Магические квадраты

[Nataly-Mak]

#4
Идеальные магические квадраты из различных простых чисел

Проблема сейчас решается на конкурсе
Ultra Magic Squares of prime numbers
http://primesmagicgames.altervista.org/ ... e-numbers/

Правда, решается она, похоже, только мной.
На начало конкурса имелись следующие результаты:

$n=5$, $S=3505$ (минимальное; моё решение)
$n=6$, $S=990$ (минимальное; решение maxal)
$n=7$, $S=4613$ (минимальноcть не была доказана; моё решение)
$n=8$, $S=2640$ (о минимальности ничего не было известно; моё решение)
$n=9$, $S=24237$ (явно не минимальное; решение alexBlack)

Решения для порядков $n>9$ не были известны.

За время конкурса мне удалось получить следующие результаты:

$n=7$, $S=4613$ (доказана минимальность решения полным перебором)
$n=8$, $S=2040$ (минимальное решение)
$n=9$, $S=13059$ (минимальность не доказана)
$n=10$, $S=46150$ (явно не минимальное)

Об идеальном квадрате 11-го порядка из различных простых чисел пока мечтаю
Получено неплохое приближение к решению, в котором всего две дырки

8477* 7187 4649  503 7577 3617  5 6329 4703 6977 1049 
 839  659 5279 2837 9203 7499 8969 3299 8513  587 3389 
4493 6863 7589 1433 6203 2633 9239 2039 2969  593 7019 
5153 4283 3989 6197  227 6287  857 1637 6323 8837 7283 
3257 2687 3803 6389  257 5879 5273 6359 2207 6869 8093 
9257 6827 4049 6947 5519 4643 3767 2339 5237 2459   29 
1193 2417 7079 2927 4013 3407 9029 2897 5483 6599 6029 
2003  449 2963 7649 8429 2999 9059 3089 5297 5003 4133 
2267 8693 6317 7247   47 6653 3083 7853 1697 2423 4793 
5897 8699  773 5987  317 1787   83 6449 4007 8627 8447 
8237 2309 4583 2957 9281 5669 1709 8783 4637 2099  809*

$K = 9286$, $S = 51073$
Почти уверена, что полное решение существует с такой магической константой. Найти его непросто.

Об идеальных квадратах 11-го порядка на форуме ice00:
http://primesmagicgames.altervista.org/ ... -th-order/

Там же вы найдёте и об идеальных квадратах других порядков (другие топики).
Смотрите также:

Smallest magic constant of ultramagic squares of order n composed of distinct prime numbers.
A257316

Puzzle 777. Ultra magic squares
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_777.htm

Ну, и не забывайте, что много статей есть на моём сайте, в частности и по данной проблеме.

[Nataly-Mak]

А между тем, закончился конкурс по идеальным магическим квадратам и ice00 выложил мои лучшие результаты
http://primesmagicgames.altervista.org/ ... e-numbers/

Окончание конкурса не означает, что новые решения нельзя ввести. Вводить решения по-прежнему можно. Только приз отменяется. Никто не выиграл приз, наверное, потому, что слишком маленький
А вообще довольно странно: почему никто не представил ни одного решения?
У ice00 версия такая: мало известен сайт.

Но ведь на форуме я о конкурсе рассказывала. Удивительно, что никто из форумчан не принял участия. Даже коллеги прошли мимо (а всех приглашала лично).

[miflin]

(Оффтоп)

Nataly-Mak в сообщении #1029660 писал(а):

Удивительно, что никто из форумчан не принял участия.

Одно из двух: либо выросли из детских штанишек, либо ещё не доросли до них. Третьего не дано.

Nataly-Mak в сообщении #1029660 писал(а):

Но ведь на форуме я о конкурсе рассказывала.

Это ещё не гарантия участия.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

miflin в сообщении #1029922 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #1029660 писал(а):

Удивительно, что никто из форумчан не принял участия.

Одно из двух: либо выросли из детских штанишек, либо ещё не доросли до них. Третьего не дано.

