Просьба помочь с базовыми понятиями КТП

[Blancke_K]

Всем доброго дня!
Не так давно начал изучать КТП, а меня на кафедре неожиданно напрягли в короткий срок написать реферат (что-то наподобие нубского обзора страниц на 60) по КХД. В качестве основного учебника выбрал Ченг "Калибровочные теории в физике элементарных частиц", т.к.на мой взгляд он наиболее кратко и ясно вводит в курс дела и быстро приводит читателя к КХД. Внимательно прочитал и понял главы про теорию групп и кварковую модель, киральные и калибровочные симметрии (с частью этого материала уже знаком по Рубакову).
Однако возникли трудности с перенормировками и ренормгруппой. Во-первых, немного не улавливаю общий принцип. Правильно ли я понимаю, что основная идея перенормировок заключается в том, что физически наблюдаемые величины (масса, заряд и т.д.) могут быть измерены только в теории с взаимодействием? Вообщем-то, эта идея кажется вполне логичной (как мы будем мерить, если ничего не происходит?), но как ее грамотно теоретически обосновать? Дальше откуда следует, что в теории скалярного поля с взаимодействием $\lambda\varphi^{4}/4!$ в вершинах и пропагаторах начинают фигурировать уже не величины $m^2$ и $\lambda$, а некие другие $m_{0}^{2}$ и $\lambda_{0}$? Или лучше сказать, не почему, а как? Замена измеряемой массы (или как правильно сказать?) на голую массы кажется трюком и ловкостью рук, но в целом логична, а вот параметр теории-то почему меняется?

Теперь менее философские вопросы:

1) правильно ли я понимаю, что графическое представление собственно-энергетической функции - это петелька на пропагаторе?

2) в книжке в параграфе про перенормировку массы объясняется следующий прием.
Собственно-энергетическая часть в общем случае записывается в виде (обозначения как в учебнике точь-в-точь):

$\Sigma(p^2)=\Sigma(\m^2)+(p^2-m^2)\Sigma'(m^2)+\widetilde{\Sigma}(p^2)$,

где первый и второй член расходятся квадратично и логарифмически соответственно, а третий конечен. С данным разложением я согласен, но дальше автор говорит, что т.к. $\widetilde{\Sigma}(p^2)$ и $\Sigma'(m^2)$ - величины порядка $\lambda_{0}$ и поэтому можно написать: $\widetilde{\Sigma}(p^2)\approx (1-\Sigma'(m^2))\widetilde{\Sigma}(p^2)$! Вот на этом моменте я схватился за голову и не могу идти дальше. Как правильно понимать эту формулу? Сижу уже несколько часов, пытаюсь провести промежуточные выкладки и рассуждения. Дальше-то по книжке все идет шоколадно.

Может быть где-то получше изложены основные идеи теории перенормировок на конкретных примерах? Я вижу, что в большей степени не понимаю общий принцип, а не технику. Может быть, кто-то посоветует, с каких наводящих соображений и вопросов следует начать, чтобы двигаться в этой области? Заранее спасибо всем, кто откликнется.

-- 07.07.2015, 18:39 --

Пока писал, в голову пришла такая мысль.
Вот я спрашивал, почему в пропагаторах пишут уже не $m$ и $\lambda$, а $m_{0}$ и $\lambda_{0}$. Правильно ли сказать, что в точных пропагаторах теории с взаимодействием фигурируют величины $m$ и $\lambda$, а в пропагаторах свободного поля (нулевое приближение для вычисления точного пропагатора) - "голые" величины $m_{0}$ и $\lambda_{0}$? Чувствую, что звучит коряво, поэтому заранее извиняюсь перед читающим пост.
А насчет $\lambda$ и $\lambda_{0}$ у меня появилась следующая мысль, которую я пока не могу продолжить. Видимо дело в том, что эти лямбды - это тоже характеристики поля и образующих его частиц. То есть, в некотором смысле эти лямбды ничем не хуже массы и тоже измеряются на экспериментах.
В правильном направлении мыслю?

[EvilPhysicist]

Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):

в короткий срок написать реферат по КХД

Если не секрет, где вы учитесь?

Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что основная идея перенормировок заключается в том, что физически наблюдаемые величины (масса, заряд и т.д.) могут быть измерены только в теории с взаимодействием?

