2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение20.07.2015, 15:35 


18/07/15

32
iancaple, я думаю, $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ с условием $q \ne 0$ есть то же самое, что $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \setminus {0}$.

-- 20.07.2015, 16:41 --

iancaple в сообщении #1038385 писал(а):
5.$(a,b)\to\sqrt{a^2+b^2}$


Еще вот здесь вопрос: что Вы конкретно этим обозначаете? Точнее, что имеете в виду под буквами a и b? Точки, которые я ввел в условии задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение20.07.2015, 19:19 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
RonHabard в сообщении #1038904 писал(а):
$(a,b)\to\sqrt{a^2+b^2}$
Еще вот здесь вопрос: что Вы конкретно этим обозначаете? Точнее, что имеете в виду под буквами a и b? Точки, которые я ввел в условии задачи?
Решение должно быть самодостаточно. В пункте 1 было сказано, что область определения $\mathbb R^2$, значит, в пункте 5 все, что до стрелки, должно быть произвольным элементом $\mathbb R^2$, то есть произвольной парой координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение21.07.2015, 11:44 


18/07/15

32
Все исправил. Посмотрите, пожалуйста.


1) Пусть задана пара действительных чисел $a,b∈ \mathbb{R}$ и считается, что для них справедливо утверждение $a \sim b$, если $[a]=[b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на классы эквивалентности — интервалы вида $[k;k+1), \; k = [a]$. То есть между ними можно задать каноническую сюръекцию множества $\mathbb{R}$ на фактормножество всех интервалов вида $\left\{ k=[a]: [k;k+1) \right\}$
$$a \mapsto \left[ ⌊a⌋;⌊a⌋+1) \right]_{\sim}.$$
2) Рассмотрим подмножество пар чисел $(p,q)$ множества $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \left\{0 \right\}) = X$, для которых считается справедливым утверждение $(p,q)\sim(p' q' ),$ если $pq'-p' q=0$. Поскольку семейство пар $(p,q), \; q \ne 0$, где при $pq'-p' q=0$ две пары $(p,q)$ и $(p',q')$ определяют одно и то же рациональное число, следовательно, каждый класс эквивалентности содержит ровно один представитель вида
$$(p,q), \quad q \in \mathbb{N}, \; p \perp q.$$То есть можно задать каноническую сюръекцию множества $X$ на фактормножество $ (X/\sim) \equiv \mathbb{Q}$ $$(p,q) \mapsto \left[ \frac{p}{q}\right]_{\sim}, \quad q \in \mathbb{N}.$$
3) Пусть заданы $\mathbb{R}^2$ — множество всех точек плоскости и точки $A (A_x, A_y)$ и $B (B_x, B_y)$, образующие упорядоченную пару $(A,B) \in X,$ являющаяся элементом отношения эквивалентности, если равны длины отрезков $OA=OB$, где $O$ -- начало координат. Тогда окружности с центром $O$, включая окружность, вырожденную в точку, — суть классы эквивалентности $\mathbb{R}^2$, принадлежащие такому множеству $\mathcal{O}$, содержащее все концентрические окружности с центром в нуле, а также самое начало координат. То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество $\mathcal{O} \equiv [0; \infty)$
$$(A,B)↦[\sqrt {(B_x - A_x)^2 ; (B_y - A_y)^2} ]_\sim.$$
4) Пусть задано множество $X$ всех направленных отрезков на плоскости и два таких направленных отрезка $\overrightarrow{AB}$ и $ \overrightarrow{A'B'},$ для которых считается справедливым утверждение $\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{A'B'},$если они сонаправлены (соответственно и параллельны) и имеют одинаковую длину, то бишь равны как векторы. Тогда множество $\mathcal{V}$ всех свободных векторов, включая нулевые, — суть классы эквивалентности множества $X$. То есть можно задать каноническую сюръекцию $X$ на фактормножество $\mathcal{V}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение21.07.2015, 12:30 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Да можете просто сказать : класс эквивалентности, в котором лежит точка $(x,y)$ -это окружность радиуса $\sqrt{x^2+y^2}$ с центром в нуле, а при $x=y=0$ точка.
В чем разница: эти Ваши формулы с тильдой внизу выражают скорее вопрос "А в какой класс попадет данный элемент множества?", чем ответ, если хотите, можете их ставить слева от знака равенства, а справа сам ответ, например
$\{(x,y)\}_{\sim}=S_{\sqrt{x^2+y^2}}$
,где $S_r$-окружность радиуса $r$ с центром в нуле, причем $S_0=\{ 0\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение21.07.2015, 12:47 


18/07/15

32
В1-ом: $$a \mapsto \left[ \left\lfloor{ a }\right\rfloor;\left\lfloor{ a }\right\rfloor+1) \right]_{\sim}.$$

В 3-ем: $$(A,B) \mapsto [\sqrt {(B_x - A_x)^2 ; (B_y - A_y)^2} ]_\sim.$$

-- 21.07.2015, 14:03 --

Хотя нет, в 3-ем наверное я приму утверждение iancaple. Мое глупое.

