2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение07.07.2015, 17:25 


07/07/15
228
Всем доброго дня!
Не так давно начал изучать КТП, а меня на кафедре неожиданно напрягли в короткий срок написать реферат (что-то наподобие нубского обзора страниц на 60) по КХД. В качестве основного учебника выбрал Ченг "Калибровочные теории в физике элементарных частиц", т.к.на мой взгляд он наиболее кратко и ясно вводит в курс дела и быстро приводит читателя к КХД. Внимательно прочитал и понял главы про теорию групп и кварковую модель, киральные и калибровочные симметрии (с частью этого материала уже знаком по Рубакову).
Однако возникли трудности с перенормировками и ренормгруппой. Во-первых, немного не улавливаю общий принцип. Правильно ли я понимаю, что основная идея перенормировок заключается в том, что физически наблюдаемые величины (масса, заряд и т.д.) могут быть измерены только в теории с взаимодействием? Вообщем-то, эта идея кажется вполне логичной (как мы будем мерить, если ничего не происходит?), но как ее грамотно теоретически обосновать? Дальше откуда следует, что в теории скалярного поля с взаимодействием $\lambda\varphi^{4}/4!$ в вершинах и пропагаторах начинают фигурировать уже не величины $m^2$ и $\lambda$, а некие другие $m_{0}^{2}$ и $\lambda_{0}$? Или лучше сказать, не почему, а как? Замена измеряемой массы (или как правильно сказать?) на голую массы кажется трюком и ловкостью рук, но в целом логична, а вот параметр теории-то почему меняется?

Теперь менее философские вопросы:

1) правильно ли я понимаю, что графическое представление собственно-энергетической функции - это петелька на пропагаторе?

2) в книжке в параграфе про перенормировку массы объясняется следующий прием.
Собственно-энергетическая часть в общем случае записывается в виде (обозначения как в учебнике точь-в-точь):

$\Sigma(p^2)=\Sigma(\m^2)+(p^2-m^2)\Sigma'(m^2)+\widetilde{\Sigma}(p^2)$,

где первый и второй член расходятся квадратично и логарифмически соответственно, а третий конечен. С данным разложением я согласен, но дальше автор говорит, что т.к. $\widetilde{\Sigma}(p^2)$ и $\Sigma'(m^2)$ - величины порядка $\lambda_{0}$ и поэтому можно написать: $\widetilde{\Sigma}(p^2)\approx (1-\Sigma'(m^2))\widetilde{\Sigma}(p^2)$! Вот на этом моменте я схватился за голову и не могу идти дальше. Как правильно понимать эту формулу? :shock: Сижу уже несколько часов, пытаюсь провести промежуточные выкладки и рассуждения. Дальше-то по книжке все идет шоколадно.

Может быть где-то получше изложены основные идеи теории перенормировок на конкретных примерах? Я вижу, что в большей степени не понимаю общий принцип, а не технику. Может быть, кто-то посоветует, с каких наводящих соображений и вопросов следует начать, чтобы двигаться в этой области? Заранее спасибо всем, кто откликнется.

-- 07.07.2015, 18:39 --

Пока писал, в голову пришла такая мысль.
Вот я спрашивал, почему в пропагаторах пишут уже не $m$ и $\lambda$, а $m_{0}$ и $\lambda_{0}$. Правильно ли сказать, что в точных пропагаторах теории с взаимодействием фигурируют величины $m$ и $\lambda$, а в пропагаторах свободного поля (нулевое приближение для вычисления точного пропагатора) - "голые" величины $m_{0}$ и $\lambda_{0}$? Чувствую, что звучит коряво, поэтому заранее извиняюсь перед читающим пост.
А насчет $\lambda$ и $\lambda_{0}$ у меня появилась следующая мысль, которую я пока не могу продолжить. Видимо дело в том, что эти лямбды - это тоже характеристики поля и образующих его частиц. То есть, в некотором смысле эти лямбды ничем не хуже массы и тоже измеряются на экспериментах.
В правильном направлении мыслю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение07.07.2015, 19:51 


07/06/11
1890
Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):
в короткий срок написать реферат по КХД

Если не секрет, где вы учитесь?

Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что основная идея перенормировок заключается в том, что физически наблюдаемые величины (масса, заряд и т.д.) могут быть измерены только в теории с взаимодействием?