Ну почему же, ещё вариант: прикинули сложность задачи и занялись более интересным делом.
Или да просто времени не нашлось.

[Nataly-Mak]

Задача минимизации решения всегда решается трудно.
Напомню, что Jarek нашёл минимальное решение для пандиагонального квадрата 7-го порядка из различных простых чисел уже после окончания конкурса, и искал он его долго.
А с минимальным пандиагональным квадратом 6-го порядка из различных простых чисел ещё интереснее история вышла (уже рассказана была).
Для порядка $n=8$ минимальный пандиагональный квадрат из различных простых чисел не найден. Может быть, его и нашёл Jarek, но он не доказал, что теоретический минимум недостижим и найденное им решение является минимальным. Задача открыта.

С идеальными квадратами 9-го порядка из различных простых чисел я очень много работала.
Лучшее решение, которое мне удалось найти:

2843 149 1973 2039 971 1031 2141 293 1619
2063 563 1811 113 2549 1601 2633 1721 5
2393 503 1613 2381 1193 41 2411 101 2423
173 2711 2879 773 1583 1493 461 443 2543
569 83 821 311 1451 2591 2081 2819 2333
359 2459 2441 1409 1319 2129 23 191 2729
479 2801 491 2861 1709 521 1289 2399 509
2897 1181 269 1301 353 2789 1091 2339 839
1283 2609 761 1871 1931 863 929 2753 59

$K=2902$, $S=13059$

Теоретический минимум: $S=12249$.

Это лучшее приближение к решению с 4 дырками:

2699 281 809 1499 479 2633 389 911 2549
59 1571 2129 1493 2339 659 1613 2273 113
2591 1289 1901 191 1013 11 2693 101 2459
683 2069 1559 2411 2003 1439 773 743 569
1019* 179 431* 509 1361 2213 2291* 2543 1703*
2153 1979 1949 1283 719 311 1163 653 2039
263 2621 29 2711 1709 2531 821 1433 131
2609 449 1109 2063 383 1229 593 1151 2663
173 1811 2333 89 2243 1223 1913 2441 23

$K=2722$, $S=12249$

Ещё пробовала для $S=13023$ найти решение. Здесь ситуация с массивом получше (88 чисел в массиве), но полное решение найти так и не удалось. Много найдено приближений к решению с 2 дырками, например:

2851 211 2143 421 1657 1063 1723 2221 733
97 2767 1327 523 2857 757 2791 883 1021
373 2293 2347 2287 1153 1231 1861 181 1297
1987 1201 2203 1423 61 163 811 2617 2557
1747* 877 613 7 1447 2887 2281 2017 1147*
337 277 2083 2731 2833 1471 691 1693 907
1597 2713 1033 1663 1741 607 547 601 2521
1873 2011 103 2137 37 2371 1567 127 2797
2161 673 1171 1831 1237 2473 751 2683 43

$K=2894$, $S=13023$

И есть ещё несколько потенциальных магических констант между 13059 и минимумом 12249.

Очень хотелось бы опробовать метод точных попарно ортогональных покрытий массива применительно к этой задаче. Однако... пока не получается

Приглашаю всех желающих к решению этой непростой задачи.

[Nataly-Mak]

#5
Магические квадраты из последовательных простых чисел-близнецов

Проблема здесь
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_769.htm

Первый квадрат составляется из первых чисел пар-близнецов:

n=5 (minimal)

107  311  599  809  347
821  431  179  281  461
191  269  827  227  659
857  521  419  239  137
197  641  149  617  569

$S=2173$

Второй квадрат составляется из вторых чисел пар-близнецов.

109 313 601 811 349
823 433 181 283 463
193 271 829 229 661
859 523 421 241 139
199 643 151 619 571

$S=2183$

Пары близнецов должны быть последовательные.
Решения найдены до порядка 12 включительно, кроме порядков 3 и 4.
Для порядка 12, возможно, не минимальное решение.

А вот такие малюсенькие квадратики 3х3 и 4х4 никак не составляются!
Попробуйте-ка
Я и 12d3 уже попробовали и ни черта не получилось.

