2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение18.07.2015, 17:41 


18/07/15

32
Посмотрите, пожалуйста, верно ли все в моих примерах?

**1)** Пусть задана пара действительных чисел $a,b∈ \mathbb{R}$и считается, что для них справедливо $a \sim b$, если $[a]=[b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на эквивалентные классы — интервалы вида $[a;a+1), \; a \in \mathbb{Z}$. То есть между ними существует каноническая сюръекция множества $\mathbb{R}$ на фактормножество $\mathbb{Z}$$$a  \mapsto \left[ \left[a;a+1\right) \right]_{\sim}.$$**2)** Рассмотрим подмножество пар чисел $(p,q),    q \ne 0$ множества $\mathbb{Z}^2$, для которых считается справедливым $(p,q)\sim(p' q' ),$ если $pq'-p' q=0$. Тогда семейство пар взаимно простых чисел $(p,q),q \in \mathbb{N}$ — суть классы эквивалентности множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$. То есть можно задать каноническую сюръекцию множества $\mathbb{Z}^2$ на фактормножество $\mathbb{Q}$
$$(p,q) \mapsto [(p,q)]_\sim, \quad q \in \mathbb{N}, \; p \perp q. $$**3)** Пусть задано $X$ — множество всех точек плоскости и две такие точки $A,B∈X,$ являющиеся подмножеством отношения эквивалентности, если они равноудалены от начала координат $O$, то есть равны длины их отрезков $OA=OB$. Тогда окружности с центром $O$, включая окружность, вырожденную в точку, — суть классы эквивалентности множества всех точек плоскости $X$. То есть можно задать каноническую сюръекцию $X$ на фактормножество всех концентрических окружностей $\mathcal{O}$.

**4)** Пусть задана плоскость $\mathbb{R}^2$ и два направленных на ней отрезка $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{A'B'},$, для которых считается справедливым $\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{A'B'},$ если они сонаправлены, параллельны и имеют одинаковую длину (то бишь равны). Тогда равные направленные отрезки, исходящие из начала координат $O$, включая все отрезки, начала и конец которых совпадают, — суть классы эквивалентности плоскости $\mathbb{R}^2$, каковые вернее определить как семейство векторов. То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество всех векторов, исходящих из начала координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение18.07.2015, 18:38 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):
**2)** ...Тогда семейство пар взаимно простых чисел $(p,q),q \in \mathbb{N}$ — суть классы эквивалентности множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$.
Неточность в описании. К какому из этих классов принадлежат пары $(0,1),(0,2)$, и к одному классу или разным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение18.07.2015, 18:51 


18/07/15

32
iancaple, к одному классу эквивалентности -- $(0,a), \; a \in \mathbb{N}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение18.07.2015, 19:10 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Правильно, но этот класс не был указан. И устроен он по-другому
Задача 3.
RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):
То есть можно задать каноническую сюръекцию $X$ на фактормножество всех концентрических окружностей $\mathcal{O}$.
Множество $\mathcal{O}$ ранее не было определено никак. а в этой фразе определено неточно, лучше сказать "множество всех концентрических окружностей с центром в нуле, и точка 0" Это минимальная поправка. Иначе желаемая сюръекция не везде определена.

И, как минимум, Вам надо изменить описание фактормножества в задаче 2. Обычно фактормножество - это множество самих классов, а не отдельных элементов. Но можно вместо классов указать по одному представителю каждого класса. А в задаче 2 у Вас - не каждого, или не по одному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение18.07.2015, 20:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):
**1)** Пусть задана пара действительных чисел $a,b\in \mathbb{R}$и считается, что для них справедливо $a \sim b$, если $[a]=[ b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на эквивалентные классы — интервалы вида $[a;a+1), \; a \in \mathbb{Z}$. То есть между ними существует каноническая сюръекция множества $\mathbb{R}$ на фактормножество $\mathbb{Z}$$$a  \mapsto \left[ \left[a;a+1\right) \right]_{\sim}.$$
$\mathbb Z$ не есть $\mathbb R/{\sim}$. Последнее есть $\{[a;a+1) : a\in\mathbb Z\}$. Конечно, они изоморфны, но и только.

RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):
Тогда семейство пар взаимно простых чисел $(p,q),q \in \mathbb{N}$ — суть классы эквивалентности множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$.
Написано что-то совершенно непонятное. Класс эквивалентности, как уже упомянуто iancaple — это множество эквивалентных друг другу элементов, а у вас что, и откуда берётся $\mathbb Q$ — где его определение? :wink:

RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):
То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество всех векторов, исходящих из начала координат.
Опять же, вы выбрали сразу представителей классов, когда стоило бы отдельно описать фактормножество с канонической сюръекцией, и отдельно уже описать неканоническую несюръекцию из него в какое-то, в общем случае, наобум выбранное множество представителей.