Ну не совсем. Основная идея перенормировок в том, что мы берем считаем какую-либо физически наблюдаемую величину в высшихъ порядках теории возмущений, а у нас получается, что она бесконечная или вообще не считается. Тогда мы смотрим на выражения, которые у нас получились и замечаем, что структура у них в общем-то такая же как и вычислениях в низших порядках. И тут мы говорим: "ага, раз структура такая же, то значит и наши вычисления не совсем не правильные". Начинаем смотреть еще внимательнее и замечаем, что все бесконечные величины можно сгруппировать так, чтобы они "входили" в определение параметров теории -- масс, зарядов и констант взаимодействия. Ну туда их и запихиваем, это и называется перенормировка.

Например, есть у нас, допустим, комптоновское рассеяние $e^- ~\gamma \to e^- ~\gamma $. Вычесялм мы его сечение в первом порядке по теории возмущений, получаем $ \sigma = e^2 \Sigma$. Тут $e$ -- заряд электрона, точнее говоря, эта та константа, которая стоит в лагранжиане перед членом взаимодействия; $\Sigma$ -- все нам не интересное. Вычисляем во втором порядке по теории возмущений -- получаем бяку: $ \sigma = e^2 \Sigma + e^4 \Sigma`$. Теперь мы смотрим на эти выражения и замечаем, что в принципе можно сделать так: $ \sigma = e^2 \Sigma + e^4 \Sigma` = e^2 \left(1+ e^2 \cfrac{\Sigma`}{\Sigma} \right) \Sigma$. То есть все плохие вещи можно "загнать" в определение заряда: $\bar e = e \sqrt{1+ e^2 \cfrac{\Sigma`}{\Sigma}}$, то есть перенормировать модель. Теперь у нас есть физически наблюдаемая величина -- сечение рассеяние. В нее входит параметр, который в измерениях мы будем видеть как заряд электрона -- $\bar e$. Ну и наши расчеты нам еще и показывают, что $\bar e$ начинает зависеть от энергии.

Физика, на сколько я понимаю, в этом такая. Теория возмущения на то и теория возмущений, чтобы работать рядом с областью, где возмущения малы. Если мы работаем в высших ее порядках, то мы вполне можем оказаться в областях, где теория возмущений не применима. Заметим мы это когда в наших расчетах появятся расходящиеся величины. И вот тут мы можем продлить действие теории возмущений, заплатив за это цену -- получив бегущие константы связи. То есть, мы говорим, что при больших энергиях у нас появляется новая физики, которую мы не можем адекватно описать теорией возмущений. Но, если мы чуть-чуть подкрутим ее параметры -- константы связи -- то получим корректное описание.

Ренормгруппа это логическое продление теории возмущений. Большинство моделей физики элементарных частиц комформно инвариантны. Это означает, что в них нет выделенного масштаба. Нет масштаба -- значит нет критерия для сравнения. То есть, при перенормировках мы банально не сможем сказать, какая энергия будет слишком большой, чтобы нарушить теорию возмущений -- сама модель не в курсе что для нее много. Потому пишутся определенные уравнения, которые как раз отображают факт комформной инвариантности из которых получаются выражения для бегущих констант связи.

Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):
1) правильно ли я понимаю, что графическое представление собственно-энергетической функции - это петелька на пропагаторе?

В низших порядка -- да. В высших -- много перелек, петельки на петельках и петельки из петелек на петельках.

Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):
Может быть где-то получше изложены основные идеи теории перенормировок на конкретных примерах?

Посмотрите Боголюбова. Еще можете посмотреть тут и тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение07.07.2015, 20:05 


07/07/15
228
EvilPhysicist
О как! А смысл этих "бегущих констант" чисто формальный или им можно придать физический смысл?
У Боголюбова несколько книжек по КТП. Какую именно?
А по поводу других моих вопросов Вы можете подсказать? Я вроде начинаю понемногу улавливать смысл, но от хорошего формального понимания пока далек. Я никак не могу избавиться от взятой из ниоткуда мысли, что все расходимости на самом деле проистекают из взаимодействия частиц с вакуумом, заполненным нулевыми колебаниями (модами), и лишь косвенно обусловлены ограниченной областью применения теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение07.07.2015, 20:38 


07/06/11
1890
Blancke_K в сообщении #1034418 писал(а):
А смысл этих "бегущих констант" чисто формальный или им можно придать физический смысл?

Я с несколькими людьми говорит, мнения расходятся (как и все, связанное с перенормировками в КТП). На сколько я чего понимаю, дело обстоит так.