[Nataly-Mak]

Добавление к проблеме #3

Nataly-Mak в сообщении #1027720 писал(а):

Кратко замечу, что был опробован и другой алгоритм: прибавление нулевых совершенных квадратов к некоторому заданному совершенному квадрату. Об этом алгоритме писал dmd, когда проходил конкурс по магическим кубам из простых чисел. Подробно об этом, может быть, расскажу позже.

Начну с сообщения dmd:

dmd в сообщении #856598 писал(а):

Нашёл такой магический куб 4-го порядка с константой 4444

(4444)

3169 157 79 1039
463 277 1483 2221
769 1723 1429 523
43 2287 1453 661

601 937 1297 1609
1879 151 331 2083
337 1867 1699 541
1627 1489 1117 211

607 1801 787 1249
409 2017 1987 31
3331 397 103 613
97 229 1567 2551

67 1549 2281 547
1693 1999 643 109
7 457 1213 2767
2677 439 307 1021

Думаю, ничего страшного, что я его привёл пока идёт конкурс, т.к. его константа далеко не оптимальная.

Метод поиска у меня пока такой. Беру насквозь дырявый куб, состоящий целиком из дырок.

(Например)

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

и в цикле складываю его со всеми возможными вариантами базисных нулевых кубиков, содержащих четыре 1 и четыре -1.

(Например)

1 0 -1 0
0 0 0 0
-1 0 1 0
0 0 0 0

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

-1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 -1 0
0 0 0 0

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

пытаясь уменьшить количество дырок.

Вот такой интересный метод. Думаю, что нет никакой принципиальной разницы между магическим кубом 4-го порядка и, скажем, совершенным магическим квадратом 10-го порядка.
Насколько мне известно, dmd строил данным методом не только магические кубы 4-го порядка.

Так вот, я попыталась применить этот метод к построению совершенного квадрата 10-го порядка из различных простых чисел. И не только я. Задачей заинтересовался один форумчанин. Если моя попытка была примитивная (я применила всего один нулевой совершенный квадрат), товарищ написал программу для использования большого количнства нулевых квадратов. Увы! Его результат оказался чуть-чуть лучше моего. До конца (до полного решения) нам дойти так и не удалось.

Но всё по порядку. После окончания конкурса по магическим кубам я попросила dmd прислать мне его программу, реализующую данный метод, для магического куба 4-го порядка с конкретной магической константой 4020 (мне тогда очень нужен был такой магический куб и я никак не могла его найти по своей программе). К сожалению, программа dmd не помогла мне найти этот куб. Было получено решение с несколькими дырками, а полное так и не нашлось.
Замечу: dmd писал, что этот метод работает для достаточно больших магических констант.

А потом я попросила whitefox переписать программу dmd для магического куба 4-го порядка с любой магической константой. Он любезно согласился, и вот программа эта у меня есть.
Я могу выложить код этой программы (с разрешения whitefox). Именно её использовал товарищ, который решал эту задачу.
Разумеется, программу надо модифицировать, потому что прибавлять надо не нулевые кубы 4-го порядка, а нулевые совершенные квадраты 10-го порядка, и строить надо не магические кубы 4-го порядка, а совершенные квадраты 10-го порядка.
Далее я просто покажу результаты, полученные мной и форумчанином.

-- Пн июн 29, 2015 12:45:55 --

Это решение я нашла по общей формуле совершенного квадрата 10-го порядка:

9712 28661 13627 45341 10477 34316 4057 38231 20737 35081
20744 36979 16829 20299 19979 31324 26399 27409 9719 30559
33851 4522 37766 21202 34616 10177 28196 14092 44876 10942
37589 20134 33674 3454 36824 14479 43244 10564 26564 13714
16214 22159 20129 38839 16979 27814 10559 31729 27239 28579
13732 43991 9817 27311 12967 38336 19387 34421 2707 37571
16724 21649 20639 38329 17489 27304 11069 31219 27749 28069
37871 19852 33956 3172 37106 14197 43526 10282 26846 13432
33569 4804 37484 21484 34334 10459 27914 14374 44594 11224
20234 37489 16319 20809 19469 31834 25889 27919 9209 31069

