из двух элементов" =). Ну вы бы на одно слово больше с начала включили в цитату, и абсурд бы был.