Асимпт. плотность решений диофантовых уравнений

[vicvolf]

Еще один пример использования свойства - при преобразованиях декартовых прямоугольных координат - параллельном переносе на целое значение по каждой координате и повороте на угол кратный 90 градусам, точка с целыми значениями координат переходит также в точку с целыми значениями координат.

Пусть дано диофантово уравнение: $A_0(x-a)^n+A_1(x-a)^{n-1}(y-b)+...+A_n(y-b)^n=B$,
где все $A_i$ - целые числа и хотя бы одно из них отлично от 0, $a,b$ - натуральные числа.
Требуется определить количество целых и натуральных решений данного уравнения.

1. В случае $B=0$ данное уравнение имеет натуральное решение: $x=a,y=b$.
Определим другие решения данного уравнения.
Учитывая, что $y \ne b$ запишем уравнение в виде:
$(y-b)^n[A_0(\frac{x-a}{y-b})^n+A_1(\frac{x-a}{y-b})^{n-1}+...+A_n]=0$.
Сделаем замену переменных: $z=(x-a)/(y-b)$.
После замены переменных уравнение запишется в виде:
$(y-b)^n(A_0z^n+A_1z^{n-1}+...+A_n)=0$.
Так как $y \ne b$, то следовательно: $A_0z^n+A_1z^{n-1}+...+A_n=0$.
Известно, что все целые решения последнего уравнения являются делителями свободного члена $A_n$, поэтому это уравнение имеет конечное число решений $m$, где $0 \leq m \leq n$.
Если $m=0$, то исходное уравнение имеет только одно натуральное решение - $x=a,y=b$.
Если $m>0$, то уравнение $A_0z^n+A_1z^{n-1}+...+A_n=0$ имеет целые решения $z=z_1,z=z_2,...z=z_m$.
Для каждого целого решения $z=z_i$ получаем бесконечное число целых решений $x=z_it_i+a, y=t_i+b$, где $t_i$ - произвольное целое число.
Так как $z_i \geq 1$, то количество решений уравнения $A_0(x-a)^n+A_1(x-a)^{n-1}(y-b)+...+A_n(y-b)^n=0$ в области $A^2$, где $A=1,2...N$, не превосходит $mN+1$ (случай 2 асимптотической плотности).

Рассмотрим пример.
Дано уравнение: $x^3-6x^2y+11xy^2-6y^3=0$. Требуется определить его натуральные решения и их количество.

Решение
Данное уравнение имеет тривиальное решение: $x=0, y=0$, которое нам не подходит, так как не является натуральным.
Поищем натуральные решения, при которых $y>0$.
Запишем уравнение в виде $y^3[(x/y)^3-6(x/y)^2+11(x/y)-6]=0$.
Так как $y>0$, то данное уравнение равносильно уравнению: $(x/y)^3-6(x/y)^2+11(x/y)-6=0$.
Сделаем замену переменных $z=x/y$ и получим уравнение: $z^3-6z^2+11z-6=0$, которое имеет решения; $z=1,z=2,z=3$.
Данным решениям соответствуют следующие натуральные решения уравнения $x^3-6x^2y+11xy^2-6y^3=0$:
$x=n, y=n$; $x=2n,y=n$; $x=3n,y=n$, где $n=1,2,...$.
Таким образом, в $A^2$ количество решений уравнения $x^3-6x^2y+11xy^2-6y^3=0$ равно $N+[N/2]+[N/3]<3N+1$, где [] - целое значение числа с недостатком.

Продолжение следует.

[vicvolf]

2. Утверждение
В случае, если $B \ne 0$ и многочлен $A_0z^n+A_1z^{n-1}+...+A_n=0$ является неприведенным над полем рациональных чисел с целыми коэффициентами и его степень $n>2$, то тогда можно подобрать натуральные $a,b$, что диофантово уравнение $A_0(x-a)^n+A_1(x-a)^{n-1}(y-b)+...+A_n(y-b)^n=B$ будет иметь только натуральные решения и количество их будет конечно.