Во-первых, есть некие "проблемы" в нашем формализме. Начнем с того, что мы всегда строим квантовые теории поля "сверху вниз" -- по классическому лагранжиану пишется матрица рассеяние или по классическому гамильтониану строится квантовый. Строго говоря, это не совсем правильный подход. В таком подходе есть операторы рождения (есть еще и уничтожения, но рождения важнее). Вот построили мы квантовую модель по классической; берем в ней вакуум и рождаем в ней одну единственную частицу, скажем, электрон. И надо понимать, что этот электрон -- один единственный. Но, как вы знаете, в вакууме может происходить рождение и аннигиляция пар. И в реальности, вокруг электрона всегда будет кружиться множество электрон-позитронных пар, которые называют шубой электрона. Наш формализм "с наскоку" это не описывает, но этот эффект имеет место быть. И когда мы в реальности ставим эксперимент, то же комптоновское рассеяние, то будем видеть эту шубу. Шуба будет немного экранировать заряд электрона, что мы и видим на эксперименте и получаем с помощью перенормировок.

То бишъ, физический смысл -- учет не тривиальных эффектов, связанных с тем, что природа устроенна чуть сложнее, чем нам бы хотелось.

Blancke_K в сообщении #1034418 писал(а):
У Боголюбова несколько книжек по КТП. Какую именно?

Посмотрите все, вроде во всех понемногу написано

Blancke_K в сообщении #1034418 писал(а):
А по поводу других моих вопросов Вы можете подсказать? Я вроде начинаю понемногу улавливать смысл, но все равно кажется фокусом.

Чуть позже, самому надо чуть вспомнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение07.07.2015, 21:08 


07/07/15
228
EvilPhysicist
А что Вы скажете насчет моей дурацкой идеи о вакуумных колебаниях?
И давайте попробуем на более простой скалярной теории разобраться, а потом уже электродинамику. Это я про себя конечно, а не про Вас :-)
В КЭД все физичнее конечно, но в перенормировках мне важнее сейчас формальный аппарат усвоить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение07.07.2015, 23:53 


07/06/11
1890
Blancke_K в сообщении #1034418 писал(а):
Я никак не могу избавиться от взятой из ниоткуда мысли, что все расходимости на самом деле проистекают из взаимодействия частиц с вакуумом, заполненным нулевыми колебаниями (модами), и лишь косвенно обусловлены ограниченной областью применения теории.

Ну почти что так. Надо оговорить что такое вакуум.

В классике (не квантовых моделях) вакуум это когда ничего нет. В квантах, однако, есть принцип неопределенности. Сами помните, $\Delta p \Delta x \geq \hbar$. Значит у нас на масштабе $L$ могут рождаться частицы с суммарным импульсом меньше $\hbar/L$. Вот по этому и есть такая вещь, как виртуальные частицы. Поэтому, если мы работаем в рамках квантовой теории, мы не сможем в принципе создать ситуацию "когда ничего нет". Если мы вылавливаем все что есть сачком, то надо помнить, что в сачке дырки размером в $\hbar$. Поэтому под вакуумом в квантовых моделях, чаще всего, понимают состояние, где нет обычных частиц, но могут быть виртуальные. В свете этого, я не очень понимаю, что вы понимаете под колебания вакуума.

Насчет того, откуда берутся расходимости, опять же, мнения есть разные. Я придерживают того, что расходимости связаны с тем, что наш формализм не очень хороший. Банально тот мат аппарат, который используется в КТП, довольно громоздкий, сложный и математиками, на сколько я знаю, до конца не разработан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение08.07.2015, 00:11 


07/07/15
228
EvilPhysicist
Ну я и имел ввиду то, что в свободной теории энергия основного состояния равна $\sum{\hbar\omega/2}$. Эту штуку обычно называют вакуумными флуктуациями или нулевыми колебаниями, вроде стандартный термин (прошу прощения, если говорить "вакуумные колебания" не принято, хотя это вроде одно и то же). С принципом неопределенности я согласен, но конкретную формулу он нам все-таки не даст:)
А по-моему формализм вполне себе хороший и мое мнение в этом плане уходит в сторону того, что перенормированные величины обладают физическим смыслом и даже именно они измеряются на эксперименте. То есть вообщем-то скажем масса элементарной частицы - это фундаментальная константа, но из-за того, что в разных взаимодействиях она ведет себя разным образом, мы измеряем несколько другие значения. Хотелось бы услушать мнение экспериментаторов или людей, которые в курсе экспериментов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение08.07.2015, 00:44 


07/06/11
1890
Blancke_K в сообщении #1034511 писал(а):
Ну я и имел ввиду то, что в свободной теории энергия основного состояния равна $\sum{\hbar\omega/2}$.

