Классы эквивалентности и фактормножество

[RonHabard]

iancaple, я думаю, $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ с условием $q \ne 0$ есть то же самое, что $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus {0}$.

-- 20.07.2015, 16:41 --

iancaple в сообщении #1038385 писал(а):

5.$(a,b)\to\sqrt{a^2+b^2}$

Еще вот здесь вопрос: что Вы конкретно этим обозначаете? Точнее, что имеете в виду под буквами a и b? Точки, которые я ввел в условии задачи?

[iancaple]

RonHabard в сообщении #1038904 писал(а):

$(a,b)\to\sqrt{a^2+b^2}$
Еще вот здесь вопрос: что Вы конкретно этим обозначаете? Точнее, что имеете в виду под буквами a и b? Точки, которые я ввел в условии задачи?

Решение должно быть самодостаточно. В пункте 1 было сказано, что область определения $\mathbb R^2$, значит, в пункте 5 все, что до стрелки, должно быть произвольным элементом $\mathbb R^2$, то есть произвольной парой координат.

[RonHabard]

Все исправил. Посмотрите, пожалуйста.


1) Пусть задана пара действительных чисел $a,b∈ \mathbb{R}$ и считается, что для них справедливо утверждение $a \sim b$, если $[a]=[b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на классы эквивалентности — интервалы вида $[k;k+1), \; k = [a]$. То есть между ними можно задать каноническую сюръекцию множества $\mathbb{R}$ на фактормножество всех интервалов вида $\left\{ k=[a]: [k;k+1) \right\}$
$$a \mapsto \left[ ⌊a⌋;⌊a⌋+1) \right]_{\sim}.$$
2) Рассмотрим подмножество пар чисел $(p,q)$ множества $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \left\{0 \right\}) = X$, для которых считается справедливым утверждение $(p,q)\sim(p' q' ),$ если $pq'-p' q=0$. Поскольку семейство пар $(p,q), \; q \ne 0$, где при $pq'-p' q=0$ две пары $(p,q)$ и $(p',q')$ определяют одно и то же рациональное число, следовательно, каждый класс эквивалентности содержит ровно один представитель вида

$$(p,q), \quad q \in \mathbb{N}, \; p \perp q.$$

То есть можно задать каноническую сюръекцию множества $X$ на фактормножество $ (X/\sim) \equiv \mathbb{Q}$

$$(p,q) \mapsto \left[ \frac{p}{q}\right]_{\sim}, \quad q \in \mathbb{N}.$$

3) Пусть заданы $\mathbb{R}^2$ — множество всех точек плоскости и точки $A (A_x, A_y)$ и $B (B_x, B_y)$, образующие упорядоченную пару $(A,B) \in X,$ являющаяся элементом отношения эквивалентности, если равны длины отрезков $OA=OB$, где $O$ -- начало координат. Тогда окружности с центром $O$, включая окружность, вырожденную в точку, — суть классы эквивалентности $\mathbb{R}^2$, принадлежащие такому множеству $\mathcal{O}$, содержащее все концентрические окружности с центром в нуле, а также самое начало координат. То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество $\mathcal{O} \equiv [0; \infty)$
$$(A,B)↦[\sqrt {(B_x - A_x)^2 ; (B_y - A_y)^2} ]_\sim.$$
4) Пусть задано множество $X$ всех направленных отрезков на плоскости и два таких направленных отрезка $\overrightarrow{AB}$ и $ \overrightarrow{A'B'},$ для которых считается справедливым утверждение $\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{A'B'},$если они сонаправлены (соответственно и параллельны) и имеют одинаковую длину, то бишь равны как векторы. Тогда множество $\mathcal{V}$ всех свободных векторов, включая нулевые, — суть классы эквивалентности множества $X$. То есть можно задать каноническую сюръекцию $X$ на фактормножество $\mathcal{V}$.

[iancaple]

Да можете просто сказать : класс эквивалентности, в котором лежит точка $(x,y)$ -это окружность радиуса $\sqrt{x^2+y^2}$ с центром в нуле, а при $x=y=0$ точка.
В чем разница: эти Ваши формулы с тильдой внизу выражают скорее вопрос "А в какой класс попадет данный элемент множества?", чем ответ, если хотите, можете их ставить слева от знака равенства, а справа сам ответ, например
$\{(x,y)\}_{\sim}=S_{\sqrt{x^2+y^2}}$
,где $S_r$-окружность радиуса $r$ с центром в нуле, причем $S_0=\{ 0\}$

[RonHabard]

В1-ом:

$$a \mapsto \left[ \left\lfloor{ a }\right\rfloor;\left\lfloor{ a }\right\rfloor+1) \right]_{\sim}.$$

В 3-ем:

$$(A,B) \mapsto [\sqrt {(B_x - A_x)^2 ; (B_y - A_y)^2} ]_\sim.$$

-- 21.07.2015, 14:03 --

Хотя нет, в 3-ем наверное я приму утверждение iancaple. Мое глупое.

