Использование кривизны для поиска асимптот

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1037784 писал(а):

Для получения регулярной параметризации следует выключать секундомер на перекурах и водопоях.

То есть в точках разрыва

-- Чт июл 16, 2015 19:21:08 --

ewert, окей. Я-то так и делал всегда раньше, ибо тот же любимый автор учебника, пишет, "..но в дальнейшем мы будем рассматривать только однозначные функции, если не будет специальных оговорок". Но вот в этой теме решил вопрос поднять, чтобы знать всю подоплёку.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037788 писал(а):

То есть в точках разрыва

Нет.

Странно как-то Вы математикой занимаетесь. Книжки --- клава --- интернеты --- клава ---книжки...
А бумага, ручка, мышление?

Что Вам стоило, вместо того, чтобы сразу колотить клаву и писать очередную туфту, пройтись с секудомером по какой-нибудь кривой,
один раз без остановки, второй раз с табуреточкой (достаточно имитации перекура), и сравнить графики, $x_1(t)$ и $x_2(t)$ (потом игреки, если понадобится)?

Никаких разрывов Вы там не увидите.

[Shtorm]

Алексей К., да, Ваша правда. Что-то я поторопился с разрывами

[Алексей К.]

grizzly в сообщении #1036977 писал(а):

Отмечусь также, что мне вопросы, связанные с абстрактными кривыми и функциями, намного интереснее, чем их физические интерпретации и применения. Поэтому я участвую только в этой ветке обсуждения.

Shtorm в сообщении #1037007 писал(а):

Да, я это понял после прошедшей ночи, когда и появилась физическая ветка темы.

Хочется всё же ясности, правильного словоупотребления, в первую очередь для самого ТС. Изложу дело в несколько иных терминах.

Подозревая неладное, я попросил ТС сосчитать углы треугольника со сторонами $a=3\text{ часа,}$ $b=4\text{ метра,}$ $c=5.$
И он...
И он начал спокойно выписывать теорему косинусов для этого треугольника!
Потом оказалось, что эти углы "могут быть разными", и появилось даже "ой, как это интересно!"

Да, необязательно писать, как это на самом деле называется (эти слова запрещены не только на форуме).
Но и никак нельзя называть это "физической интерпретацией" и "физической веткой темы".

[Shtorm]

Алексей К., да всё ясно уже с моим промахом
А физический смысл кривизны кривой в данной точке - это угловая скорость вращения единичного вектора касательной к кривой в данной точке.

-- Пт июл 17, 2015 00:18:51 --

Однако я в тупике:
Предположим, что есть кривая, заданная уравнением $f(x,y)=0$. И предположим, что левая часть этого уравнения представляет из себя такую комбинацию трансцендентных и алгебраических функций, что $y(x)$ и $x(y)$ никак не возможно выразить в явном виде. Применяем формулу для кривизны кривой, заданной в неявном виде:

$$K=\dfrac{(f'_y)^2f''_{xx}-2f'_xf'_yf''_{xy}+(f'_x)^2f''_{yy}}{\left((f'_x)^2+(f'_y)^2\right)^\frac{3}{2}}$$

Пусть теперь в результате вычисиления по этой формуле, в правой части получилось выражение зависящее и от $x$ и от $y$. Теперь моя задача найти к чему стремится кривизна при $x\to \infty$. То есть, необходимо вычислить предел функции двух переменных $K=K(x,y)$ при $x\to \infty$. Но к чему при этом должен стремиться $y$?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037887 писал(а):

никак не возможно выразить в явном виде

Вы всё время патологически хотите всё выразить в явном виде.
И непременно в элементарных функциях.

По жизни такой предел бывает нужен, но он НИКОГДА НЕ ВЫРАЖАЕТСЯ в элементарных функциях!
Поймите наконец, что создание методичек и задачников для студентов не есть конечная цель математики!

Вам нужен предел функции ОДНОЙ переменной, $\kappa(x)=K(x,y(x))$.
Из-за такого пустяка, что $y(x)$ не выражается "в явном виде", вы пытаетесь подменить принцип!
Это нелепо.

Когда не было компьютеров, любая функция выражалась в явном виде.
Если зайдёте в обычную библиотеку (местами они сохранились) увидите тома с функциями в явном виде.
С Брадисом Вы, возможно, знакомы.
Но таких книг --- множество. И про интегралы Френеля, и про функцию Ламберта, и про всё-всё-всё.

-- 17 июл 2015, 00:56:46 --

Возможно, излечить эту Вашу патологию (да, я давно её наблюдаю, и это именно то слово), помогло бы программирование.
Самостоятельное численное решение конкретной задачи предложенного Вами типа.

А может, достаточно взять просто $y^2-x^2=5$, и действовать так как будто крючочек $\sqrt{\hphantom{x}}$ нам не знаком.
Или не позволять себе в С-программе использовать логарифмы и синусы.
И самостоятельно решить задачу.

[Shtorm]

Алексей К., очень интересно! Про функцию Ламберта мы тогда с Вами немного говорили, и я конечно помнил про неё, когда писал предыдущее сообщение. Но она позволяет решить уравнение, содержащее алгебраическую и показательную функцию и то кажется не для всех случаев. А Вы, получается, намекаете, что все уравнения можно решить - и выразить в явном виде? Даже алгебраическое уравнение 5-ой степени не решается в общем виде!

