Если вы под таким алгоритмом подразумеваете, что дальше в качестве действий будут только деления, то в результате будут получаться числа всё более далекие от "пи". :)
Нет, Вы не поняли про знакопеременный ряд. Да, можно вообще обойтись без умножений, но прибавляя / отнимая всё меньшие дроби, можем таким алгоритмом бесконечно приближать любое нормальное число.
Цель игры, насколько я понял формулировку: для каждого фиксированного количества цифр получить наилучшее приближение. Вовсе не обязательно, что всегда большим числом цифр можно получить лучшее приближение.
Это да, но достаточно большим количеством цифр можно получить сколь угодно хорошее приближение. Я это доказал выше.
Играем по Вашему
Вот Вам Ваша же точность, но на одну цифру меньше: