2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение22.07.2015, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6176
whitefox
Спасибо, я согласен. Но здесь всё оказалось намного проще (посмотрите тремя сообщениями выше :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение22.07.2015, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
grizzly
Всё же, ваше оригинальное выражение мне импонирует больше. :D
Выражение:
venco в сообщении #1039540 писал(а):
$3/1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6$
в псевдокоде без скобок не запишешь:
Код:
3 / 1 + 4 ^ (-1 * 5) + 9 / 2 ^ 6

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение22.07.2015, 20:10 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Без возведения в степень, но с унарным минусом: $-3-1/4\cdot 1/5\cdot 9\cdot 2+6+5/3-5/8.$
Точность: $\frac 1{10733}.$
(На всякий случай уточню: найдено вручную, без использования программ.)


grizzly в сообщении #1039526 писал(а):
Тут, конечно, вопрос в интерпретации стоящих подряд степеней.
В заглавном посте темы есть ссылка на более подробную формулировку задачи. Пройдя по этой ссылке можно прочитать:
Цитата:
1. Возведение в степень. При наличии нескольких возведений в степень, они выполняются справа налево.
2. Умножение и деление. При наличии нескольких таких действий, они выполняются слева направо.
3. Сложение и вычитание. При наличии нескольких таких действий, они выполняются слева направо.
Таким образом, «многоэтажные» степени вычисляются, как это обычно принято, т.е. сверху вниз.


venco в сообщении #1039540 писал(а):
Можно так:
$3/1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6$
Тоже спорное решение.
2 General
Уточните, пожалуйста, допускается ли в показателе степени сложение и умножение.
А также, в каком порядке выполняются возведение в степень и унарный минус. Например, $2^{-2^2}$ это 16 или $\frac 1{16}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение22.07.2015, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6176
hippie
Ваш ручной результат без степеней я могу оценить! Я сам большей частью с этими ограничениями баловался.
Спасибо за подсказку по правилам, мой недосмотр. На той формуле не настаиваю, конечно (я в неё много труда не вложил -- случайно попалось с первой попытки расстановки степеней :) Но даже если со скобками, выглядит весьма занятно.
Присоединяюсь к вопросам, адресованным ТС. Здесь не принципиально, как договориться, лишь бы на равных (включая интерес ТС к размещению игры на других ресурсах).

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение22.07.2015, 21:02 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
grizzly в сообщении #1039526 писал(а):
$3/1+{4^1}^{-5}+9/2^6$.
Точность $\frac 1{112247}$

Тут, конечно, вопрос в интерпретации стоящих подряд степеней. Я набрал в экселе $4\textasciicircum 1\textasciicircum 2$ и получил 16. Насколько это общепринято, я не уверен.

-- 22.07.2015, 17:44 --

General
Вопрос к Вам как к ТС. Уточните, пожалуйста, каким способом будем интерпретировать стоящие подряд степени и или засчитайте мой результат без скобок, или переведите его в разряд "со скобками".


Всё-таки, при наличии нескольких возведений в степень, они выполняются справа налево. И возведения выполняются до всех умножений и делений. Так что если вычислять ${4^1}^{-5}$ как $\left(4^1\right)^{-5}$, то это будет со скобками. Равно как и умножение или сложение в показателе степени. Но красиво получается!

-- Ср июл 22, 2015 20:09:35 --

hippie в сообщении #1039586 писал(а):
А также, в каком порядке выполняются возведение в степень и унарный минус. Например, $2^{-2^2}$ это 16 или $\frac 1{16}.$


Задумывался над этим вопросом. Всё-таки более полезно для интересности игры было бы считать как $\frac 1{16}.$. Да и ВольфрамАльфа так считает. Ну и исходя из концепции "без скобок" это будет верным.

Сейчас делаю дайджест результатов и внесу уточнение по правилам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение22.07.2015, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
General в сообщении #1039603 писал(а):
Ну и исходя из концепции "без скобок" это будет верным.

Как раз-таки, исходя из концепции "без скобок" это неверно, ибо унарный минус имеет приоритет перед любой бинарной операцией.

-- 22 июл 2015, 21:38 --

Запишем $2^{-2^2}$ в виде псевдокода:
Код:
2 ^ -2 ^ 2
Если возведение в степень право-ассоциативно, то выражение равно $16$, а если лево-ассоциативно, то $\frac1{16}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение22.07.2015, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6176
General в сообщении #1039394 писал(а):
$3+1\mathbin{/}4-1\mathbin{/}5$ (погрешность $0,09159\dots$)

Что-то маленькие результаты оставили без внимания:
$3+1^4\cdot 1/5$; точность -- $\frac1{17}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение22.07.2015, 22:51 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Без возведения в степень: $3+1/4/1/5\cdot 9\cdot 2/6\ =\ 3/1/4/1/5 + 9\cdot 2/6.$
Точность: $\frac 1{119}.$
Сразу отмечу, что это приближение хуже, чем предложенное General с теми же цифрами, но с использованием степени:
General в сообщении #1039467 писал(а):
Я вот со степенью тоже получил:
$3\cdot1-4-1+5+9/2^6=3.140625$



grizzly в сообщении #1039636 писал(а):
$3+1^4\cdot 1/5$; точность -- $\frac1{17}$
По ссылке, приведённой в заглавном посте темы, тот же результат получен (участником с ником Антон) без использования степени:
Цитата:
3+1-4/1/5.



Тот же участник повторил мой результат для двенадцати цифр, но без использования унарного минуса:
$3/1/4/1/5/9+2/6\cdot 5\cdot 3\cdot 5/8.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение22.07.2015, 23:50 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
grizzly в сообщении #1039422 писал(а):
fiviol в сообщении #1039420 писал(а):
Лучше так: $3+1\mathbin{/}4+1-5\mathbin{/}9 \cdot 2$

Это позволяет тривиальным образом получить стандартное, но более точное $3.14=3+1/4+1-5/9 \cdot 2+6/5/3/5/8/9$.
(Может глупость сказал -- я пока ещё не прочувствовал, в чём интерес игры.)

-- 22.07.2015, 11:05 --

Понятно, что таким алгоритмом можно построить знакопеременный ряд (не обязательно чередующийся), бесконечно приближающий нужное число. Меня позабавило именно такое приближение. А цель игры, наверное, получить лучшее приближение меньшим числом цифр?


Кстати, насчёт ряда. Да, вроде бы, число пи нормально и в нём примерно поровну всех цифр. Но, насколько я знаю, это ещё не доказано и нет гарантии, что начиная с какого-нибудь номера в нём нули не начнут чередоваться с ненулевыми цифрами через однин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение23.07.2015, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6176
General в сообщении #1039664 писал(а):
Да, вроде бы, число пи нормально и в нём примерно поровну всех цифр. Но, насколько я знаю, это ещё не доказано и нет гарантии, что начиная с какого-нибудь номера в нём нули не начнут чередоваться с ненулевыми цифрами через однин.

Ну да, понятно, что это была фигура речи. Но с первым десятком триллионов цифр проблем пока никаких -- на нашу игру точно хватит :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение23.07.2015, 11:56 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
Свёл результаты разных приближений в одну таблицу

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение23.07.2015, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6176
General
Скобки без склеиваний вышли из моды. Ничего против не имею, но оставлю ещё пару вариантов.
Пара приближений для степеней со скобками (на основе чудо-формулы :)
$3\cdot 1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6-5^{-3}\cdot 5/8/9/7/9=3.14159274...$ -- это без других скобок.
$3\cdot 1+4^{-1\cdot 5}+9/2^6+5^{-3-5}\cdot (8/9+7/9-3-2-3/(8+4\cdot 6/2+6/4/3))={}
${}=3.141592654...$
-- здесь уже скобки по полной программе; хотя без склеиваний, но, насколько я вижу, это лучшее из имеющегося. Стратегии подбора так и не выработал -- ловкость рук, не более. Уверен, что меньшим количество цифр можно достичь намного большего. Не пора ли начинать соревноваться на программах? :D
(Надеюсь, что обошлось без "копипастных" ошибок.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение23.07.2015, 13:41 
Заслуженный участник


18/01/12
933
General в сообщении #1039750 писал(а):
Свёл результаты разных приближений в одну таблицу
Посмотрел «официальные результаты». Сразу бросилось в глаза это:
Цитата:
Для следующей подходящей дроби числа пи, 355/113, оказалось, нужно ненамного больше цифр (правда, если ещё разрешить и "склеивания"):
$(31+4\cdot 15\cdot 92)/(53+5-8-9).$
Оценка показалась очень плохой. Проверил. Тот же результат можно получить (со скобками) используя всего 10 цифр, причём без группировок и степеней(!):
$3-(1-4+1)/(5+9/(2+6)+5+3).$

-- 23.07.2015, 12:45 --

И даже используя 9 цифр: $3-1\cdot 4\cdot (1-5)/(9\cdot 2\cdot 6+5).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение23.07.2015, 17:56 
Аватара пользователя


17/05/08
358
Анк-Морпорк
grizzly, да-да, полностью согласен с включением скобок и склеиваний в набор правил. Как я говорил, я боялся однообразия результатов. Но вот, например, результат hippie показывает, что деление "в лоб": (формула, дающая 355)/(формула, дающая 113), оказывается расточительнее, чем более творческий подход.

Насчёт перехода к соревнованию программ полностью согласен.

Итак сравнивается точность приближения числа $\pi=3.141592653897932384\dots$ формулами, состоящими из n первых цифр его десятичной записи.

Цифры в формуле должны располагаться а таком порядке, в каком они следуют в записи числа пи.
Между цифрами могут находиться знаки сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень.
Порядок действий можно изменять, используя скобки.
Допускается и отсутствие знака между не разделёнными скобкой цифрами (в таком случае они читаются вместе как единое число).
Допускается использование унарного вычитания.

Для каждого n требуется найти формулу, дающую лучшее приближение числа пи. Также производится сравнение формул, полученных с одним или всеми дополнительными ограничениями:
- без скобок,
- без степеней,
- без "склеивания" цифр

 Профиль  
                  
 
 Re: Собери число пи из его цифр
Сообщение23.07.2015, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6176
General
В игре со склеиваниями имеется совсем уж примитивная технология :D Я покажу на очень ярком примере.
$(3 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937+5) / 10^{58-2+0-9}$.
Я думаю, что такую технологию можно использовать, не дожидаясь 10 в разложении числа пи -- она часто будет срабатывать. Если играть в такую игру, то результаты нужно требовать на порядки сильнее, чем в других играх и не пытаться их сравнивать. Или может лучше вообще отказаться от этого варианта игры?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group