Ну вообще чему она равна существенно зависит от модели. Плюс, она отлична от нуля если мы пишем квантовый гамильтониан по классическому.

То есть, если мы взяли $L=\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + m^2 \phi^2$ и проквантовали до $H= \int ~ \cfrac{d^3 \vec k}{(2\pi)^2 \sqrt{2 k_0^2}} ~\cfrac12 ~ k_0 ~ (a^+(\vec k) a^- (\vec k)+ a^-(\vec k) a^+(\vec k) ) $, то при таких построениях энергия вакуума будет что-то вроде $E_0 = \int \d^3 \vec k~ \cfrac12 ~ \omega$. Тут важно помнить, что энергия вакуума в моделях без гравитации не является физически наблюдаемой величиной, поэтому чему она равно нам не важно.

Blancke_K в сообщении #1034511 писал(а):
Эту штуку обычно называют вакуумными флуктуациями или нулевыми колебаниями, вроде стандартный термин

Видимо я другие книжки читаю, но мне казалось, что под вакуумными флуктуациями подразумевают как раз процессы рождения виртуальных пар в вакууме. А нулевые колебания это вообще в квантовой механике для гармонического осциллятора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение08.07.2015, 00:54 


07/07/15
228
EvilPhysicist
В Ландау-Лифшице в 4-м томе энергию основного состояния свободного э/м поля тоже называют энергией нулевых колебаний. Да, я согласен, что эта энергия зависит от модели. Если включить взаимодействие, например, то она изменится, это понятно. Я просто по умолчанию подразумевал скалярное поле, т.к.изначально речь шла о нем. И я на самом деле соглашусь с Вами, что называть энергию нулевых колебаний вакуумными флуктуации не правильно. Наверное правильно сказать, что энергия основного состояния в КТП отлична от нуля из-за упомянутого Вами процесса рождения и уничтожения виртуальных частиц. А этот процесс следует назвать вакуумными флуктуациями. Правильно рассуждаю?
Физически эта энергия ненаблюдаема, но формулу знать, как я понимаю, в некоторых задачах нужно (например, эффект Казимира, но это уже экзотика).

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение08.07.2015, 01:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Добавлю книжку Хелзен-Мартин. Многое про КХД на пальцах, причём на языке конкретных экспериментальных величин. И объяснения перенормировок простые и нубские.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение08.07.2015, 01:54 


07/07/15
228
Munin
О, вот с чего следовало начинать!
Спасибо, скачал, хорошая книга, не для систематического изучения, но хороша как введение.

-- 08.07.2015, 02:59 --

Вот кстати и объяснено по-человечески, что значение измеряемой константы зависит от эксперимента :-)
Когда я разберусь в том, что написано в книге Ченга-Ли, можно ли написать сюда и кто-нибудь сможет проверить, правильно ли я понял, или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение08.07.2015, 07:20 
Заслуженный участник


21/08/10
2462
Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):
Однако возникли трудности с перенормировками и ренормгруппой. Во-первых, немного не улавливаю общий принцип. Правильно ли я понимаю, что основная идея перенормировок заключается в том, что физически наблюдаемые величины (масса, заряд и т.д.) могут быть измерены только в теории с взаимодействием? Вообщем-то, эта идея кажется вполне логичной (как мы будем мерить, если ничего не происходит?), но как ее грамотно теоретически обосновать? Дальше откуда следует, что в теории скалярного поля с взаимодействием $\lambda\varphi^{4}/4!$ в вершинах и пропагаторах начинают фигурировать уже не величины $m^2$ и $\lambda$, а некие другие $m_{0}^{2}$ и $\lambda_{0}$? Или лучше сказать, не почему, а как? Замена измеряемой массы (или как правильно сказать?) на голую массы кажется трюком и ловкостью рук, но в целом логична, а вот параметр теории-то почему меняется?