Доказательство
Уравнение: $A_0(x')^n+A_1(x')^{n-1}y'+...+A_n(y')^n=B$ на основании теоремы 274(Бухштаб) имеет конечное число решений в целых числах.
Так как количество целых решений последнего уравнения конечно, то можно найти решение данного уравнения с минимальным значением координат: $x_{min},y_{min}$.
Если эти значения координат натуральные, то все остальные решения данного уравнения натуральные.
Если хотя бы одна координата решения этого уравнения отрицательна, то сделаем параллельный перенос осей координат такой, чтобы $a>|x_{min}|, b>|y_{min}|$ и получим уравнение $A_0(x-a)^n+A_1(x-a)^{n-1}(y-b)+...+A_n(y-b)^n=B$, которое будет иметь только натуральные решения.
Как уже говорилось ранее количество целых решений соответствующего диофантового уравнения при параллельном переносе осей координат не меняется. Поэтому полученное уравнение будет иметь также конечное число целых, а в данном случае натуральных, решений ч.т.д.

Пример
Диофантово уравнение: $(x+1)^3+5(x+1)^2(y+1)+9(x+1)(y+1)^2+6(y+1)^2=21$ имеет только одно целое решение $x=0,y=0$.
Если сделать замену переменных: $x'=x+1,y'=y+1$, то получим уравнение: $(x')^3+5(x')^2(y')+9(x')(y')^2+6(y')^2=21$, которое имеет только одно натуральное решение $x=1,y=1$.

[vicvolf]

Уточним доказательство утверждения в последнем сообщении.

Утверждение
В случае, если $B \ne 0$ и многочлен $A_0z^n+A_1z^{n-1}+...+A_n=0$ является неприведенным над полем рациональных чисел с целыми коэффициентами и его степень $n>2$, то тогда можно подобрать натуральные $a,b$, что диофантово уравнение $A_0(x-a)^n+A_1(x-a)^{n-1}(y-b)+...+A_n(y-b)^n=B$ будет иметь только натуральные решения и количество их будет конечно.

Доказательство
Уравнение: $A_0(x')^n+A_1(x')^{n-1}y'+...+A_n(y')^n=B$ на основании теоремы 274(Бухштаб) имеет конечное число решений в целых числах.
Так как количество целых решений последнего уравнения конечно, то можно найти решение данного уравнения с минимальным значением координат: $x'_{min},y'_{min}$.
Если значения координат решения $x'_{min},y'_{min}$ натуральные, то все остальные решения данного уравнения натуральные.
Если значения координат решения $x'_{min}, y'_{min}$ не положительны, то сделаем параллельный перенос осей координат $x'=x-a, y'=y-b$, где $a>|x_{min}|, b>|y_{min}|$ и получим уравнение $A_0(x-a)^n+A_1(x-a)^{n-1}(y-b)+...+A_n(y-b)^n=B$, которое будет иметь только натуральные решения.
Как уже говорилось ранее количество целых решений соответствующего диофантового уравнения при параллельном переносе осей координат не меняется. Поэтому полученное уравнение будет иметь также конечное число целых, а в данном случае натуральных, решений ч.т.д.

[vicvolf]

В этой теме рассматриваются оценки количества решений диофантовых уравнений. В первой части использовались геометрические методы оценки количества решений. Геометрические методы не являются точными, но их точности было вполне достаточно для доказательства, что асимптотическая плотность решений диофантовых уравнений и систем равна 0.

В продолжении данной темы рассмотрю другой метод оценки количества решений диофантовых уравнений - Круговой метод Харди-Литлвуда (КМ). Данный метод, как и геометрический позволяет определить количество решений диофантовых уравнений без нахождения самих решений. Круговой метод Харди-Литлвуда может быть использован для получения количества решений далеко не всех уравнений, но позволяет сделать это более точно.

Будем рассматривать два класса диофантовых уравнений: имеющих конечное число решений и имеющих бесконечное число решений. КМ позволяет определить асимптотику количества решений для некоторых типов алгебраических диофантовых уравнений.