Ну не совсем. Основная идея перенормировок в том, что мы берем считаем какую-либо физически наблюдаемую величину в высшихъ порядках теории возмущений, а у нас получается, что она бесконечная или вообще не считается. Тогда мы смотрим на выражения, которые у нас получились и замечаем, что структура у них в общем-то такая же как и вычислениях в низших порядках. И тут мы говорим: "ага, раз структура такая же, то значит и наши вычисления не совсем не правильные". Начинаем смотреть еще внимательнее и замечаем, что все бесконечные величины можно сгруппировать так, чтобы они "входили" в определение параметров теории -- масс, зарядов и констант взаимодействия. Ну туда их и запихиваем, это и называется перенормировка.

Например, есть у нас, допустим, комптоновское рассеяние $e^- ~\gamma \to e^- ~\gamma $. Вычесялм мы его сечение в первом порядке по теории возмущений, получаем $ \sigma = e^2 \Sigma$. Тут $e$ -- заряд электрона, точнее говоря, эта та константа, которая стоит в лагранжиане перед членом взаимодействия; $\Sigma$ -- все нам не интересное. Вычисляем во втором порядке по теории возмущений -- получаем бяку: $ \sigma = e^2 \Sigma + e^4 \Sigma`$. Теперь мы смотрим на эти выражения и замечаем, что в принципе можно сделать так: $ \sigma = e^2 \Sigma + e^4 \Sigma` = e^2 \left(1+ e^2 \cfrac{\Sigma`}{\Sigma} \right) \Sigma$. То есть все плохие вещи можно "загнать" в определение заряда: $\bar e = e \sqrt{1+ e^2 \cfrac{\Sigma`}{\Sigma}}$, то есть перенормировать модель. Теперь у нас есть физически наблюдаемая величина -- сечение рассеяние. В нее входит параметр, который в измерениях мы будем видеть как заряд электрона -- $\bar e$. Ну и наши расчеты нам еще и показывают, что $\bar e$ начинает зависеть от энергии.

Физика, на сколько я понимаю, в этом такая. Теория возмущения на то и теория возмущений, чтобы работать рядом с областью, где возмущения малы. Если мы работаем в высших ее порядках, то мы вполне можем оказаться в областях, где теория возмущений не применима. Заметим мы это когда в наших расчетах появятся расходящиеся величины. И вот тут мы можем продлить действие теории возмущений, заплатив за это цену -- получив бегущие константы связи. То есть, мы говорим, что при больших энергиях у нас появляется новая физики, которую мы не можем адекватно описать теорией возмущений. Но, если мы чуть-чуть подкрутим ее параметры -- константы связи -- то получим корректное описание.

Ренормгруппа это логическое продление теории возмущений. Большинство моделей физики элементарных частиц комформно инвариантны. Это означает, что в них нет выделенного масштаба. Нет масштаба -- значит нет критерия для сравнения. То есть, при перенормировках мы банально не сможем сказать, какая энергия будет слишком большой, чтобы нарушить теорию возмущений -- сама модель не в курсе что для нее много. Потому пишутся определенные уравнения, которые как раз отображают факт комформной инвариантности из которых получаются выражения для бегущих констант связи.

Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):

1) правильно ли я понимаю, что графическое представление собственно-энергетической функции - это петелька на пропагаторе?

В низших порядка -- да. В высших -- много перелек, петельки на петельках и петельки из петелек на петельках.

Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):

Может быть где-то получше изложены основные идеи теории перенормировок на конкретных примерах?

Посмотрите Боголюбова. Еще можете посмотреть тут и тут.

[Blancke_K]

EvilPhysicist
О как! А смысл этих "бегущих констант" чисто формальный или им можно придать физический смысл?
У Боголюбова несколько книжек по КТП. Какую именно?
А по поводу других моих вопросов Вы можете подсказать? Я вроде начинаю понемногу улавливать смысл, но от хорошего формального понимания пока далек. Я никак не могу избавиться от взятой из ниоткуда мысли, что все расходимости на самом деле проистекают из взаимодействия частиц с вакуумом, заполненным нулевыми колебаниями (модами), и лишь косвенно обусловлены ограниченной областью применения теории.

[EvilPhysicist]

Blancke_K в сообщении #1034418 писал(а):

А смысл этих "бегущих констант" чисто формальный или им можно придать физический смысл?

Я с несколькими людьми говорит, мнения расходятся (как и все, связанное с перенормировками в КТП). На сколько я чего понимаю, дело обстоит так.