$K = 48048$, $S = 240240$

В решении 53 элемента простые числа, 47 элементов не простые числа.
Далее я прибавляла к данному решению этот нулевой совершенный квадрат:

-1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0
1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 0
-2 1 -1 2 -1 0 -1 1 0 1
2 -1 1 -2 1 0 1 -1 0 -1
-1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0
1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 0
-1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0
0 1 -1 0 -1 2 -1 1 -2 1
0 -1 1 0 1 -2 1 -1 2 -1
1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 0

Напомню: нулевым магическим квадратом называется магический квадрат с магической константой равной нулю. Кроме того, в нулевом совершенном квадрате должны выполняться все свойства совершенного квадрата.
Очевидно, что умножив нулевой совершенный квадрат на любое целое число, мы снова получим нулевой совершенный квадрат.
Очевидно также, что прибавление нулевого совершенного квадрата к любому заданному совершенному квадрату не изменяет магическую константу исходного квадрата, а также сохраняет все свойства совершенного квадрата.

В результате процедуры прибавления данного нулевого совершенного квадрата к показанному выше совершенному квадрату получила решение, в котором 65 простых чисел и 35 составных:

8755*  28661   13627   46298*  10477   33359    4057   38231   21694*  35081 
21701   36979   16829   19342*  19979   32281*  26399   27409    8762*  30559 
31937*   5479   36809   23116*  33659*  10177   27239   15049*  44876*  11899*
39503   19177*  34631    1540*  37781   14479   44201    9607*  26564*  12757 
15257*  22159   20129   39796*  16979   26857*  10559   31729   28196*  28579 
14689*  43991    9817   26354*  12967   39293   19387   34421    1750*  37571 
15767   21649   20639   39286*  17489   26347   11069   31219   28706*  28069 
37871   20809   32999    3172*  36149*  16111   42569   11239   24932*  14389 
33569    3847   38441*  21484*  35291    8545*  28871   13417   46508*  10267 
21191   37489   16319   19852*  19469   32791*  25889   27919    8252*  31069 

$K = 48048$, $S = 240240$

Составные числа помечены звёздочкой.
Вот такой у меня неважнецкий результат. Повторюсь: процедура у меня была весьма и весьма примитивная - прибавление всего одного нулевого совершенного квадрата.

-- Пн июн 29, 2015 13:02:02 --

Показываю результат форумчанина:

19087  28661  7162  38231  18877  35291  12457  23366  22027  35081
19769  28579  31694  19009  19979  21949  26399  33874  16829  22159
32819  14929  20894  24499  32609  21559  26189  9634  35759  21349
34421  13927  46346  4357  34631  7297  41051  19222  31481  7507
17189  30559  5264  40129  16979  37189  10559  25264  20129  36979
12757  35591  24682  26021  12967  28961  19387  40886  9817  29171
26099  21649  14174  31219  25889  28279  19469  16354  29039  28069
26489  21859  38414  12289  26699  15229  33119  27154  23549  15439
40751  6997  28826  16567  40541  13627  34121  1702  43691  13417
10859  37489  22784  27919  11069  30859  17489  42784  7919  31069

$K=48048$, $S=240240$
В этом решении 69 простых чисел и 31 составное.
Начинал он с того же самого исходного совершенного квадрата.
Но! Удивительно! Он ведь прибавлял много разных нулевых совершенных квадратов в цикле. И никак не удаётся уменьшить количество составных чисел.
Хотя в этом примере большая магическая константа и огромный массив простых чисел. Вроде бы есть где развернуться. Однако развернуться никак не удаётся

Если вдруг появятся заинтересовавшиеся задачей, пишите, я выложу код программы.

