Полнота функций

[LynxGAV]

Физики часто получают функции, которые заведомо полны (математики при этом широко открывают глаза и говорят -- на каком классе? ), но доказательством при этом не занимаются -- неблагодарное это дело. Вспомнить хотя бы атом водорода.. Уверена, что многие их $\psi_n (x) = \frac {1}{\sqrt {2^n n! \sqrt {\pi}}}e^{-\frac{x^2}{2}}H_n (x)$ $\in D(\mathcal H)\subset \mathcal H$ (где $H_n (x)= (-1)^n e^{x^2} \frac {d^n}{dx^n}e^{-x^2}$ - полиномы Эрмита) знают в лицо. Полнота по-нашенски подразумевает $\sum\limits_n \psi_n (x) \psi_n^* (x') = \delta (x-x')$. Т.о. сведений больше, чем достаточно. Я подумала, у меня бы в доказательстве было три пункта.. Жду Ваших. Доказательств, не пунктов .
Да, хфизики, ради смеха, кто-то встречал доказательство в литературе?

[Руст]

Когда говорят о полноте системы функций подразумевается в каком то топологическом пространстве. Вы только указали систему функций и проверили, что они ортонормированы в L2(R). Так как R не компактно само L2(R) не полное евклидово пространство (т.е. не гильбертовое). В любом евклидовом пространстве можно выбрать ортонормированную систему векторов. Но это ничего не значит относительно возможности разложения других векторов по этим функциям.

[Котофеич]

LynxGAV писал(а):

Физики часто получают функции, которые заведомо полны (математики при этом широко открывают глаза и говорят -- на каком классе? ), но доказательством при этом не занимаются -- неблагодарное это дело. Вспомнить хотя бы атом водорода.. Уверена, что многие их $\psi_n (x) = \frac {1}{\sqrt {2^n n! \sqrt {\pi}}}e^{-\frac{x^2}{2}}H_n (x)$ $\in D(\mathcal H)\subset \mathcal H$ (где $H_n (x)= (-1)^n e^{x^2} \frac {d^n}{dx^n}e^{-x^2}$ - полиномы Эрмита) знают в лицо. Полнота по-нашенски подразумевает $\sum\limits_n \psi_n (x) \psi_n^* (x') = \delta (x-x')$. Т.о. сведений больше, чем достаточно. Я подумала, у меня бы в доказательстве было три пункта.. Жду Ваших. Доказательств, не пунктов .
Да, хфизики, ради смеха, кто-то встречал доказательство в литературе?

Уважаемая LynxGAV. Ну еще в прошлом (каменном веке) была построена теория обобщенных спектральных разложений всяких там операторов по обобщенным собственным функциям. Там всякие системы полные вот в таком обобщенном смысле и изучались. Вот в этой книжке должны быть основы этой теории и ссылки http://lib.mexmat.ru/books/1828
А что Вы думаете про обобщенные черные дыры

[Dolopihtis]

Руст писал(а):

Когда говорят о полноте системы функций подразумевается в каком то топологическом пространстве. Вы только указали систему функций и проверили, что они ортонормированы в L2(R). Так как R не компактно само L2(R) не полное евклидово пространство (т.е. не гильбертовое). В любом евклидовом пространстве можно выбрать ортонормированную систему векторов. Но это ничего не значит относительно возможности разложения других векторов по этим функциям.

Насколько я знаю, ортонормированность выглядила -бы так:

$\int\psi_n (x) \psi_{n'} (x) dx = {\delta}_n^n'$.

А то что написала LynxGAV называется соотношением полноты. Во всяком в книжках по физике такая терминология используется

[Котофеич]

То что написала LynxGAV называется обобщенным соотношением полноты,
а понимать это равенство следует в смысле обобщенных функций. В книжках по хфизике
там такого понаписано, что читать жутко. Особенно у Хфейнмана.

[Trueman]

Котофеич писал(а):

:evil: То что написала LynxGAV называется обобщенным соотношением полноты,
а понимать это равенство следует в смысле обобщенных функций. В книжках по хфизике
там такого понаписано, что читать жутко. Особенно у Хфейнмана.

А вот хотелось бы уточнить, почему хфизика и Хфейнман, а не физика и Фейнман? Вы выражаете своё отношение к ним :=)) ?

[Руст]

Да я не усмотрел ваше соотношение с сопряжёнными (т.е. с обобщёнными) функциями. Но как я понимаю, эти соотношения будут эквивалентны полноте функций, когда (и по видимому только тогда) они вычислены в гильбертовым пространстве (т.е. в полном). Так как любой системе ортонормированных векторов можно сопоставить гильбертова пространство, натянутое на них (как последовательности координат сумма квадратов которых сходится). Но это полнота ничего не говорит о полноте в L2(R) или в каком либо его подпространстве, откуда индуцировано скалярное произведение. Т.е. это имеет мало отношения к математическому понятию полноты в некотором топологическом пространстве.

[Котофеич]

Trueman писал(а):

Котофеич писал(а):

:evil: То что написала LynxGAV называется обобщенным соотношением полноты,
а понимать это равенство следует в смысле обобщенных функций. В книжках по хфизике
там такого понаписано, что читать жутко. Особенно у Хфейнмана.

