Помогите со школьными задачками

[Atom001]

Здравствуйте!

Задача №1.

Цитата:

Когда восходит звезда, которая месяц назад восходила в 10 ч вечера?

В этой задаче я вообще не знаю, как подступиться, не знаю, какие использовать законы. Понятно, что Земля вращается вокруг Солнца, но как это влияет на то, что звезда будет менять время своего восхода? Расскажите, пожалуйста, какие здесь использовать закономерности?

Задача №2.

Цитата:

Некто уверял, что его знакомый, живя в Саратове, видел днём звезду Капеллу из очень глубокого колодца. Могло ли это быть?

Здесь не совсем понятна роль колодца. Днём в колодец можно рассматривать звёзды? Если возможно, то почему?
Географическая широта Саратова $\varphi=51°32'$, а склонение Капеллы $\delta=45°54'$. Тогда, высота Капеллы в верхней кульминации можно найти по формуле $h=90°-\varphi+\delta=90°-51,53+45,9°=84,37°=84°22'$. Получается весьма высоко, звезда должна быть видимой. В ответе: "нет". Видимо, я всё напутал. Распутайте, пожалуйста.

Задача №3.

Цитата:

Определите прямое восхождение и склонение северного полюса эклиптики, являющейся большим кругом сферы.

Склонение я нашёл легко. А вот с прямым восхождением проблемы. Насколько я понимаю, прямое восхождение $\alpha$ будет равно сумме красной и зелёной дуг. Красная дуга равна $180°$. А как найти зелёную? Судя по ответам, данным в задачнике, зелёная дуга равна $90°$. Но ведь точка весеннего равноденствия не лежит в точке запада. А именно точка запада делит дугу горизонта пополам. Опять какая-то путаница. Что я не так говорю?

[levtsn]

на первую задачу однозначно нельзя ответить, зависит от времени года. может быть как раньше так и позже.

[Atom001]

levtsn
В ответах говорят однозначно - в 8 ч вечера.

А как это "смещение" вообще можно вычислить? "Смещение" происходит из-за движения Земли вокруг Солнца. Но орбита Земли очень сложная (эллипс). Ладно ещё, когда Земля идёт по дугам эллипса, там ещё как-то можно посчитать. А когда она идёт по "бокам" своей орбиты? Там как быть?

[levtsn]

Atom001 в сообщении #1036544 писал(а):

levtsn
В ответах говорят однозначно - в 8 ч вечера.

А как это "смещение" вообще можно вычислить? "Смещение" происходит из-за движения Земли вокруг Солнца. Но орбита Земли очень сложная (эллипс). Ладно ещё, когда Земля идёт по дугам эллипса, там ещё как-то можно посчитать. А когда она идёт по "бокам" своей орбиты? Там как быть?

да все правильно, что-то я тупанул в очередной раз.

представим что солнце вращается вокруг земли (годовое движение один оборот за год).
тогда за месяц будет как раз 2 часа разница.

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1036544 писал(а):

А как это "смещение" вообще можно вычислить? "Смещение" происходит из-за движения Земли вокруг Солнца. Но орбита Земли очень сложная (эллипс). Ладно ещё, когда Земля идёт по дугам эллипса, там ещё как-то можно посчитать. А когда она идёт по "бокам" своей орбиты? Там как быть?

Эксцентриситет орбиты Земли мало отличается от нуля, так что с требуемой в задаче точностью им можно (и нужно) пренебречь.

А дальше все просто. Вращение Земли вокруг своей оси и обращение вокруг Солнца происходят в одну и ту же сторону, поэтому за год относительно звезд Земля совершает ровно на один оборот больше, чем относительно Солнца. Практически это означает, что восход (или заход, или кульминация) любой конкретной звезды каждые сутки происходит (по солнечному времени) примерно на 4 минуты раньше, а каждый месяц - на $24/12 = 2$ часа раньше.

Atom001 в сообщении #1036534 писал(а):

Здесь не совсем понятна роль колодца. Днём в колодец можно рассматривать звёзды? Если возможно, то почему?