[Nataly-Mak]

Кстати, в продолжение метода:
ничто не мешает нам прибавлять к заданному совершенному квадрату не нулевые совершенные квадраты, например, такой:

0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
2 1 1 0 1 2 1 1 0 1
-1 2 0 3 0 1 0 2 1 2
3 0 2 -1 2 1 2 0 1 0
0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
2 1 1 0 1 2 1 1 0 1
0 1 1 2 1 0 1 1 2 1
1 2 0 1 0 3 0 2 -1 2
1 0 2 1 2 -1 2 0 3 0
2 1 1 0 1 2 1 1 0 1

$K=2$, $S=10$

При этом будет изменяться магическая константа квадрата. Ну и пусть изменяется, нам ведь надо получить совершенный квадрат из различных простых чисел с любой магической константой.

[Nataly-Mak]

Добавление к проблеме #4

Программа, которая будет работать вечно
В архиве
http://natalimak1.narod.ru/ID9shablD.rar
вы найдёте код программы, исполняемую программу, текстовые файлы с исходными данными и файл с полученными мной приближениями к решению.

Программа ищет идеальный квадрат 9-го порядка с магической константой $S=13023$ из различных простых чисел.
В программе реализована общая формула идеального квадрата 9-го порядка плюс шаблон.
Параметры нескольких циклов выбираются случайным образом.
Выводятся приближения к решению
а) с 4 дырками ($D=2$);
б) c 2 дырками ($D=3$).

Полное правильное решение получится при $D=4$. В этом случае программа остановится, решение запишется в файл A27.txt.
Приближения к решению тоже записываются в этот файл, но они, вообще говоря, не нужны, так что их можно терять.
Важно не потерять правильное решение!

Программу можно прерывать в любой момент любым способом, а потом запускать заново. Ничего дополнительно перед запуском делать не нужно.
А можно и не прерывать, пусть крутится бесконечно (если у вас компьютер работает постоянно), пока не найдёт решение, если оно существует.

У кого есть возможность (свободный ресурс), можете покрутить.
Просто очень интересно - найдётся решение или нет.
Замечу, что решение для магической константы $S=13059$ по аналогичной программе было найдено за 10 минут. Улыбка фортуны

Кто желает, может посмотреть код программы. Изменяйте, как кому нравится, переписывайте на другой язык, оптимизируйте... А потом... покрутите и найдите решение
Сильно подозреваю, что решения нет, но это ещё надо доказать.
Сама пока кручу программу ежедневно, она мне работать не мешает. Приближений к решению уже найдено много, вы можете посмотреть их в файле ПриближенияS13023.doc.

-- Ср июл 01, 2015 06:36:49 --

Необходимо отметить: если решение не существует для используемого в программе шаблона, это не означает, что оно вообще не существует.
Сейчас вот думаю: а не переписать ли мне программу для другого шаблона?
Очень уж много приближений с двумя дырками, что даёт надежду на существование решения. Просто неудачно выбран шаблон и не складывается.

[Nataly-Mak]

Сейчас в программе используется шаблон из вычетов по модулю 5:

1  1  3  1  2  3  3  1  3 
2  2  2  3  2  2  1  3  1 
3  3  2  2  3  1  1  1  2 
2  1  3  3  1  3  1  2  2 
2  2  3  2  2  2  1  2  2 
2  2  3  1  3  1  1  3  2 
2  3  3  3  1  2  2  1  1 
3  1  3  2  2  1  2  2  2 
1  3  1  1  2  3  1  3  3

-- Ср июл 01, 2015 07:05:21 --

Попробую такой шаблон из вычетов по модулю 4:

1  1  3  1  1  1  3  3  1 
3  3  1  3  3  1  1  3  1 
1  1  1  1  1  3  3  3  1 
3  1  3  3  3  1  3  1  1 
3  3  1  1  3  1  1  3  3 
1  1  3  1  3  3  3  1  3 
1  3  3  3  1  1  1  1  1 
1  3  1  1  3  3  1  3  3 
1  3  3  1  1  1  3  1  1 

Этот шаблон даёт больше возможностей, так как в нём всего две группы вычетов.
Шаблон получен из приближения к решению:

1021  61  2143  601  2797  2713  103  2851  733 
2347  2647  1297  643  1567  37  1861  883  1741 
373  1693  1657  2137  2473  211  2671  1471  337 
2287  2221  1063  1843  1171  1093  691  877  1777 
7  907  613  277  1447  2617  2281  1987  2887 
1117  2017  2203  1801  1723  1051  1831  673  607 
2557  1423  223  2683  421  757  1237  1201  2521 
1153  2011  1033  2857  1327  2251  1597  247  547 
2161  43  2791  181  97  2293  751  2833  1873 

$K=2894$, $S=13023$

[Nataly-Mak]

Прерываю работу программы поиска решения с магической константой $S=13023$. Крутила недели три ежедневно, решение не нашлось.
Сильно подозреваю, что решение не существует. Доказательства нет.