А вот хотелось бы уточнить, почему хфизика и Хфейнман, а не физика и Фейнман? Вы выражаете своё отношение к ним :=)) ?

Ну не ко всем конечно. Но есть среди них много таких которые абсолютно невнушаемы
в плане математики. Но в конце концов они сами говорят, что физика это искуство
обходиться без математики. Это правильно. Лучше вообще без математики, чем
с неправильной математикой.

[lofar]

Руст писал(а):

Так как R не компактно само L2(R) не полное евклидово пространство (т.е. не гильбертовое).

Пространство $L_2(\mu)$ гильбертово для любой положительной меры $\mu$, в частности, $L_2(\mathbb R)$ (с мерой Лебега) гильбертово.

[LynxGAV]

yog писал(а):

С ними разговаривать - это просто сказка!

Почему-то на данном форуме никто не интересуется мат. физикой кроме самих физиков . Понимаю, теория чисел..

Котофеич писал(а):

:evil: Уважаемая LynxGAV. Ну еще в прошлом (каменном веке) была построена теория обобщенных спектральных разложений всяких там операторов по обобщенным собственным функциям. Там всякие системы полные вот в таком обобщенном смысле и изучались. Вот в этой книжке должны быть основы этой теории и ссылки http://lib.mexmat.ru/books/1828

Котофеич! Я не живу в каменном веке, я живу в настоящем. Это хорошо, что вы мне ссылки даете, но.

По причине своего малолетнего возраста книг по тематике полностью прочитала две (и половину ), но по отдельным интересующим меня вопросам пересмотрела и постранично перелистала штук 30-40. Cовсем недавно даже пришлось пересматривать материалы конференций, таких как Mathematical Results in Quantum Mechanics, хоть и по другой причине. Так что будьте уверены, я отлично представляю, что есть в литературе и чего нет. Поэтому говорю вам и остальным, что доказательством полноты (их очень-очень мало, что касается задач для студентов -- единичные случаи) не занимается практически никто, потому что в общем случае это очень сложный вопрос, несущий в себе математические трудности. Я пыталась доказывать для других функций, проще же тех, что предложила на форуме, ничего нет -- это функции квантового гармонического осциллятора.

[Котофеич]

Уважаемая LynxGAV. Я не говорил что именно в этой книжке есть доказательство
Вашего тождества. Я этими вопросами давно не занимаюсь и точно уже не помню, что там
было для конкретных систем доказано. Ну я думаю Вы доказали это путем прямых вычислений. Я занимаюсь вопросами сходимости рядов только на компактах. Пока и там
проблем хватает. Ну малолетний возраст это не помеха для современных математиков.
Если Вам только 3 года то это сенсация, хотя говорят Ландау тоже в три годика начал там
что то изобретать. Ну а если Вам уже 20 лет, то это все нормально.

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

По причине своего малолетнего возраста книг по тематике полностью прочитала две (и половину ), но по отдельным интересующим меня вопросам пересмотрела и постранично перелистала штук 30-40. Cовсем недавно даже пришлось пересматривать материалы конференций, таких как Mathematical Results in Quantum Mechanics, хоть и по другой причине. Так что будьте уверены, я отлично представляю, что есть в литературе и чего нет. Поэтому говорю вам и остальным, что доказательством полноты (их очень-очень мало, что касается задач для студентов -- единичные случаи) не занимается практически никто, потому что в общем случае это очень сложный вопрос, несущий в себе математические трудности.

Удивительно, что есть живые физики которые занимаются такими вопросами.
Я уже давно выкинул из головы такие вопросы и поэтому мог кое-что подзабыть.
По моему есть фундаментальные теоремы о полноте "решений" уравнения Шредингера для "хороших" потенциалов.
ТОлько часто решений из L^2 не хватает. С гармоническим осцилятором все хорошо, а с атомом водорода номер не прокатит.

Руст писал(а):

Когда говорят о полноте системы функций подразумевается в каком то топологическом пространстве. Вы только указали систему функций и проверили, что они ортонормированы в L2(R). Так как R не компактно само L2(R) не полное евклидово пространство (т.е. не гильбертовое)

Ну и что? Берут и пополняют если надо. Добавляют пределы последовательностей.
Или поясните на примере что вы имеете в виду.

LynxGAV писал(а):

Да, хфизики, ради смеха, кто-то встречал доказательство в литературе?

Не думаю что это смешно.

[LynxGAV]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Удивительно, что есть живые физики которые занимаются такими вопросами.

Прокомментируй, пожалуйста, фразу. Она первая по списку..

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

Прокомментируй, пожалуйста, фразу. Она первая по списку..

Только при личной встрече.
Извиняюсь за оффтоп

[LynxGAV]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Только при личной встрече . Извиняюсь за оффтоп.

преподаватель Nathalie писал(а):

Возьмём доску. Вероятность того, что мы попадём в какую-то конкретную точку, забивая гвоздь, нулевая. Но если столяр хорошо прицелится, то он может в неё попасть. Таким образом, это событие произойдёт.

Вероятность того, что мы встретимся, где-то такая же.

Хочешь ли ты сказать, что такой вопрос не должен стоять вообще?

PS Ладно, пусть будет $P=\frac{2}{6.5 \times 10^9}$ .