Во-первых, есть некие "проблемы" в нашем формализме. Начнем с того, что мы всегда строим квантовые теории поля "сверху вниз" -- по классическому лагранжиану пишется матрица рассеяние или по классическому гамильтониану строится квантовый. Строго говоря, это не совсем правильный подход. В таком подходе есть операторы рождения (есть еще и уничтожения, но рождения важнее). Вот построили мы квантовую модель по классической; берем в ней вакуум и рождаем в ней одну единственную частицу, скажем, электрон. И надо понимать, что этот электрон -- один единственный. Но, как вы знаете, в вакууме может происходить рождение и аннигиляция пар. И в реальности, вокруг электрона всегда будет кружиться множество электрон-позитронных пар, которые называют шубой электрона. Наш формализм "с наскоку" это не описывает, но этот эффект имеет место быть. И когда мы в реальности ставим эксперимент, то же комптоновское рассеяние, то будем видеть эту шубу. Шуба будет немного экранировать заряд электрона, что мы и видим на эксперименте и получаем с помощью перенормировок.

То бишъ, физический смысл -- учет не тривиальных эффектов, связанных с тем, что природа устроенна чуть сложнее, чем нам бы хотелось.

Blancke_K в сообщении #1034418 писал(а):

У Боголюбова несколько книжек по КТП. Какую именно?

Посмотрите все, вроде во всех понемногу написано

Blancke_K в сообщении #1034418 писал(а):

А по поводу других моих вопросов Вы можете подсказать? Я вроде начинаю понемногу улавливать смысл, но все равно кажется фокусом.

Чуть позже, самому надо чуть вспомнить.

[Blancke_K]

EvilPhysicist
А что Вы скажете насчет моей дурацкой идеи о вакуумных колебаниях?
И давайте попробуем на более простой скалярной теории разобраться, а потом уже электродинамику. Это я про себя конечно, а не про Вас
В КЭД все физичнее конечно, но в перенормировках мне важнее сейчас формальный аппарат усвоить.

[EvilPhysicist]

Blancke_K в сообщении #1034418 писал(а):

Я никак не могу избавиться от взятой из ниоткуда мысли, что все расходимости на самом деле проистекают из взаимодействия частиц с вакуумом, заполненным нулевыми колебаниями (модами), и лишь косвенно обусловлены ограниченной областью применения теории.

Ну почти что так. Надо оговорить что такое вакуум.

В классике (не квантовых моделях) вакуум это когда ничего нет. В квантах, однако, есть принцип неопределенности. Сами помните, $\Delta p \Delta x \geq \hbar$. Значит у нас на масштабе $L$ могут рождаться частицы с суммарным импульсом меньше $\hbar/L$. Вот по этому и есть такая вещь, как виртуальные частицы. Поэтому, если мы работаем в рамках квантовой теории, мы не сможем в принципе создать ситуацию "когда ничего нет". Если мы вылавливаем все что есть сачком, то надо помнить, что в сачке дырки размером в $\hbar$. Поэтому под вакуумом в квантовых моделях, чаще всего, понимают состояние, где нет обычных частиц, но могут быть виртуальные. В свете этого, я не очень понимаю, что вы понимаете под колебания вакуума.

Насчет того, откуда берутся расходимости, опять же, мнения есть разные. Я придерживают того, что расходимости связаны с тем, что наш формализм не очень хороший. Банально тот мат аппарат, который используется в КТП, довольно громоздкий, сложный и математиками, на сколько я знаю, до конца не разработан.

[Blancke_K]

EvilPhysicist
Ну я и имел ввиду то, что в свободной теории энергия основного состояния равна $\sum{\hbar\omega/2}$. Эту штуку обычно называют вакуумными флуктуациями или нулевыми колебаниями, вроде стандартный термин (прошу прощения, если говорить "вакуумные колебания" не принято, хотя это вроде одно и то же). С принципом неопределенности я согласен, но конкретную формулу он нам все-таки не даст:)
А по-моему формализм вполне себе хороший и мое мнение в этом плане уходит в сторону того, что перенормированные величины обладают физическим смыслом и даже именно они измеряются на эксперименте. То есть вообщем-то скажем масса элементарной частицы - это фундаментальная константа, но из-за того, что в разных взаимодействиях она ведет себя разным образом, мы измеряем несколько другие значения. Хотелось бы услушать мнение экспериментаторов или людей, которые в курсе экспериментов?