Чтобы решить задачу минимизации решения для идеального квадрата 9-го порядка из различных простых чисел, надо проверить ещё несколько потенциальных магических констант между найденным решением ($S=13059$) и минимальным решением ($S=12249$) (которое, увы, тоже не найдено и не доказано его несуществование).

Далее даю информацию для всех потенциальных магических констант.

$K=2734$, $S=12303 $

массив чисел:

5  23  41  47  71  101  113  191  257  293  311  317  353  383  401  461  467  491  521  593  647  653  761  821  827  
857  863  887  911  947  1013  1097  1151  1163  1181  1223  1283  1301  1307  1361  1373  1427  1433  1451  1511  1553  
1571  1583  1637  1721  1787  1823  1847  1871  1877  1907  1913  1973  2081  2087  2141  2213  2243  2267  2273  2333  
2351  2381  2417  2423  2441  2477  2543  2621  2633  2663  2687  2693  2711  2729

$K=2746$, $S=12357$

массив чисел:

5  17  47  53  59  83  89  113  137  167  197  269  347  353  389  449  479  503  509  593  617  647  659  677  683  719  
743  773  797  839  857  1013  1049  1109  1163  1187  1193  1223  1259  1307  1319  1427  1439  1487  1523  1553  1559  
1583  1637  1697  1733  1889  1907  1949  1973  2003  2027  2063  2069  2087  2099  2129  2153  2237  2243  2267  2297  
2357  2393  2399  2477  2549  2579  2609  2633  2657  2663  2687  2693  2699  2729  2741

$K=2854$, $S=12843$

массив чисел:

11  17  53  101  113  167  191  197  233  263  311  431  443  461  503  521  557  587  617  641  647  701  743  773  827  
857  881  941  947  953  977  983  1031  1187  1217  1283  1301  1361  1367  1373  1481  1487  1493  1553  1571  1637  1667  
1823  1871  1877  1901  1907  1913  1973  1997  2027  2081  2111  2153  2207  2213  2237  2267  2297  2333  2351  2393  
2411  2423  2543  2591  2621  2657  2663  2687  2741  2753  2801  2837  2843

$K=2866$, $S=12897$

массив чисел:

5  23  29  47  89  113  137  167  173  179  233  257  317  389  419  443  449  467  509  557  569  593  599  653  659  
797  827  839  863  887  953  977  1019  1229  1259  1283  1307  1367  1373  1427  1439  1493  1499  1559  1583  1607  1637  
1847  1889  1913  1979  2003  2027  2039  2069  2207  2213  2267  2273  2297  2309  2357  2399  2417  2423  2447  2477  
2549  2609  2633  2687  2693  2699  2729  2753  2777  2819  2837  2843  2861

$K=2894$, $S=13023$ (проверялась)

массив чисел:

7  37  43  61  97  103  127  163  181  211  223  277  337  373  421  457  523  547  601  607  613  643  673  691  733  751  757  811  877  883  907  1021  1033  1063  1093  1117  1153  1171  1201  1231  1237  1297  1327  1423  1471  1567  1597  1657  1663  1693  1723  1741  1777  1801  1831  1861  1873  1987  2011  2017  2083  2137  2143  2161  2203  2221  2251  2281  2287  2293  2347  2371  2437  2473  2521  2557  2617  2671  2683  2713  2731  2767  2791  2797  2833  2851  2857  2887

Работы ещё очень много. И вполне вероятно, что решение с одной из этих потенциальных магических констант существует (может, и не с одной).
Не проверяла эти потенциальные магические константы потому, что массивы для них (кроме последней) состоят из 80 или из 82 чисел и шансов найти решение мало. Но проверять всё равно надо!