Для справки, каноническая сюръекция — это именно что сюръекция, потому что у любого элемента $X/\sim$ есть как минимум один прообраз в $X$. Если $X/{\sim}$ подменить каким-то другим множеством, сюръективности может и не быть. В том числе, если подменить его подмножеством представителей из $X$, сюръективность будет тогда и только тогда, когда $\sim$ — это равенство. Т. е. в единственном для каждого $X$ случае. :roll:

-- Сб июл 18, 2015 22:30:56 --

Хотя мы можем, конечно, сюръективности добиться, выкинув из области значений элементы без прообразов, но это… гм…

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение18.07.2015, 21:07 


18/07/15

32
arseniiv, во 2-ом номере классы эквивалентности можно отождествить с рациональными числами: в пределах одного класса имеет место равенство дробей $p/q = p'/q'$. Также и в 1-ом номере, мне показалось, что фактормножество здесь имеет вид может быть отождествлено с Z естественным образом.

Можете, пожалуйста, расписать один из примеров, например, самый легкий -- 3-ий, как надо, а остальные три, раз все здесь неверно, я постараюсь сделать самостоятельно. А то вчитываюсь в эти определения, делаю, как показывали, а выходит какая-то чушь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение18.07.2015, 21:42 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Можно понимать каждую задачу так(с "избытком"):
1.Правильно обозначить множество Х(в задаче 4 это не указано. в задаче 2 это указано, но далее обозначено неправильно)
2.Правильно описать фактор-множество(в задачах 2 и 3 ошибки)
3.Указать, с каким простым известным множеством это может быть естественно отождествлено, просто потому, что это интересно (в задаче 2 это как раз просто. И только в задаче 3 это пока не сделано)
4.Построить каноническую сюръекцию на фактор-множество из пункта 2.
5. Ну и на всякий случай записать сюръекцию на множество из пункта 3, потому что она всегда проще записывается
Ну вот пример 3.
1.$\mathbb R^2$
2.Множество$ \mathcal {O}$, элементами которого являются все концентрические окружности с центром в нуле, а также начало координат.
3. c $[0,\infty )$
4.$(a,b)\to S\in\mathcal {O}$,правило соответствия понятно какое
5.$(a,b)\to\sqrt{a^2+b^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение19.07.2015, 02:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
RonHabard в сообщении #1038377 писал(а):
во 2-ом номере классы эквивалентности можно отождествить с рациональными числами: в пределах одного класса имеет место равенство дробей $p/q = p'/q'$
Можно и, действительно, так и делают, определяя $\mathbb Q$ как $\mathbb Z\times\mathbb Z^+/{\sim}$. А в вашем тексте связь получилась неясна. И классы не описаны достаточно ясно тоже. :-)

RonHabard в сообщении #1038377 писал(а):
Также и в 1-ом номере, мне показалось, что фактормножество здесь имеет вид может быть отождествлено с Z естественным образом.
Не сказать чтобы так. Мы могли бы отождествлять полуинтервалы со, скажем, их серединами. В любом случае, фактормножество определяется однозначно, для его построения не нужно пытаться найти что-то «более простое», изоморфное ему. Потом можно, и получится третье множество, которое называть фактормножеством не нужно.

RonHabard в сообщении #1038377 писал(а):
А то вчитываюсь в эти определения, делаю, как показывали, а выходит какая-то чушь.
Просто вы в каждом случае почему-то выбирали по одному представителю класса вместо самого класса, являющегося множеством. Вот давайте посмотрим на множество $\mathbb Z/{\sim}$, где $m\sim n:\Leftrightarrow m\equiv n \pmod3$, т. е. числа считаются эквивалентными, если дают одинаковый остаток при делении на 3. Класс эквивалентности $[0]$ будет равен $\{\ldots,-6,-3,0,3,6,\ldots\}$ — все числа, делащиеся на 3 нацело. Класс $[1] = \{\ldots,-5,-2,1,4,7,\ldots\}$. Класс $[2] = \{\ldots,-4,-1,2,5,8,\ldots\}$. Других классов не будет, т. к. остатков всего три. В результате$$\mathbb Z/{\sim} = \{[n]_{\sim} : n\in\mathbb Z\} = \{[0],[1],[2]\} = \{\{\ldots,0,3,\ldots\},\{\ldots,1,4,\ldots\},\{\ldots,2,5,\ldots\}\}.$$Ничего больше искать не нужно.
Вот в случае подобных множеств есть общепринятая функция $f\colon\mathbb Z/{\sim}\to\mathbb Z$, предъявляющая наименьший неотрицательный элемент класса эквивалентности, и сопоставляющая $[0]\mapsto 0,[1]\mapsto 1,[2]\mapsto 2$. Только если взять её композицию с канонической сюръекцией $n\mapsto[n]$, мы получим функцию $n\mapsto f([n])\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$, которая есть банальный остаток от деления на 3. Но $\{0,1,2\}$, хоть и равномощно $\mathbb Z/{\sim}$, всё же не оно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение19.07.2015, 10:03 


