Собери число пи из его цифр

[grizzly]

whitefox
Спасибо, я согласен. Но здесь всё оказалось намного проще (посмотрите тремя сообщениями выше :)

[whitefox]

grizzly
Всё же, ваше оригинальное выражение мне импонирует больше.
Выражение:

venco в сообщении #1039540 писал(а):

$3/1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6$

в псевдокоде без скобок не запишешь:

3 / 1 + 4 ^ (-1 * 5) + 9 / 2 ^ 6

[hippie]

Без возведения в степень, но с унарным минусом: $-3-1/4\cdot 1/5\cdot 9\cdot 2+6+5/3-5/8.$
Точность: $\frac 1{10733}.$
(На всякий случай уточню: найдено вручную, без использования программ.)

grizzly в сообщении #1039526 писал(а):

Тут, конечно, вопрос в интерпретации стоящих подряд степеней.

В заглавном посте темы есть ссылка на более подробную формулировку задачи. Пройдя по этой ссылке можно прочитать:

Цитата:

1. Возведение в степень. При наличии нескольких возведений в степень, они выполняются справа налево.
2. Умножение и деление. При наличии нескольких таких действий, они выполняются слева направо.
3. Сложение и вычитание. При наличии нескольких таких действий, они выполняются слева направо.

Таким образом, «многоэтажные» степени вычисляются, как это обычно принято, т.е. сверху вниз.

venco в сообщении #1039540 писал(а):

Можно так:
$3/1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6$

Тоже спорное решение.
2 General
Уточните, пожалуйста, допускается ли в показателе степени сложение и умножение.
А также, в каком порядке выполняются возведение в степень и унарный минус. Например, $2^{-2^2}$ это 16 или $\frac 1{16}.$

[grizzly]

hippie
Ваш ручной результат без степеней я могу оценить! Я сам большей частью с этими ограничениями баловался.
Спасибо за подсказку по правилам, мой недосмотр. На той формуле не настаиваю, конечно (я в неё много труда не вложил -- случайно попалось с первой попытки расстановки степеней :) Но даже если со скобками, выглядит весьма занятно.
Присоединяюсь к вопросам, адресованным ТС. Здесь не принципиально, как договориться, лишь бы на равных (включая интерес ТС к размещению игры на других ресурсах).

[General]

grizzly в сообщении #1039526 писал(а):

$3/1+{4^1}^{-5}+9/2^6$.
Точность $\frac 1{112247}$

Тут, конечно, вопрос в интерпретации стоящих подряд степеней. Я набрал в экселе $4\textasciicircum 1\textasciicircum 2$ и получил 16. Насколько это общепринято, я не уверен.

-- 22.07.2015, 17:44 --

General
Вопрос к Вам как к ТС. Уточните, пожалуйста, каким способом будем интерпретировать стоящие подряд степени и или засчитайте мой результат без скобок, или переведите его в разряд "со скобками".

Всё-таки, при наличии нескольких возведений в степень, они выполняются справа налево. И возведения выполняются до всех умножений и делений. Так что если вычислять ${4^1}^{-5}$ как $\left(4^1\right)^{-5}$, то это будет со скобками. Равно как и умножение или сложение в показателе степени. Но красиво получается!

-- Ср июл 22, 2015 20:09:35 --

hippie в сообщении #1039586 писал(а):

А также, в каком порядке выполняются возведение в степень и унарный минус. Например, $2^{-2^2}$ это 16 или $\frac 1{16}.$

Задумывался над этим вопросом. Всё-таки более полезно для интересности игры было бы считать как $\frac 1{16}.$. Да и ВольфрамАльфа так считает. Ну и исходя из концепции "без скобок" это будет верным.

Сейчас делаю дайджест результатов и внесу уточнение по правилам.

[whitefox]

General в сообщении #1039603 писал(а):

Ну и исходя из концепции "без скобок" это будет верным.

Как раз-таки, исходя из концепции "без скобок" это неверно, ибо унарный минус имеет приоритет перед любой бинарной операцией.

-- 22 июл 2015, 21:38 --

Запишем $2^{-2^2}$ в виде псевдокода:

2 ^ -2 ^ 2

Если возведение в степень право-ассоциативно, то выражение равно $16$, а если лево-ассоциативно, то $\frac1{16}.$

[grizzly]

General в сообщении #1039394 писал(а):

$3+1\mathbin{/}4-1\mathbin{/}5$ (погрешность $0,09159\dots$)

Что-то маленькие результаты оставили без внимания:
$3+1^4\cdot 1/5$; точность -- $\frac1{17}$

[hippie]

Без возведения в степень: $3+1/4/1/5\cdot 9\cdot 2/6\ =\ 3/1/4/1/5 + 9\cdot 2/6.$
Точность: $\frac 1{119}.$
Сразу отмечу, что это приближение хуже, чем предложенное General с теми же цифрами, но с использованием степени:

General в сообщении #1039467 писал(а):

Я вот со степенью тоже получил:
$3\cdot1-4-1+5+9/2^6=3.140625$

grizzly в сообщении #1039636 писал(а):

$3+1^4\cdot 1/5$; точность -- $\frac1{17}$

По ссылке, приведённой в заглавном посте темы, тот же результат получен (участником с ником Антон) без использования степени:

Цитата:

3+1-4/1/5.