[Nataly-Mak]

Добавление к проблеме #1

Ещё два пандиагональных квадрата 4-го порядка из последовательных простых чисел найдены новым участником проекта распределённых вычислений Begemot82.
Показываю эти решения.

1)

23323776496051501: 0 30 42 66 72 96 100 108 130 138 142 166 172 196 208 238

Ассоциативный квадрат Стенли:

0  30  66  96  
42  72  108  138  
100  130  166  196  
142  172  208  238 

$K= 238$, $S= 476$

Пандиагональный квадрат:

23323776496051501+
0  208  96  172
138  130  42  166
142  66  238  30
196  72  100  108

$S=93295105984206480$

2)

23653934725904299: 0 12 22 34 48 60 70 82 90 102 112 124 138 150 160 172

Ассоциативный квадрат Стенли:

0  12  48  60  
22  34  70  82  
90  102  138  150  
112  124  160  172 

$K=172$, $S=344$

Пандиагональный квадрат:

23653934725904299+
0  160  60  124
82  102  22  138
112  48  172  12
150  34  90  70

$S=94615738903617540$

В последовательности OEIS A256234 добавились два члена.

[Nataly-Mak]

Почта принесла печальное известие: 10 июня 2015 г. ушёл из жизни Чебраков Юрий Владимирович
автор книги
Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. — СПб: СПбГУ, 1995. — 388 с. — ISBN 5-7422-0015-3.

Информация есть в Википедии.

[Dmitriy40]

Ух, а оказывается КПППЧ длины 16 и диаметром 82 уже давно найдена! Да не одна, а целых три. Да похоже ещё и минимальная.

Jarek в сообщении #751870 писал(а):

There exist exactly 3 numbers n below 192*47# such that all the 16 numbers n+d, where d = 0, 10, 12, 18, 22, 28, 30, 40, 42, 52, 54, 60, 64, 70, 72, 82, are prime:

78830573871633653539 (20 digits)
94505039351105832919 (20 digits)
110732011215202177249 (21 digits)

In all 3 cases the 16 primes are in fact consecutive primes.

Each of those 16-element sets of primes can be used to construct a pandiagonal magic square.

Соответственно из них составляются квадраты, покажу их все 3:

Используется синтаксис Text

78830573871633653539: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82
94505039351105832919: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82
110732011215202177249: 0 10 12 18 22 28 30 40 42 52 54 60 64 70 72 82
        Ассоцитивный                        Пандиагональный                          Стенли
0       40      64      60              0       40      52      72              0       10      42      52
70      54      30      10              64      60      12      28              12      22      54      64
72      52      28      12              30      10      82      42              18      28      60      70
22      18      42      82              70      54      18      22              30      40      72      82
S=164/315322295486534614156
S=164/378020157404423331676
S=164/442928044860808708996

И это абсолютный рекорд компактности квадрата!
Ну и плюс три известных квадрата, всего их оказывается уже 10.

Поразительно насколько далеко друг от друга находятся минимальный квадрат (170693941183817) и самый наикомпактный квадрат (78830573871633653539), числа отличаются в 462 тысячи раз!

[Nataly-Mak]

Недавно поступившая информация о поиске пандиагонального квадрата 5-го порядка из последовательных простых чисел (нерешённая проблема #1):

Progger в сообщении #1043267 писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #1043249 писал(а):

Последняя стартовая точка, записанная в файле: 675677998295737.

Я дошёл до 7747200000000000.

Далее я представлю потенциальные паттерны для кортежей из 25 последовательных простых чисел, из которых квадрат Стенли 5-го порядка гарантированно построится (а из квадрата Стенли получится соответствующий ему пандиагональный квадрат с помощью преобразования Россера).
Подобности об этих паттернах можно найти в теме "Модифицировать программу (практическая помощь)".
Первые 4 потенциальных паттерна были выложены Jens K Andersen, это паттерны с минимальным диаметром 156.
Следующие 10 паттернов были найдены из решений Pavlovsky [это пандиагональные квадраты 5-го порядка из различных (не последовательных) простых чисел].
И последние 6 потенциальных паттернов я нашла по своей программе.
Итак, всего пока имеется 20 потенциальных паттернов.