Суть здесь вот в чем. Мы всегда можем написать: $m_0^2=m^2 - (m^2-m_0^2)$. И то же самое с членом взаимодействия, и, вообще говоря, градиентным членом. Пока $m$ --- это просто буква, далее мы наложим специальные условия (условия перенормировки), что эта буква и будет физической массой. Теперь мы все дополнительные члены типа $ (m^2-m_0^2)\phi^2$ считаем взаимодействием и рассматриваем их по теории возмущений (ТВ). Эти дополнительные члены тоже породят расходимости, но такие же и с другим знаком, как "исходные" расходимости. Расходимости скомпенсируются! Тонкость, правда, заключается в том, что эта компенсация расходимостей будет между членами разного порядка ТВ (от исходного взаимодействия и дополнительного взаимодействия). Теперь условия перенормировки. Подбираем $m$ так, чтобы полюс пропогатора был "на правильном месте". А физическая константа взаимодействия $\lambda$ это ничто иное, как четырехвостка при некотором наборе импульсов (это и есть точка перенормировки) БЕЗ ПЕТЛЕВЫХ ПОПРАВОК. Т.е. условие на физическую константу связи заключается в том, что при некотором (произвольно заданном) наборе импульсов все петлевые поправки обращаются в нуль (не по отдельности, но в сумме). Именно так нужно выбрать перенормированную $\lambda$. Ну теперь и до ренормгруппы недалеко: просто смотрим как меняются $m$ и $\lambda$ при пропорциональном изменении точки нормировки (набора четырех импульсов).

А вообще физический смысл всех этих трюков очень ясно (и довольно образно) объяснен у Зи ("КТП в двух словах", так кажется, по английски "КТП в ореховой скорлупке", но перевели так в русском издании).

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение08.07.2015, 09:39 


07/06/11
1890
Blancke_K в сообщении #1034531 писал(а):
В Ландау-Лифшице в 4-м томе энергию основного состояния свободного э/м поля тоже называют энергией нулевых колебаний.

Л.Л.4 довольно-таки устарел.

Blancke_K в сообщении #1034531 писал(а):
Наверное правильно сказать, что энергия основного состояния в КТП отлична от нуля из-за упомянутого Вами процесса рождения и уничтожения виртуальных частиц. А этот процесс следует назвать вакуумными флуктуациями. Правильно рассуждаю?

Согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение08.07.2015, 18:49 


07/07/15
228
Всем спасибо за помощь! У меня появилась следующая мысль насчет того, что написано в книжке Ченга-Ли.
Вот в скалярной теории $\lamda\varphi^{4}$ нам удалось привести точный пропагатор к виду:

$\triangle(p)=1/[(p^2-m^2)(1-\Sigma'(m^2))-\widetilde\Sigma(p^2)+i\varepsilon]$,

где $m^2=p^2$ - "физическая" масса (термин из книжки), $\Sigma'(m^2)$ - логарифмически расходящаяся штуковина, а $\widetilde\Sigma(p^2)$ - конечна;

Рассмотрим знаменатель этого выражения. Нас интересует область значений $p^2$ вблизи полюса $m^2$. Представим знаменатель в виде (эпсилон не пишу для краткости):

$(p^2-m^2)(1-\Sigma'(m^2))-\widetilde{\Sigma}(p^2)=(1-\Sigma'(m^2))[(p^2-m^2)-\widetilde{\Sigma}(p^2)/(1-\Sigma'(m^2))]$

Теперь обратим внимание на то, что при $p^2 \approx m^2$ у нас $\widetilde{\Sigma}(p^2) \approx \widetilde{\Sigma}(m^2) \approx 0$. Т.к. $(1-\Sigma'(m^2))$ - величина большая, это позволяет нам сделать вот эту хитрость $\widetilde{\Sigma}(p^2)/(1-\Sigma'(m^2)) \approx \widetilde{\Sigma(p^2)}$ вблизи точки $p^2=m^2$. Правильно ли я понял? На самом деле вроде бы просто, но додуматься не мог очень долго.

Если все ок, то что делать дальше, я знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Просьба помочь с базовыми понятиями КТП
Сообщение08.07.2015, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10853
EvilPhysicist в сообщении #1034501 писал(а):
Я придерживают того, что расходимости связаны с тем, что наш формализм не очень хороший. Банально тот мат аппарат, который используется в КТП, довольно громоздкий, сложный и математиками, на сколько я знаю, до конца не разработан.
Надо заметить, что в простом мат. аппарате классической электродинамики точечный заряд тоже порождает расходимости (попробуйте посчитать энергию поля точечного заряда). В квантовой электродинамике точечность заряда никуда не девалась. Поэтому было бы очень странно, если бы в ней не возникало в точности таких же расходимостей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group