В 3-ем тогда так:

Пусть заданы $\mathbb{R}^2$ — множество всех точек плоскости и точки $A (x_1, y_1)$ и $B (x_2, y_2)$, образующие упорядоченную пару $(A,B) \in X,$ являющаяся элементом отношения эквивалентности, если равны длины отрезков $OA=OB$, где $O$ -- начало координат. Тогда множество $S$ окружностей с центром $O$, включая окружность, вырожденную в точку, — суть классы эквивалентности $\mathbb{R}^2$, принадлежащие такому множеству $\mathcal{O}$, содержащее все концентрические окружности с центром в нуле, а также самое начало координат. То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество $\mathcal{O} \equiv [0; \infty)$
$$(A,B) \mapsto [S_r]_\sim \in \mathcal{O},$$
где $S_r$ -- окружность радиуса $r=\sqrt{x^2+y^2}$ с центром в нуле, причем $S_0 = 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение21.07.2015, 15:04 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
RonHabard в сообщении #1039097 писал(а):
В1-ом: $$a \mapsto \left[ \left\lfloor{ a }\right\rfloor;\left\lfloor{ a }\right\rfloor+1) \right]_{\sim}.$$
А я эту тильду внизу понимаю как
$$\left[ a  \right]_{\sim}= [\left\lfloor{ a }\right\rfloor;\left\lfloor{ a }\right\rfloor+1)$$
Ну обозначайте как хотите, а мое дело, чтобы не встретилось неверных утверждений

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение21.07.2015, 15:32 


18/07/15

32
iancaple, да, точно. Ваша формулировка вернее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение21.07.2015, 16:46 


18/07/15

32
Привожу окончательное и оформленное решение. Если есть недочеты, пожалуйста, сообщите.

1) Пусть задана пара действительных чисел $a,b∈ \mathbb{R}$ и считается, что для них справедливо утверждение $a \sim b$, если $[a]=[b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на классы эквивалентности — интервалы вида $[k;k+1), \; k = [a]$. То есть между ними можно задать каноническую сюръекцию множества $\mathbb{R}$ на фактормножество всех интервалов вида $\left\{ k=[a]: [k;k+1)\right\}$
$$a \mapsto \left[a \right]_\sim = \left[\lfloor a \rfloor; \lfloor a \rfloor+1).$$
2) Рассмотрим подмножество пар чисел $(p,q)$ множества $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \left\{0 \right\}) = X$, для которых считается справедливым утверждение $(p,q)\sim(p' q' ),$ если $pq'-p' q=0$. Поскольку семейство пар $(p,q), \; q \ne 0$, где при $pq'-p' q=0$ две пары $(p,q)$ и $(p',q')$ определяют одно и то же рациональное число, следовательно, каждый класс эквивалентности содержит ровно один представитель вида $$(p,q), \quad q \in \mathbb{N}, \; p \perp q.$$То есть можно задать каноническую сюръекцию множества $X$ на фактормножество $ (X/\sim) \equiv \mathbb{Q}$ $$(p,q) \mapsto \left[ \frac{p}{q}\right]_{\sim}, \quad q \in \mathbb{N}.$$
3) Пусть заданы $\mathbb{R}^2$ — множество всех точек плоскости и точки $A$ и $B$, образующие упорядоченную пару $(A,B) \in X,$ являющаяся элементом отношения эквивалентности, если равны длины отрезков $OA=OB$, где $O$ -- начало координат. Тогда множество $S$ окружностей с центром $O$, включая окружность, вырожденную в точку, — суть классы эквивалентности $\mathbb{R}^2$, принадлежащие такому множеству $\mathcal{O}$, содержащее все концентрические окружности с центром в нуле, а также самое начало координат. То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество $\mathcal{O} \equiv [0; \infty)$ $$A \mapsto [A]_\sim = S_r \in \mathcal{O},$$ где $S_r$ -- окружность радиуса $r$ с центром в нуле, причем $S_0 = 0.$

4) Пусть задано множество $X$ всех направленных отрезков на плоскости и два таких направленных отрезка $\overrightarrow{AB}$ и $ \overrightarrow{A'B'},$ для которых считается справедливым утверждение $\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{A'B'},$если они сонаправлены (соответственно и параллельны) и имеют одинаковую длину, то бишь равны как векторы. Тогда множество $\mathcal{V}$ всех свободных векторов, включая нулевые, — суть классы эквивалентности множества $X$. То есть можно задать каноническую сюръекцию $X$ на фактормножество $\mathcal{V}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классы эквивалентности и фактормножество
Сообщение21.07.2015, 17:26 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
RonHabard в сообщении #1039171 писал(а):
каждый класс эквивалентности содержит ровно один представитель вида $$(p,q), \quad q \in \mathbb{N}, \; p \perp q.$$
Вместо этого: представителями классов эквивалентности являются $$(p,q), \quad p\in\mathbb{Z}\setminus\{ 0\}, q \in \mathbb{N}, \; p \perp q.$$, и еще один класс представляет пара $(0,1)$
Больше неверных утверждений не обнаружено

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group