В 3-ем тогда так:

Пусть заданы $\mathbb{R}^2$ — множество всех точек плоскости и точки $A (x_1, y_1)$ и $B (x_2, y_2)$, образующие упорядоченную пару $(A,B) \in X,$ являющаяся элементом отношения эквивалентности, если равны длины отрезков $OA=OB$, где $O$ -- начало координат. Тогда множество $S$ окружностей с центром $O$, включая окружность, вырожденную в точку, — суть классы эквивалентности $\mathbb{R}^2$, принадлежащие такому множеству $\mathcal{O}$, содержащее все концентрические окружности с центром в нуле, а также самое начало координат. То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество $\mathcal{O} \equiv [0; \infty)$

$$(A,B) \mapsto [S_r]_\sim \in \mathcal{O},$$

где $S_r$ -- окружность радиуса $r=\sqrt{x^2+y^2}$ с центром в нуле, причем $S_0 = 0.$

[iancaple]

RonHabard в сообщении #1039097 писал(а):

В1-ом:

$$a \mapsto \left[ \left\lfloor{ a }\right\rfloor;\left\lfloor{ a }\right\rfloor+1) \right]_{\sim}.$$

А я эту тильду внизу понимаю как

$$\left[ a \right]_{\sim}= [\left\lfloor{ a }\right\rfloor;\left\lfloor{ a }\right\rfloor+1)$$

Ну обозначайте как хотите, а мое дело, чтобы не встретилось неверных утверждений

[RonHabard]

iancaple, да, точно. Ваша формулировка вернее.

[RonHabard]

Привожу окончательное и оформленное решение. Если есть недочеты, пожалуйста, сообщите.

1) Пусть задана пара действительных чисел $a,b∈ \mathbb{R}$ и считается, что для них справедливо утверждение $a \sim b$, если $[a]=[b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на классы эквивалентности — интервалы вида $[k;k+1), \; k = [a]$. То есть между ними можно задать каноническую сюръекцию множества $\mathbb{R}$ на фактормножество всех интервалов вида $\left\{ k=[a]: [k;k+1)\right\}$

$$a \mapsto \left[a \right]_\sim = \left[\lfloor a \rfloor; \lfloor a \rfloor+1).$$

2) Рассмотрим подмножество пар чисел $(p,q)$ множества $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \left\{0 \right\}) = X$, для которых считается справедливым утверждение $(p,q)\sim(p' q' ),$ если $pq'-p' q=0$. Поскольку семейство пар $(p,q), \; q \ne 0$, где при $pq'-p' q=0$ две пары $(p,q)$ и $(p',q')$ определяют одно и то же рациональное число, следовательно, каждый класс эквивалентности содержит ровно один представитель вида

$$(p,q), \quad q \in \mathbb{N}, \; p \perp q.$$

То есть можно задать каноническую сюръекцию множества $X$ на фактормножество $ (X/\sim) \equiv \mathbb{Q}$

$$(p,q) \mapsto \left[ \frac{p}{q}\right]_{\sim}, \quad q \in \mathbb{N}.$$

3) Пусть заданы $\mathbb{R}^2$ — множество всех точек плоскости и точки $A$ и $B$, образующие упорядоченную пару $(A,B) \in X,$ являющаяся элементом отношения эквивалентности, если равны длины отрезков $OA=OB$, где $O$ -- начало координат. Тогда множество $S$ окружностей с центром $O$, включая окружность, вырожденную в точку, — суть классы эквивалентности $\mathbb{R}^2$, принадлежащие такому множеству $\mathcal{O}$, содержащее все концентрические окружности с центром в нуле, а также самое начало координат. То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество $\mathcal{O} \equiv [0; \infty)$

$$A \mapsto [A]_\sim = S_r \in \mathcal{O},$$

где $S_r$ -- окружность радиуса $r$ с центром в нуле, причем $S_0 = 0.$

4) Пусть задано множество $X$ всех направленных отрезков на плоскости и два таких направленных отрезка $\overrightarrow{AB}$ и $ \overrightarrow{A'B'},$ для которых считается справедливым утверждение $\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{A'B'},$если они сонаправлены (соответственно и параллельны) и имеют одинаковую длину, то бишь равны как векторы. Тогда множество $\mathcal{V}$ всех свободных векторов, включая нулевые, — суть классы эквивалентности множества $X$. То есть можно задать каноническую сюръекцию $X$ на фактормножество $\mathcal{V}$.

[iancaple]

RonHabard в сообщении #1039171 писал(а):

каждый класс эквивалентности содержит ровно один представитель вида

$$(p,q), \quad q \in \mathbb{N}, \; p \perp q.$$

Вместо этого: представителями классов эквивалентности являются

$$(p,q), \quad p\in\mathbb{Z}\setminus\{ 0\}, q \in \mathbb{N}, \; p \perp q.$$

, и еще один класс представляет пара $(0,1)$
Больше неверных утверждений не обнаружено