(Потенциальные паттерны)

0 2 6 20 30 32 36 42 50 60 62 66 72 80 84 86 90 102 104 114 116 120 126 134 156
0 6 14 20 30 36 42 44 50 54 56 60 72 86 90 96 102 104 116 120 132 134 144 146 156
0 10 12 22 24 36 40 52 54 60 66 70 84 96 100 102 106 112 114 120 126 136 142 150 156
0 22 30 36 40 42 52 54 66 70 72 76 84 90 94 96 106 114 120 124 126 136 150 154 156
0  6  18  24  28  30  34  40  46  48  54  58  60  70  84  96  114  124  126  136  144  150  154  166  180
0  10  18  24  28  30  34  40  48  58  66  70  84  88  90  94  96  100  114  118  136  154  160  166  184
0  6  12  18  20  30  32  36  50  56  60  68  72  86  90  96  102  116  152  156  162  168  182  218  222
0  6  12  18  20  30  32  36  50  56  68  72  78  86  92  96  102  116  128  152  156  168  186  228  252
0  6  18  24  28  30  34  48  54  58  60  84  88  94  96  114  118  124  126  144  150  154  180  184  214
0  12  20  30  32  42  48  50  56  60  62  68  72  78  86  90  92  98  120  128  188  200  218  230  260
0  6  8  14  24  30  36  44  50  56  60  66  74  86  90  108  114  116  126  134  144  150  174  176  234
0  2  6  8  20  26  30  32  42  48  50  72  86  92  116  126  128  146  168  180  182  200  212  222  266
0  2  6  8  12  18  30  36  42  48  60  62  72  90  102  126  128  138  156  168  216  218  228  246  258
0  2  6  8  30  32  42  48  60  62  72  86  92  102  116  126  128  146  156  162  168  186  212  216  282

Свои потенциальные паттерны выкладываю вместе с квадратом Стенли 5-го порядка, составленным из элементов паттерна:

(Потенциальные паттерны с квадратами Стенли)

0 18 48 60 78
4 22 52 64 82 
70 88 118 130 148 
84 102 132 144 162 
90 108 138 150 168 

0 4 18 22 48 52 60 64 70 78 82 84 88 90 102 108 118 130 132 138 144 148 150 162 168

0  20  30  38  48 
36  56  66  74  84 
60  80  90  98  108 
120  140  150  158  168 
126  146  156  164  174 

0  20  30  36  38  48  56  60  66  74  80  84  90  98  108  120  126  140  146  150  156  158  164  168  174

0  10  6  16  30 
66  76  72  82  96 
84  94  90  100  114 
126  136  132  142  156 
144  154  150  160  174 

0  6  10  16  30  66  72  76  82  84  90  94  96  100  114  126  132  136  142  144  150  154  156  160  174

0  12  30  36  42 
46  58  76  82  88 
60  72  90  96  102 
126  138  156  162  168 
130  142  160  166  172 

0  12  30  36  42  46  58  60  72  76  82  88  90  96  102  126  130  138  142  156  160  162  166  168  172

0  12  30  36  42 
54  66  84  90  96 
64  76  94  100  106 
120  132  150  156  162 
124  136  154  160  166 

0  12  30  36  42  54  64  66  76  84  90  94  96  100  106  120  124  132  136  150  154  156  160  162  166

0  10  24  34  48 
60  70  84  94  108 
66  76  90  100  114 
120  130  144  154  168 
126  136  150  160  174 

0  10  24  34  48  60  66  70  76  84  90  94  100  108  114  120  126  130  136  144  150  154  160  168  174

Достаточно найти реальный кортеж из 25 последовательных простых чисел, соответствующий одному из этих паттернов, и решение этой сложнейшей задачи будет найдено.