Если рассматривать алгебраическое диофантово уравнение:
$c_1x_1^{k_1}+c_2x_2^{k_2}+...+c_sx_s^{k_s} =n$, (1)
то если все коэффициенты целые и положительные и $n$ целое и положительное, то уравнение (1) имеет конечное число решений. В этом случае КМ дает асимптотику количества решений некоторых видов уравнения (1) в зависимости от значения $n$.

В случае, когда в уравнении (1) коэффициенты являются целыми числами разных знаков, то уравнение может иметь бесконечное количество решений. В этом случае, если $1 \leq x_j \leq N$, то КМ дает асимптотику количества решений для некоторых типов уравнения (1) в зависимости от $N$.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #895851 писал(а):

Уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-четном и $n>2$ в целых числах имеет только тривиальное решение: $x=0,y=0,z=0$

Вранье! $1^4+0^4-1^4=0$

[vicvolf]

Спасибо за участие в обсуждении. Согласен, возможны решения, содержащие 0, кроме тривиальных. Не имеется целых решений, не содержащих 0.

[vicvolf]

Продолжу.

Обозначим $R_s(n), R^{+}_s(n)$ - соответственно количество неотрицательных и положительных целых (натуральных) решений уравнения (1) в случае, если $a_i>0$.
Аналогично обозначим $R_s(N), R^{+}_s(N)$ - соответственно количество неотрицательных и положительных целых (натуральных) решений уравнения (1) в случае, если $a_i$ разных знаков.

Так как $R_s(n), R^{+}_s(n)$ являются последовательностями, то для них существуют производящие функции соответственно:
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}$, (2)
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}$. (3)

Обозначим аналитическое продолжение производящих функций (2), (3) на комплексную плоскость соответственно:
$\varphi(z), \varphi^{+}(z)$ (4).

Если функции (4) являются аналитическими в области $|z|<R$, то их можно почленно дифференцировать в этой области нужное число раз и на основании теорем Коши и Тейлора (ТФКП) справедливы формулы:
$R_s(n)=Res[\varphi(z)/z^{n+1},0]=1/n!\lim_{z \to 0} \varphi^{(n)}(z)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{\varphi(z) dz/z^{n+1}$, (5)
$R_s^{+}(n)=Res[\varphi^{+}(z)/z^{n+1},0]=1/n!\lim_{z \to 0}\varphi^{+(n)}(0)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{\varphi^{+}(z) dz/z^{n+1}$. (6)

Отсюда в честь авторов и название метода - Круговой метод Харди-Литлвуда.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1033028 писал(а):

Спасибо за участие в обсуждении. Согласен, возможны решения, содержащие 0, кроме тривиальных. Не имеется целых решений, не содержащих 0.

И это означает, что все предыдущее изложение - тоже ВРАНЬЕ, поскольку именно это изложение (которое, похоже, никто и не читает), позволило доказать ВРАНУЮ "теорему".

[Апис]

Одинаковое, выражение своих мыслей у двух человек, может это один человек. Человек порога, человек входа и выхода Brukvalub и Deggial

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Апис в сообщении #1034038 писал(а):

Одинаковое, выражение своих мыслей у двух человек, может это один человек. Человек порога, человек входа и выхода Brukvalub и Deggial

Все проще: очевидные глупости вызывают у разных людей одинаковую естественную реакцию.

[vicvolf]

Я для того и пишу в этом разделе, чтобы было обсуждение темы. Отсутствие обсуждения и приводит к досадным ошибкам, как эта. Сделаю уточнение.

Рассмотрим уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-четном и $n>2$.

Утверждение
Уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-четном и $n>2$ в целых числах не имеет решений, не содержащих 0.

Используем, сказанное выше:

vicvolf в сообщении #882784 писал(а):

Известно, что при преобразованиях декартовых прямоугольных координат - параллельном переносе на целое значение по каждой координате и повороте на угол кратный 90 градусам, точка с целыми значениями координат переходит также в точку с целыми значениями координат.