[EvilPhysicist]

Blancke_K в сообщении #1034511 писал(а):

Ну я и имел ввиду то, что в свободной теории энергия основного состояния равна $\sum{\hbar\omega/2}$.

Ну вообще чему она равна существенно зависит от модели. Плюс, она отлична от нуля если мы пишем квантовый гамильтониан по классическому.

То есть, если мы взяли $L=\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + m^2 \phi^2$ и проквантовали до $H= \int ~ \cfrac{d^3 \vec k}{(2\pi)^2 \sqrt{2 k_0^2}} ~\cfrac12 ~ k_0 ~ (a^+(\vec k) a^- (\vec k)+ a^-(\vec k) a^+(\vec k) ) $, то при таких построениях энергия вакуума будет что-то вроде $E_0 = \int \d^3 \vec k~ \cfrac12 ~ \omega$. Тут важно помнить, что энергия вакуума в моделях без гравитации не является физически наблюдаемой величиной, поэтому чему она равно нам не важно.

Blancke_K в сообщении #1034511 писал(а):

Эту штуку обычно называют вакуумными флуктуациями или нулевыми колебаниями, вроде стандартный термин

Видимо я другие книжки читаю, но мне казалось, что под вакуумными флуктуациями подразумевают как раз процессы рождения виртуальных пар в вакууме. А нулевые колебания это вообще в квантовой механике для гармонического осциллятора.

[Blancke_K]

EvilPhysicist
В Ландау-Лифшице в 4-м томе энергию основного состояния свободного э/м поля тоже называют энергией нулевых колебаний. Да, я согласен, что эта энергия зависит от модели. Если включить взаимодействие, например, то она изменится, это понятно. Я просто по умолчанию подразумевал скалярное поле, т.к.изначально речь шла о нем. И я на самом деле соглашусь с Вами, что называть энергию нулевых колебаний вакуумными флуктуации не правильно. Наверное правильно сказать, что энергия основного состояния в КТП отлична от нуля из-за упомянутого Вами процесса рождения и уничтожения виртуальных частиц. А этот процесс следует назвать вакуумными флуктуациями. Правильно рассуждаю?
Физически эта энергия ненаблюдаема, но формулу знать, как я понимаю, в некоторых задачах нужно (например, эффект Казимира, но это уже экзотика).

[Munin]

Добавлю книжку Хелзен-Мартин. Многое про КХД на пальцах, причём на языке конкретных экспериментальных величин. И объяснения перенормировок простые и нубские.

[Blancke_K]

Munin
О, вот с чего следовало начинать!
Спасибо, скачал, хорошая книга, не для систематического изучения, но хороша как введение.

-- 08.07.2015, 02:59 --

Вот кстати и объяснено по-человечески, что значение измеряемой константы зависит от эксперимента
Когда я разберусь в том, что написано в книге Ченга-Ли, можно ли написать сюда и кто-нибудь сможет проверить, правильно ли я понял, или нет?

[Alex-Yu]

Blancke_K в сообщении #1034378 писал(а):

Однако возникли трудности с перенормировками и ренормгруппой. Во-первых, немного не улавливаю общий принцип. Правильно ли я понимаю, что основная идея перенормировок заключается в том, что физически наблюдаемые величины (масса, заряд и т.д.) могут быть измерены только в теории с взаимодействием? Вообщем-то, эта идея кажется вполне логичной (как мы будем мерить, если ничего не происходит?), но как ее грамотно теоретически обосновать? Дальше откуда следует, что в теории скалярного поля с взаимодействием $\lambda\varphi^{4}/4!$ в вершинах и пропагаторах начинают фигурировать уже не величины $m^2$ и $\lambda$, а некие другие $m_{0}^{2}$ и $\lambda_{0}$? Или лучше сказать, не почему, а как? Замена измеряемой массы (или как правильно сказать?) на голую массы кажется трюком и ловкостью рук, но в целом логична, а вот параметр теории-то почему меняется?