18/07/15

32
arseniiv, iancaple спасибо за подробные комментарии. Если вы не возражаете, то я хотел бы разобрать каждый номер по отдельности, а то сейчас у меня полная каша в голове.

Итак
1) Пусть задана пара действительных чисел $a,b \in \mathbb{R}$ и считается, что для них справедливо $a \sim b$, если $[a]=[b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на классы эквивалентности — интервалы вида $[a;a+1), \; a \in \mathbb{Z}$. То есть между ними существует каноническая сюръекция множества $\mathbb{R}$ на фактормножество $\left\{ a \in \mathbb{Z}: [a;a+1) \right\}$$$a \mapsto \left[ \left[a;a+1\right) \right]_{\sim}.$$
Если принимать до это момента рассуждения верными, то у меня вопрос в составлении канонической сюръекции. Скажите, вот, я заключаю в квадратные скобки полуинтервал [a;a+1). Получается, что рассматривается класс эквивалентности полуинтервала. Так можно? Мне изначально казалось, что класс здесь может быть только у действительного числа, то есть некого $[x]_\sim $ равное [a;a+1), где $a$ есть целая часть числа $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение19.07.2015, 11:46 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
RonHabard в сообщении #1038488 писал(а):
классы эквивалентности — интервалы вида $[a;a+1), \; a \in \mathbb{Z}$.
...
фактормножество $\left\{ a \in \mathbb{Z}: [a;a+1) \right\}$

Вот первое утверждение правильно. А фактормножество, как множество этих классов - это та же формула, но в фигурных скобках,зачем переставили?
Значит, для каждого $x\in \mathbb{R}$ достаточно найти $a$, определяющее этот полуинтервал
, и вот для него формула $a=[x]$
Класс - это множество. В данной задаче класс- любой из указанных полуинтервалов. А выражение "класс эквивалентности полуинтервала"-ничего хорошего не означает

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение20.07.2015, 11:28 


18/07/15

32
iancaple, спасибо, с первым разобрался. Теперь второй:

Рассмотрим подмножество пар чисел $(p,q), \; q \ne 0$ множества $\mathbb{Z}^2$, для которых считается справедливым утверждение $(p,q)\sim(p' q' ),$ если $pq'-p' q=0$. Поскольку семейство пар $(p,q), \; q \ne 0$, где при $pq'-p' q=0$ две пары $(p,q)$ и $(p',q')$ определяют одно и то же рациональное число, следовательно, классами эквивалентности будут являться пары вида $(p,q),q \in \mathbb{N}$. То есть можно задать каноническую сюръекцию множества $\mathbb{Z^2}$ на фактормножество $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_+ / \sim$
$$(p,q)↦[(p,q)]_\sim, \quad q \in \mathbb{N}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение20.07.2015, 12:20 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
1. Множество $X$ это не $\mathbb Z^2$, а скорее $\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus 0)$
2.фактормножество...(это сами, все поправки уже сообщили arseniiv и я)
3.$\mathbb Q$
4....
5.$(p,q)\to \dfrac pq$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение20.07.2015, 12:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
iancaple в сообщении #1038835 писал(а):
это не $\mathbb Z^2$, а скорее $\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus 0)$

, а ещё скорее $\mathbb Z\times\mathbb N$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение20.07.2015, 12:39 


18/07/15

32
iancaple, 1) но ведь я же обозначил $q \ne 0$. По-моему, это различное написание одного и того же. Однако если это ошибка, то я исправлю.

2)
arseniiv в сообщении #1038425 писал(а):
ожно и, действительно, так и делают, определяя $\mathbb Q$ как $\mathbb Z\times\mathbb Z^+/{\sim}$.
Я просто не стал вводить $\mathbb{Q}$. А Вы его ввели 3-им пунктом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение20.07.2015, 15:22 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Если Вы хотите сказать, что в 1-й строчке условия задачи 2 у Вас ошибка, тогда множество $X$, возможно, другое. Иначе - то, которое я имел в виду (неаккуратно написал). Этот вопрос надо сразу решить, так как при разных областях определения $X$ фактормножество, может , и не изменится, но сюръекция будет описываться по-разному.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group