Легенда о том, что днем из глубокого колодца можно увидеть звезды, до сих пор иногда встречается в литературе. Тут-то это неважно, смысл задачи сводится к вычислению высоты в верхней кульминации (что Вы и сделали), просто $5^\circ$ от зенита - это уже довольно много. Для того, чтобы объекты, находящиеся на таком расстоянии, не были видны, надо, чтобы глубина колодца была раз в десять больше диаметра, что для глубокого колодца, пожалуй, выполняется.

Atom001 в сообщении #1036534 писал(а):

А вот с прямым восхождением проблемы. Насколько я понимаю, прямое восхождение $\alpha$ будет равно сумме красной и зелёной дуг. Красная дуга равна $180°$. А как найти зелёную? Судя по ответам, данным в задачнике, зелёная дуга равна $90°$. Но ведь точка весеннего равноденствия не лежит в точке запада. А именно точка запада делит дугу горизонта пополам. Опять какая-то путаница. Что я не так говорю?

А где на Вашем рисунке горизонт и точка запада? Если что - вопрос риторический.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1036568 писал(а):

Эксцентриситет орбиты Земли мало отличается от нуля, так что с требуемой в задаче точностью им можно (и нужно) пренебречь.

А дальше все просто. Вращение Земли вокруг своей оси и обращение вокруг Солнца происходят в одну и ту же сторону, поэтому за год относительно звезд Земля совершает ровно на один оборот больше, чем относительно Солнца. Практически это означает, что восход (или заход, или кульминация) любой конкретной звезды каждые сутки происходит (по солнечному времени) примерно на 4 минуты раньше, а каждый месяц - на $24/12 = 2$ часа раньше.

Ясно. Спасибо!

Pphantom в сообщении #1036568 писал(а):

Легенда о том, что днем из глубокого колодца можно увидеть звезды, до сих пор иногда встречается в литературе.

Ааа... Это всего лишь легенда. А я то уже размечтался, что теперь и днём смогу звёзды созерцать :(

Pphantom в сообщении #1036568 писал(а):

Тут-то это неважно, смысл задачи сводится к вычислению высоты в верхней кульминации (что Вы и сделали), просто $5^\circ$ от зенита - это уже довольно много. Для того, чтобы объекты, находящиеся на таком расстоянии, не были видны, надо, чтобы глубина колодца была раз в десять больше диаметра, что для глубокого колодца, пожалуй, выполняется.

Понял. Спасибо!

Pphantom в сообщении #1036568 писал(а):

А где на Вашем рисунке горизонт и точка запада? Если что - вопрос риторический.

Давайте, пожалуйста, он не будет риторическим. Небесная сфера - вещь не простая, поэтому я хочу разобраться.
Вот, я нашёл рисунок по-лучше.



Так. Фиолетовый круг - горизонт. Линия Восток-Запад делит круг горизонта пополам. Линия Восток-Запад лежит в плоскости другого круга (зелёного) - небесного экватора. Но небесный экватор вписан в ту же сферу, что и горизонт, значит линия Восток-Запад также делит круг небесного экватора пополам.
Пусть та точка, в которой небесный экватор пересекает небесный меридиан около точки юга, называется $A$. Тогда, дуга $WA=90°$.
Прямое восхождение - это угловое расстояние от точки весеннего равноденствия до круга, проходящего через полюса мира и светило. По первому рисунку получается (если сопоставить со вторым), что точка запада лежит правее точки весеннего равноденствия. Значит зелёная дуга на первом рисунке $>90°$.

И ещё, вот я смотрю на второй рисунок: плоскость эклиптики не удастся наложить на небесный экватор поворотом вокруг одной оси. (Например, небесный экватор можно наложить на горизонт, повернув вокруг оси Восток-Запад). Значит, полюса эклиптики не должны лежать на одном круге с полюсами мира?

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1036585 писал(а):

Вот, я нашёл рисунок по-лучше.

Нет, в данном случае этот рисунок не нужен, первый был куда полезнее.

Собственно, ответ на риторический вопрос - "их там нет". И, более того, они и не нужны. Прямое восхождение отсчитывается вдоль небесного экватора до проекции объекта на экватор, соответственно, зеленая дуга на первом рисунке равна $90^\circ$.

Atom001 в сообщении #1036585 писал(а):

плоскость эклиптики не удастся наложить на небесный экватор поворотом вокруг одной оси.