Суть здесь вот в чем. Мы всегда можем написать: $m_0^2=m^2 - (m^2-m_0^2)$. И то же самое с членом взаимодействия, и, вообще говоря, градиентным членом. Пока $m$ --- это просто буква, далее мы наложим специальные условия (условия перенормировки), что эта буква и будет физической массой. Теперь мы все дополнительные члены типа $ (m^2-m_0^2)\phi^2$ считаем взаимодействием и рассматриваем их по теории возмущений (ТВ). Эти дополнительные члены тоже породят расходимости, но такие же и с другим знаком, как "исходные" расходимости. Расходимости скомпенсируются! Тонкость, правда, заключается в том, что эта компенсация расходимостей будет между членами разного порядка ТВ (от исходного взаимодействия и дополнительного взаимодействия). Теперь условия перенормировки. Подбираем $m$ так, чтобы полюс пропогатора был "на правильном месте". А физическая константа взаимодействия $\lambda$ это ничто иное, как четырехвостка при некотором наборе импульсов (это и есть точка перенормировки) БЕЗ ПЕТЛЕВЫХ ПОПРАВОК. Т.е. условие на физическую константу связи заключается в том, что при некотором (произвольно заданном) наборе импульсов все петлевые поправки обращаются в нуль (не по отдельности, но в сумме). Именно так нужно выбрать перенормированную $\lambda$. Ну теперь и до ренормгруппы недалеко: просто смотрим как меняются $m$ и $\lambda$ при пропорциональном изменении точки нормировки (набора четырех импульсов).

А вообще физический смысл всех этих трюков очень ясно (и довольно образно) объяснен у Зи ("КТП в двух словах", так кажется, по английски "КТП в ореховой скорлупке", но перевели так в русском издании).

[EvilPhysicist]

Blancke_K в сообщении #1034531 писал(а):

В Ландау-Лифшице в 4-м томе энергию основного состояния свободного э/м поля тоже называют энергией нулевых колебаний.

Л.Л.4 довольно-таки устарел.

Blancke_K в сообщении #1034531 писал(а):

Наверное правильно сказать, что энергия основного состояния в КТП отлична от нуля из-за упомянутого Вами процесса рождения и уничтожения виртуальных частиц. А этот процесс следует назвать вакуумными флуктуациями. Правильно рассуждаю?

Согласен.

[Blancke_K]

Всем спасибо за помощь! У меня появилась следующая мысль насчет того, что написано в книжке Ченга-Ли.
Вот в скалярной теории $\lamda\varphi^{4}$ нам удалось привести точный пропагатор к виду:

$\triangle(p)=1/[(p^2-m^2)(1-\Sigma'(m^2))-\widetilde\Sigma(p^2)+i\varepsilon]$,

где $m^2=p^2$ - "физическая" масса (термин из книжки), $\Sigma'(m^2)$ - логарифмически расходящаяся штуковина, а $\widetilde\Sigma(p^2)$ - конечна;

Рассмотрим знаменатель этого выражения. Нас интересует область значений $p^2$ вблизи полюса $m^2$. Представим знаменатель в виде (эпсилон не пишу для краткости):

$(p^2-m^2)(1-\Sigma'(m^2))-\widetilde{\Sigma}(p^2)=(1-\Sigma'(m^2))[(p^2-m^2)-\widetilde{\Sigma}(p^2)/(1-\Sigma'(m^2))]$

Теперь обратим внимание на то, что при $p^2 \approx m^2$ у нас $\widetilde{\Sigma}(p^2) \approx \widetilde{\Sigma}(m^2) \approx 0$. Т.к. $(1-\Sigma'(m^2))$ - величина большая, это позволяет нам сделать вот эту хитрость $\widetilde{\Sigma}(p^2)/(1-\Sigma'(m^2)) \approx \widetilde{\Sigma(p^2)}$ вблизи точки $p^2=m^2$. Правильно ли я понял? На самом деле вроде бы просто, но додуматься не мог очень долго.

Если все ок, то что делать дальше, я знаю.

[epros]

EvilPhysicist в сообщении #1034501 писал(а):

Я придерживают того, что расходимости связаны с тем, что наш формализм не очень хороший. Банально тот мат аппарат, который используется в КТП, довольно громоздкий, сложный и математиками, на сколько я знаю, до конца не разработан.

Надо заметить, что в простом мат. аппарате классической электродинамики точечный заряд тоже порождает расходимости (попробуйте посчитать энергию поля точечного заряда). В квантовой электродинамике точечность заряда никуда не девалась. Поэтому было бы очень странно, если бы в ней не возникало в точности таких же расходимостей.