Использование кривизны для поиска асимптот

[arseniiv]

Алексей К. в сообщении #1036939 писал(а):

Ну да, в каком-то смысле кривизна функции не определена.

Да не, я-то лично имел в виду кривизну той кривой. Точнее, её отсутствие.

Shtorm в сообщении #1036966 писал(а):

Ну так если берем просто математическую функцию $y=f(x)$, не наделяя её вообще никаким физическим смыслом, и используем одинаковые единичные отрезки для построения её графика, то всё получается однозначно, так?

Ну зачем я писал про метрику и декартово произведение множеств? Нет, не всегда однозначно.

Shtorm в сообщении #1037024 писал(а):

и становится понятным, что совершенно справедливо использование знаков "+" и "-" в значениях кривизны

Ну, это понятно и из определения кривизны. Плоская кривая может поворачивать в две разные стороны, с этими поворачиваниями связаны пары векторов разной ориентации.

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #1037057 писал(а):

Ну, это понятно и из определения кривизны.

Так вот, если мы откроем ряд книжек по математике, то увидим, что в определении кривизны - в формуле в числителе стоит знак модуля, а в других книжках не стоит модуля. Я правда не готов сразу привести книжки с противоположными мнениями, но об этом уже давно писал Алексей К.

-- Вт июл 14, 2015 23:24:52 --

Nemiroff в сообщении #1037041 писал(а):

Но если функция имеет горизонтальную асимптоту, бесконечно дифференцируема и монотонна, то предела производной может не существовать.

Ну, по поводу рассматриваемого в теме признака можно сказать, что вторая производная должна стремится к нулю при стремлении $x$ к бесконечности.

[Shtorm]

grizzly, а я вот всё жду, когда Вы как мастер по графическому анализу функций, выдадите мне откровение про переход моего признака на неявно заданные функции

[arseniiv]

(А чем они отличаются от явно заданных? Более того, одну и ту же функцию бывает можно задать и так, и эдак, хотя и без того ясно, что способ задания функции не есть свойство этой функции.)

[Shtorm]

arseniiv, всё верно, зато есть свойства, присущие только неявно заданным функциям. Например, замкнутые кривые в декартовой прямоугольной системе координат можно задать только неявно заданной функцией $f(x,y)=0$, или параметрически - но это отдельный разговор. Или я опять не прав? Далее, получается что вдоль ветви кривой, которая асимптотически приближается к прямой, называемой асимптотой, могут быть расположены другие ветви и они могут быть не монотонны. Но это так на вскидку. Может уже какие-то готовые теоремы есть?

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1037212 писал(а):

Например, замкнутые кривые в декартовой прямоугольной системе координат можно задать только неявно заданной функцией $f(x,y)=0$

Это не функция. График функции никогда не будет замкнутой кривой, если только это не замкнутая кривая специального вида «туда и обратно».

Давайте на всякий случай вот что: функция — это тройка $f = (A,B,R)$, где $A$ — область определения (domain), $B$ — область значений (codomain) и $R\subset A\times B$ — бинарное отношение, зовущееся обычно справедливо графиком функции, обладающее свойством $\forall x\in A.\;\exists! y\in B.\;(x,y)\in R$ (функциональность). В принципе, можно domain не включать, т. к. он определяется по $R$ однозначно, но для симметрии обычно включается.

[Shtorm]

arseniiv, а как же понятие многозначности функции?

[arseniiv]

Насколько я понимаю, там, где многозначные функции используются, это
(1) довольно специальные штуки, от которых ещё дополнительно многое требуется, либо
(2) действительно просто функции в $2^B$ вместо $B$ без других ограничений, но тогда там и говорят, что это обычные функции в $2^B$.

В обычном же случае при многозначности используют отношения и избегают слов «функция». Или даже не говорят об отношениях. Например, говорят «множество уровня 0 функции $f$» — и без разницы, что она о двух аргументах, и это множество уровня оказывается подмножеством декартова произведения.

[Shtorm]

arseniiv, а к какому случаю относятся функции $y=\operatorname{Arcsin(x)}, y=\operatorname{Arctg(x)}$ и т. п.?

[arseniiv]

Как определённые?

-- Чт июл 16, 2015 00:22:08 --

(Просто я могу предложить как минимум два варианта, один из которых относится к ТФКП, о которой меня лучше не спрашивать, и на, в частности, которую я намекал в первом пункте.)

[Shtorm]

arseniiv, да, давайте о ТФКП не будем (по крайней мере пока), не даром я несколько раз в теме говорил, что функции вещественнозначные от вещественнозначных аргументов.
Я тут уже подумывал взять две разные конкретные неявные функции, одна из которых имеет асимптоту, а другая не имеет, начав для простоты с алгебраических, но вдруг меня загрыз червяк сомнения. Я теперь к любому сомнению в этой теме отношусь внимательно, особенно после разгромной критики Алексея К.. Так вот, например смотрите, пусть есть некая кривая, заданная неявной функцией $f(x,y)=0$ и пусть на этой кривой есть такой фрагмент - дуга "выпуклая вправо" (взял в кавычки, ибо в математике не встречал такого словесного выражения). Ну, то есть представьте вертикальную прямую и мы её согнули так, что выпуклость направлена вправо (да ну какая разница, хоть влево). Что на этом участке кривой будет со второй производной от $y$ по $x$ ?? Поэтому, сдаётся мне, что прежде чем искать по формуле кривизну кривой, заданной неявной функцией, нужно эту кривую параметризовать и искать кривизну по формуле для кривой заданной параметрически. Я прав?