Удастся. Ось проходит через точки весеннего и осеннего равноденствия.

Собственно, из общих геометрических соображений следует, что такое совмещение возможно для любых двух плоскостей.

Atom001 в сообщении #1036585 писал(а):

Значит, полюса эклиптики не должны лежать на одном круге с полюсами мира?

Должны, причем это тоже чистая геометрия. Полюса эклиптики по определению лежат на прямой (оси эклиптики), проходящей через центр сферы. Полюса мира - аналогично (в этом случае прямая называется осью мира). На две пересекающихся прямые всегда можно натянуть плоскость, соответственно, существует и большой круг, проходящий через все четыре точки.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1036588 писал(а):

Прямое восхождение отсчитывается вдоль небесного экватора до проекции объекта на экватор, соответственно, зеленая дуга на первом рисунке равна $90^\circ$.

Тогда, дуга $WA\ne 90°$?

Pphantom в сообщении #1036588 писал(а):

Удастся. Ось проходит через точки весеннего и осеннего равноденствия.

Эх! Двумерная проекция трёхмерного объекта никак не поддаётся осознанию мной.

Pphantom в сообщении #1036588 писал(а):

Должны, причем это тоже чистая геометрия.

Да, действительно. Это я поспешил с выводами.

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1036593 писал(а):

Тогда, дуга $WA\ne 90°$?

Нет, она тоже $90^\circ$. Просто забудьте о горизонте и точке запада, они тут совершенно не нужны.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1036596 писал(а):

Нет, она тоже $90^\circ$

Постойте. Разве могут две дуги, находящиеся на одной окружности и имеющие общий конец - проекция точки летнего солнцестояния на небесный экватор, но имеющие разные начала - одна дуга начинается в точке овна, другая в точке запада, иметь одинаковые размеры?

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1036602 писал(а):

имеющие общий конец - проекция точки летнего солнцестояния на небесный экватор

Вот откуда это следует?

[Atom001]

Pphantom
А! Второй рисунок меня явно сбил с толку. Теперь я понял. Спасибо!

Всё, теперь давайте разберёмся с первым рисунком (он действительно полезнее, Вы были правы). Всё. Есть первый рисунок, требуется определить зелёную дугу. Почему она равна $90°$? Как это доказать?

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1036615 писал(а):

Есть первый рисунок, требуется определить зелёную дугу. Почему она равна $90°$? Как это доказать?

Пожалуй, это совершенно очевидно, но попробуем.

Линия пересечения эклиптики и экватора перпендикулярна и оси мира, и оси эклиптики (поскольку лежит в плоскостях, перпендикулярных соответствующим осям). Соответственно, она перпендикулярна и плоскости, проходящей через ось мира и ось эклиптики. Следовательно, угловое расстояние между точкой пересечения экватора и эклиптики и этой плоскостью - $90^\circ$.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1036619 писал(а):

Пожалуй, это совершенно очевидно, но попробуем.

Большое спасибо! :)

[Atom001]

Задача №4

Цитата:

Сколько времени нужно лететь от Земли до Марса в межпланетном корабле, движущемся по орбите, перигелийное расстояние которой равно 1 а.е., а афелийное расстояние равно 1,5 а.е.?

Сначала, для наглядности (чтобы понять задачу), я решил нарисовать рисунок, в котором Марс будет в противостоянии. На рисунке голубая орбита - орбита корабля. Красным кружком показано место встречи корабля и Марса.
В данной ситуации корабль пройдёт угол $\alpha$. Точно такой же угол пройдёт и Марс:



Имеет место быть такая пропорция: $\frac{\alpha}{t}=\frac{360°}{T_\mars}$, где $t$ - искомое время, $T_\mars$ - сидерический период Марса. Тогда время можно найти, но для этого надо знать $\alpha $. Как его найти? Нужно ещё как-то использовать перигелийное и афелийное расстояния, только я не пойму как.

Если пробовать по-другому выразить время, то мне на ум приходит только кинематика, а там вообще будет куча неизвестных величин.

Может не стоит рассматривать вырожденный случай и задача сама собой решится тогда? Хотя, в общем случае начального расположения тел, всё ещё сложнее, чем для противостояния.