Масло растекается пятном

[Turtur]

Здарова всем! Такая предельно простая задача:

Цитата:

Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю.

На мой взгляд, $\upsilon=\sqrt{\frac{q}{ht\pi}}$ . Но вот автор задачи так не считает и к полученному мною выражению добавляет множитель $1/2$. Почему, мне не понятно, ведь изменение границы пятна - это изменение радиуса, не диаметра.
Пожалуйста, укажите ошибку.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: нет физики.

[Sender]

Ну и как у вас радиус пятна зависит от времени?

[venco]

Чему равен радиус как функция от времени?
Как от этой функции перейти к функции скорости?

[Henrylee]

Мне кжется, самый правильный вопрос к ТС (если он, конечно, вернется) это как он получил свою формулу для скорости (скорее всего, подогнал под ответ, конечно, только с двоечкой не повезло, неоткуда ей появиться при такой подгонке)

[Turtur]

Извиняюсь, дела сложились так, что пришлось уехать, долгое время не было доступа к интернету.
Честно скажу, под ответ не подгоняю, решаю самостоятельно, для себя же.
Пусть за время $t=1$ масло растеклось пятном радиуса $r$. Значит, $q=r^2h\pi$.
Тогда за время $t$ масло растечется пятном радиуса $R$, т.е. $qt=R^2h\pi=r^2\th\pi$.
Отсюда $\frac{R^2}{r^2}=t$. Но учитывая, что $r^2=\frac{q}{h\pi}$, $R^2=\frac{qt}{h\pi}$.
Я понимаю, что граница пятна измеряется радиусом этого пятна, т.е. $\upsilon=\frac{R}{t}$, откуда и следует $\upsilon=\sqrt{\frac{q}{ht\pi}}$
P.S. кстати, задача из сборника задач по физике Савченко гы

[ET]

Вас в задаче просят посчиать мгновенную скорость в момент времени $t$ или среднюю за время с 0 по $t$ с момента образования пятна?

[ewert]

Turtur в сообщении #1032019 писал(а):

т.е. $\upsilon=\frac{R}{t}$,

Это противоречит

Turtur в сообщении #1030763 писал(а):

Как зависит от времени скорость

[Turtur]

Да, дошло наконец-таки. Спасибо. Просили посчитать среднюю скорость, а у меня мгновенная найдена.

[ET]

Turtur в сообщении #1032026 писал(а):

Да, дошло наконец-таки. Спасибо. Просили посчитать среднюю скорость, а у меня мгновенная найдена.

А не наоборот?

[Turtur]

ET, да, конечно, наоборот, средняя скорость постоянна, а мне нужно узнать как скорость зависит от времени. Конечно, нужно мгновенную.
ewert, я не понимаю, где противоречие Радиус со временем изменяется, найдена зависимость изменения радиуса - или речь о том, что именно этот этап и неправилен? Вся идея неверна?
А если брать $t$ как промежуток времени, стремящийся к нулю, разве найденная скорость будет средней

Цитата:

$\upsilon=\frac{R}{t}$

? Я никак не врубаюсь, почему же всё-таки в моём решении скорость

Цитата:

среднюю за время с 0 по $t$ с момента образования пятна

.

[ET]

Turtur
по-моему у вас какая-то каша в голове.
Разумеется и средняя скорость за период с $0$ по $t$ зависит от этого времени $t$. Но несовпадает с нужной вам мгновенной
Разумеется то, что вы посчитали (суммарный радиус за это время разделдить на суммарное время) - это именно средняя
А далее - смотрите первые сообщения в этой теме от Sender и venco
Ну или я могу в их духе: Вы наверное недавно какие-то производные проходили? Вот на эту тему задача?

[Turtur]

ET
Спасибо большое за ответ, ошибку вижу. Изменение же, извиняйте меня тысячу раз. Понимаю, что надоело со мной из пустого в порожнее беседы вести, но мне правда интересно дорешать (хотя, может, слабо видно лол).
$\upsilon=\frac{R-r}{t-1}$
$\frac{R-r}{t-1}=\frac{\sqrt{\frac{qt}{h\pi}}-\sqrt{\frac{q}{h\pi}}}{t-1}$
Осюда выходит, что:
$\upsilon=\frac{\sqrt{\frac{q}{h\pi}}}{\sqrt{t}+1}$
Нет, производные не проходила. Задача из сборника Савченко по физике, и, конечно, там не указано алгеброй какого класса можно решить. Разве задача решается только ч/з производную?? Не буду в таком случае вам больше мешать. Но всё же, почему моё решение неправильно?:(

[B@R5uk]

Неправильно, потому что скорость — это производная координаты по времени. А ускорение — это производная скорости по времени. И наоборот, координата — это интеграл скорости, а скорость — это интеграл ускорения. Даже если вы не знаете в подробностях, что такое производная, то можно (и даже нужно) просто заучить таблицу производных (штук десять хватит на все случаи жизни) и несколько правил дифференцирования. Это даже пятикласснику под силу.

Только когда скорость является константой, мгновенное и среднее значение скоростей и совпадают.