[arseniiv]

Ну так кривизна с самого начала и определяется без оглядки на чьи-то графики. Вообще, задание кривой как множества уровня или параметрически более естественны.

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #1037586 писал(а):

конкретные неявные функции

Я понимаю, сразу словоупотребление изменить может быть нелегко, но стоит пытаться.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037586 писал(а):

Поэтому, сдаётся мне, что прежде чем искать по формуле кривизну кривой, заданной неявной функцией, нужно эту кривую параметризовать и искать кривизну по формуле для кривой заданной параметрически. Я прав?

Зачем? Залезьте в справочник (Корна, например), возьмите формулу для кривизны кривой, заданной неявно, и ею пользуйтесь. Ничего параметризовывать не надо.

-- 16 июл 2015, 08:43:27 --

Shtorm в сообщении #1037586 писал(а):

Что на этом участке кривой будет со второй производной от $y$ по $x$ ??

Есть ли "дуга, выпуклая вправо", на окружности $x^2+y^2-R^2=0$? На параболе $y=K\,x^2$?
Это я спрашиваю, чтобы понять, что Вы имеете в виду, говоря о такой дуге (ибо не понимаю). Укажете на такую дугу (например, по номеру квадранта), и я Вам сосчитаю вторую производную.

-- 16 июл 2015, 08:46:59 --

Для параболы, впрочем, и без указания могу сосчитать: $y''_{xx}=2K$ получилось.

-- 16 июл 2015, 08:49:08 --

Ой, и для окружности, наверное, сумел бы --- что я, неявно заданную функцию не смогу дважды продифференцировать? Смогу, но на работу пора двигать.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #1037628 писал(а):

Зачем? Залезьте в справочник (Корна, например), возьмите формулу для кривизны кривой, заданной неявно, и ею пользуйтесь. Ничего параметризовывать не надо.

Спасибо! Я правильно решил дождаться Вашего появления в теме, прежде чем что-то вычислять дальше. Но к сожалению, в справочнике Корнов мне не удалось обнаружить кривизну для неявно заданной кривой. Может не в том параграфе смотрел? Стал копаться в интернете и в одной из статей нашёл такую формулу для вычисления кривизны кривой, заданной неявно уравнением $f(x,y)=0$:

$$K=\dfrac{(f'_y)^2f''_{xx}-2f'_xf'_yf''_{xy}+(f'_x)^2f''_{yy}}{\left((f'_x)^2+(f'_y)^2\right)^\frac{3}{2}}$$

Эта формула верна?

-- Чт июл 16, 2015 18:00:46 --

Алексей К. в сообщении #1037628 писал(а):

Есть ли "дуга, выпуклая вправо", на окружности $x^2+y^2-R^2=0$? На параболе $y=K\,x^2$?
Это я спрашиваю, чтобы понять, что Вы имеете в виду, говоря о такой дуге (ибо не понимаю). Укажете на такую дугу (например, по номеру квадранта), и я Вам сосчитаю вторую производную.

Исходя из Ваших вопросов и комментариев я делаю вывод: при возникновении на кривой "вертикально ориентированных участков" (простите за новый термин, надеюсь он понятен), кривую нужно разрезать на несколько частей таким образом, чтобы каждый участок попадал под стандартное определение "кривая выпукла вверх" или "кривая выпукла вниз". Правильно? А то меня чем смутила такая ситуация: если аргумент функции испытывает приращение $\Delta x$, то значение функции испытывает при этом два разных приращения $\Delta y$ - ибо на одном участке кривой значение функции возрастает, а на другом убывает - и всё это при одном и том же изменении аргумента. Конечно, когда мы находим производную неявной функции в таких точках, то в правую часть производной подставляем сначала одно значение $y$, затем другое значение $y$ и соответственно для производной получаем два разных ответа. Также и со второй производной.

-- Чт июл 16, 2015 18:08:35 --

И вот ещё какой технический (а может и не технический) вопрос возникает по ходу темы: любую ли кривую, заданную уравнением $f(x,y)=0$, можно параметризовать?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

кривую нужно разрезать на несколько частей таким образом

Я не понимаю, зачем Вам (нам) нужно разрезать кривую? С какой целью? Для решения какой задачи?
Для поиска кривизны? Не нужно.
Для поиска асимптот? Не нужно.

Вы стали привлекать какие-то выпуклости... Зачем они?
Для поиска кривизны? Не нужны.
Для поиска асимптот? Та вроде тоже не нужны.

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

стандартное определение "кривая выпукла вверх" или "кривая выпукла вниз"

Я не верю, что где-то есть такие "стандартные определения". И, конечно, не буду шарить интернеты для изучения встречаемоси этих словосочетаний.

А Вы будете. Опять приведёте что-то из Пискунова или что-то из "в какой-то книге я читал".
А я Вас призываю писать осознанно, с пониманием каждого слова.
А у Вас не получается.

Shtorm в сообщении #1037736 писал(а):

аргумент функции испытывает приращение $\Delta x$, то значение функции испытывает при этом два разных приращения $\Delta y$ -

Мне такие функции неизвестны. Про многозначные я не умею разговаривать, всегда обходился без них, правильных слов не знаю.