Поэтому диофантово уравнение $F(x_1,...x_k)=0$, если не имеет решений в целых числах, то уравнение $F(x_1+a_1,...x_k+a_k)=0$, где $a_1,...a_k$ - целые числа, или уравнения: $F(-x_1,...x_k)=0,...F(x_1,...-x_k)=0,...F(-x_1,...-x_k)=0$ также не имеют решений в целых числах.

Наоборот, если диофантово уравнение $F(x_1,...x_k)=0$ имеет решения в целых числах, то уравнение $F(x_1+a_1,...x_k+a_k)=0$, где $a_1,...a_k$ - целые числа, или уравнения: $F(-x_1,...x_k)=0,...F(x_1,...-x_k)=0,...F(-x_1,...-x_k)=0$ также имеют столько же решений в целых числах (конечное или бесконечное).
При этом, если диофантово уравнение $F(x_1,...x_k)=0$ имело решения в целых числах: $x_{10},...x_{k0}$, то решения уравнения $F(x_1+a_1,...x_k+a_k)=0$ находятся по формулам: $x_{10}+a_1,...x_{k0}+a_k$, а решения уравнений: $F(-x_1,...x_k)=0,...F(x_1,...-x_k)=0,...F(-x_1,...-x_k)=0$ находится соответственно по формулам: $(-x_{10},...x_{k0}),...(x_{10},...-x_{k0}),...(-x_{10},...-x_{k0})$.

Доказательство
Известно, что данное уравнение не имеет решений в области натуральных чисел. Предположим, что оно имеет решение не в натуральных числах, не содержащее 0. Для определенности будем считать, что существует решение $x_0,y_0,z_0$, где $x_0<0$, но тогда, на основании вышесказанного, должно быть натуральное решение: $x_1,y_0,z_0$ где $x_1=x_0>0$, но данное уравнение не имеет натуральных решений. Поэтому мы пришли к противоречию, которое доказывает утверждение.

Теперь рассмотрим уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-нечетном и $n>2$.

Утверждение
Уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-нечетном и $n>2$ в целых числах не имеет решений, не содержащих 0.

Доказательство

Предположим, что уравнение Ферма, в данном случае, имеет решение не в натуральных числах, не содержашее 0 Допустим, что $x_0,y_0,z_0$, где $x_0<0$.
Сделаем поворот на 180 градусов оси x:$x'=-x,y'=y,z'=z$. Тогда уравнение примет вид: ${(-x')}^n +{y'}^n-{(z')}^n=-{x'}^n+{y'}^n-{z'}^n=0$.
Полученное уравнение является уравнением Ферма: ${y'}^n={z'}^n+{x'}^n$, которое в данном случае имеет решение в области натуральных чисел: $x'=-x_0, y'=y_0,z'=z_0$, что противоречит истине и поэтому наше предположение не верно.
Можно убедиться, что любой поворот осей координат, кратный 90 градусам, приводит наше уравнение к уравнению Ферма, которое не имеет решений в натуральных числах, поэтому предположение, что не натуральное решения окажутся в любом октанте окажется неверным ч.т.д.

-- 06.07.2015, 15:58 --

Апис в сообщении #1034038 писал(а):

Одинаковое, выражение своих мыслей у двух человек, может это один человек. Человек порога, человек входа и выхода Brukvalub и Deggial

Я бы даже так сказад - одинаковое недоброжелательное отношение! Ведь обо всем можно сказать по-разному!

[vicvolf]

Продолжу.

Так как $R_s(N), R^{+}_s(N)$ являются последовательностями, то для них существуют производящие функции соответственно:
$g(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(N) t^N}$, (7)
$gi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(N) t^N}$. (8)

Обозначим аналитическое продолжение производящих функций (7), (8) на комплексную плоскость соответственно:
$g(z), g^{+}(z)$ (9).