-- Пт июл 17, 2015 01:00:51 --

Вот про численные методы мне мысль приходила. Но я не стал её пока озвучивать.

[Алексей К.]

Меньше всего я пытаюсь "намекать". Наоборот, в беседах с Вами стараюсь предельно ясно выразиться; иногда что-то торопит и мешает ясности. Иногда в голову не приходит, что что-то, оказывается, неочевидно. Вам неочевидно.

Да, все решаемые уравнения можно решить (это намеренная тавтология) и выразить в "явном виде" в смысле многотомного издания таблиц решений данного уравнения. При компьютерах в этом нужда явно отпала.

[Shtorm]

Алексей К., то есть Вы изначально именно и имели ввиду численное решение?

-- Пт июл 17, 2015 01:12:40 --

Но когда говорят "выразить в явном виде" подразумевают именно аналитическое выражение, а не таблицу значений $x$ и $y$. Или я не прав?

[Алексей К.]

Нет.

Я имею в виду, что при нормальном анализе задачи безразличен "способ выражения" решения.
Вы настаиваете на одном-единственном, пригодном для студентов и методичек.

Важно [не]существование решения, его [не]единственность, если глубже дела зашли --- его асимптотические свойства и проч.

Выражаемость явно или элементарно позволяет поучить студента, сгондобить контрольную.
Но чтобы "решить двигатель", или дорогу, или просто "решить интеграл" --- это совсем не обязательное условие. Более того, --- оно никогда не выполнится.

В задачнике геометрии для 8-го класса все углы равны 90, 30, 45 или 60 градусам.
В системах навигации и орбите Плутона часто встречаются углы в 70.35 градуса или ещё хуже.
И ничо, люди справляются, долетело что-то там до Плутона. А мне железка сказала "через 100 метров поверни направо".

Вы упорно, многие годы, требуете, чтобы все углы были хорошими --- 30, 45, 60, 90, 120, 135 итп.
То есть --- я в этот раз действительно "намекаю" --- примерно так выглядят Ваши регулярные апелляции к "явности", "элементарности", итп.

Школьник переходит через это в инженерном ВУЗе или даже в ещё школе.
У Вас --- никак не получается.

-- 17 июл 2015, 01:31:58 --

Программирование, кстати, тоже требует постоянного тыкания в клаву. Может, Вам понравится.
Компилятор --- не самый интересный собеседник, но зато не грубит.

[Shtorm]

Алексей К., как ни крути, не верти, а все вузовские учебники, содержащие материал об асимптоте и кривизне кривой, начинаются именно с "хороших", как Вы говорите "углов". А уже дальше идёт усложнение, но опять таки до определённого уровня. Надеюсь, такой подход не вызывает у Вас желание его оспорить? Вот и я начал с "хорошего" и "элементарного". Сейчас, как мы видим, задача естественным образом пришла к "углу 70.35 градуса" и вполне естественно появилось желание, каким-то образом упростить или стандартизировать ситуацию. Не понимаю, что в этом плохого?

[Алексей К.]

Сдаюсь.

Shtorm в сообщении #1037921 писал(а):

как ни крути, не верти, а все вузовские учебники, содержащие материал об асимптоте и кривизне кривой, начинаются именно с "хороших",

Неправда. Просто ерунда.
Я, бай зэ вэй, учился по вузовским учебникам. И мне удаётся решать задачи из жизни.
Очередное --- "я в одной книжке прочитал" (а в теме выяснилось --- читать Вы не умеете), "все учебники начинаются с ..." (неправда --- я их тоже читал когда-то).

Но всё равно --- сдаюсь.

[Shtorm]

Насколько верно будет утверждение, что если хотя бы одна из ветвей алгебраической кривой незамкнута, то её кривизна в любом случае стремится к нулю, либо при $x\to \infty$, либо при $y\to \infty$, либо при $x,y\to \infty$ ?

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

$$K=\dfrac{(f'_y)^2f''_{xx}-2f'_xf'_yf''_{xy}+(f'_x)^2f''_{yy}}{\left((f'_x)^2+(f'_y)^2\right)^\frac{3}{2}}$$

Эта формула верна?

Всё же тут ошибка в знаке. Должно быть вот так:

$$K=-\dfrac{(f'_y)^2f''_{xx}-2f'_xf'_yf''_{xy}+(f'_x)^2f''_{yy}}{\left((f'_x)^2+(f'_y)^2\right)^\frac{3}{2}}$$

Это я убедился, глянув тему нашего форума тут. Просто в той статье, откуда я брал формулу, авторы написали по модулю, а я просто модуль откинул, а не учёл знак-то.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1038079 писал(а):

Всё же тут ошибка в знаке.

Нет тут ошибки в знаке.

-- 17 июл 2015, 21:39:01 --

Какова, по-Вашему, кривизна кривой $x^2+y^2-1=0$ при $x=\dfrac{\mathrm{e}}{\pi}$ ?
И какой из двух вариантов формулы даёт правильный ответ?

-- 17 июл 2015, 21:55:15 --

Shtorm в сообщении #1038079 писал(а):

а я просто модуль откинул, а не учёл знак-то.

А что, его можно было как-то учесть? Выражение под модулем было патологически отрицательно?