Тот же участник повторил мой результат для двенадцати цифр, но без использования унарного минуса:
$3/1/4/1/5/9+2/6\cdot 5\cdot 3\cdot 5/8.$

[General]

grizzly в сообщении #1039422 писал(а):

fiviol в сообщении #1039420 писал(а):

Лучше так: $3+1\mathbin{/}4+1-5\mathbin{/}9 \cdot 2$

Это позволяет тривиальным образом получить стандартное, но более точное $3.14=3+1/4+1-5/9 \cdot 2+6/5/3/5/8/9$.
(Может глупость сказал -- я пока ещё не прочувствовал, в чём интерес игры.)

-- 22.07.2015, 11:05 --

Понятно, что таким алгоритмом можно построить знакопеременный ряд (не обязательно чередующийся), бесконечно приближающий нужное число. Меня позабавило именно такое приближение. А цель игры, наверное, получить лучшее приближение меньшим числом цифр?

Кстати, насчёт ряда. Да, вроде бы, число пи нормально и в нём примерно поровну всех цифр. Но, насколько я знаю, это ещё не доказано и нет гарантии, что начиная с какого-нибудь номера в нём нули не начнут чередоваться с ненулевыми цифрами через однин.

[grizzly]

General в сообщении #1039664 писал(а):

Да, вроде бы, число пи нормально и в нём примерно поровну всех цифр. Но, насколько я знаю, это ещё не доказано и нет гарантии, что начиная с какого-нибудь номера в нём нули не начнут чередоваться с ненулевыми цифрами через однин.

Ну да, понятно, что это была фигура речи. Но с первым десятком триллионов цифр проблем пока никаких -- на нашу игру точно хватит :)

[General]

Свёл результаты разных приближений в одну таблицу

[grizzly]

General
Скобки без склеиваний вышли из моды. Ничего против не имею, но оставлю ещё пару вариантов.
Пара приближений для степеней со скобками (на основе чудо-формулы :)
$3\cdot 1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6-5^{-3}\cdot 5/8/9/7/9=3.14159274...$ -- это без других скобок.
$3\cdot 1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6+5^{-3-5}\cdot (8/9+7/9-3-2-3/(8+4\cdot 6/2+6/4/3))={} ${}=3.141592654...$
-- здесь уже скобки по полной программе; хотя без склеиваний, но, насколько я вижу, это лучшее из имеющегося. Стратегии подбора так и не выработал -- ловкость рук, не более. Уверен, что меньшим количество цифр можно достичь намного большего. Не пора ли начинать соревноваться на программах?
(Надеюсь, что обошлось без "копипастных" ошибок.)

[hippie]

General в сообщении #1039750 писал(а):

Свёл результаты разных приближений в одну таблицу

Посмотрел «официальные результаты». Сразу бросилось в глаза это:

Цитата:

Для следующей подходящей дроби числа пи, 355/113, оказалось, нужно ненамного больше цифр (правда, если ещё разрешить и "склеивания"):
$(31+4\cdot 15\cdot 92)/(53+5-8-9).$

Оценка показалась очень плохой. Проверил. Тот же результат можно получить (со скобками) используя всего 10 цифр, причём без группировок и степеней(!):
$3-(1-4+1)/(5+9/(2+6)+5+3).$

-- 23.07.2015, 12:45 --

И даже используя 9 цифр: $3-1\cdot 4\cdot (1-5)/(9\cdot 2\cdot 6+5).$

[General]

grizzly, да-да, полностью согласен с включением скобок и склеиваний в набор правил. Как я говорил, я боялся однообразия результатов. Но вот, например, результат hippie показывает, что деление "в лоб": (формула, дающая 355)/(формула, дающая 113), оказывается расточительнее, чем более творческий подход.

Насчёт перехода к соревнованию программ полностью согласен.

Итак сравнивается точность приближения числа $\pi=3.141592653897932384\dots$ формулами, состоящими из n первых цифр его десятичной записи.

Цифры в формуле должны располагаться а таком порядке, в каком они следуют в записи числа пи.
Между цифрами могут находиться знаки сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень.
Порядок действий можно изменять, используя скобки.
Допускается и отсутствие знака между не разделёнными скобкой цифрами (в таком случае они читаются вместе как единое число).
Допускается использование унарного вычитания.

Для каждого n требуется найти формулу, дающую лучшее приближение числа пи. Также производится сравнение формул, полученных с одним или всеми дополнительными ограничениями:
- без скобок,
- без степеней,
- без "склеивания" цифр

[grizzly]

General
В игре со склеиваниями имеется совсем уж примитивная технология Я покажу на очень ярком примере.
$(3 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937+5) / 10^{58-2+0-9}$.
Я думаю, что такую технологию можно использовать, не дожидаясь 10 в разложении числа пи -- она часто будет срабатывать. Если играть в такую игру, то результаты нужно требовать на порядки сильнее, чем в других играх и не пытаться их сравнивать. Или может лучше вообще отказаться от этого варианта игры?