Если функции (9) являются аналитическими в области $|z|<R$, то их можно почленно дифференцировать в этой области нужное число раз и на основании теорем Коши и Тейлора (ТФКП) справедливы формулы:
$R_s(N)=Res[gi(z)/z^{N+1},0]=1/N!\lim_{z \to 0}g^{(N)}(z)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{g(z) dz/z^{N+1}$, (10)
$R_s^{+}(N)=Res[g^{+}(z)/z^{N+1},0]=1/N!\lim_{z \to 0}g^{+(N)}(0)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{gi^{+}(z) dz/z^{N+1}$. (11)

Теперь поговорим о получении производящих функций (2), (3):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}$,
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}$.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1034184 писал(а):

Так как $R_s(N), R^{+}_s(N)$ являются последовательностями, то для них существуют производящие функции соответственно:
$g(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(N) t^N}$, (7)
$gi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(N) t^N}$. (8)

Не доказано, что эти ряды сходятся хоть где-то, кроме своего центра.

vicvolf в сообщении #1034184 писал(а):

Обозначим аналитическое продолжение производящих функций (7), (8) на комплексную плоскость соответственно:
$g(z), g^{+}(z)$ (9).

Не доказано, что возможно корректное аналитическое продолжение рассматриваемых рядов.

-- Пн июл 06, 2015 23:23:21 --

vicvolf в сообщении #1034102 писал(а):

Апис в сообщении #1034038

писал(а):
Одинаковое, выражение своих мыслей у двух человек, может это один человек. Человек порога, человек входа и выхода Brukvalub и Deggial
Я бы даже так сказад - одинаковое недоброжелательное отношение! Ведь обо всем можно сказать по-разному!

Все, написанное выше - либо тривиальщина, либо вранье. Какую доброжелательность вы хотите получить, если уже 9 стр. городите то, что никому не интересно в силу тривиальности, либо является враньем? Здесь дураков, радующихся воскресному леденцу на палочке, не наблюдается.

-- Пн июл 06, 2015 23:32:20 --

vicvolf в сообщении #1034102 писал(а):

Утверждение
Уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-нечетном и $n>2$ в целых числах не имеет решений, не содержащих 0.

Доказательство

Предположим, что уравнение Ферма, в данном случае, имеет решение не в натуральных числах, не содержашее 0 Допустим, что $x_0,y_0,z_0$, где $x_0<0$.
Сделаем поворот на 180 градусов оси x:$x'=-x,y'=y,z'=z$. Тогда уравнение примет вид: ${(-x')}^n +{y'}^n-{(z')}^n=-{x'}^n+{y'}^n-{z'}^n=0$.
Полученное уравнение является уравнением Ферма: ${y'}^n={z'}^n+{x'}^n$, которое в данном случае имеет решение в области натуральных чисел: $x'=-x_0, y'=y_0,z'=z_0$, что противоречит истине и поэтому наше предположение не верно.

Опять ВРАНЬЕ! Поворот на 180 градусов не обязан переводить решения снова в решения.

[Апис]

Brukvalub в сообщении #1034068 писал(а):

(Оффтоп)

Апис в сообщении #1034038 писал(а):

Одинаковое, выражение своих мыслей у двух человек, может это один человек. Человек порога, человек входа и выхода Brukvalub и Deggial

Все проще: очевидные глупости вызывают у разных людей одинаковую естественную реакцию.

Реакция выражаемая на грани оскорблений говорит об одном грязном источнике, а не понимание разницы между ошибкой и враньём вообще не о чём не говорит, кроме констатации факта невоздержанности в эмоциях. Слова с ярко выраженной экспрессией применяют тогда, когда не хватает аргументов в споре, или когда человеку не дают отпор и он привыкает к своей невоздержанности.

[Deggial]

Апис в сообщении #1034238 писал(а):

Реакция выражаемая на грани оскорблений говорит об одном грязном источнике, а не понимание разницы между ошибкой и враньём вообще не о чём не говорит, кроме констатации факта невоздержанности в эмоциях. Слова с ярко выраженной экспрессией применяют тогда, когда не хватает аргументов в споре, или когда человеку не дают отпор и он привыкает к своей невоздержанности.

Апис, обсуждение действий модераторов и другие подобные вопросы разрешается только в разделе "Работа форума".
Здесь убедительная просьба прекратить оффтоп.