Общая топология. Для чего?

[Legioner93]

Oleg Zubelevich в сообщении #1031619 писал(а):

Понятие топологического пространства формализует такие понятия как "близость точек", "непрерывность отображения" и т.п.. Есть много важных топлогических пространств, которые не являются метрическими. Например, в теории обобщенных функций рассматривается простраанство $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ -- пространство основных или пробных функций. Естественная для этого пространства топология неметризуема.

Однако не любая сходимость топологизируема. Так что топология - не максимальное обобщение.

[Oleg Zubelevich]

вот Вам кстати задача: докажите, что в пространстве измеримых функций на $(0,1)$ сходимость почти всюду не топологизируема. боян конечно

[Anton_Peplov]

Oleg Zubelevich в сообщении #1031727 писал(а):

докажите, что в пространстве измеримых функций на $(0,1)$ сходимость почти всюду не топологизируема

Имеется в виду сходимость по мере?

[Legioner93]

Anton_Peplov
Нет, это разные термины. Но между ними есть связь (в обе стороны).

[Anton_Peplov]

Legioner93
Что такое сходимость последовательности измеримых функций по мере, я знаю. А что тогда такое сходимость в пространстве измеримых функций, если не сходимость по мере?

[Legioner93]

https://ru.wikipedia.org/wiki/Сходимость_почти_всюду

[Anton_Peplov]

Сходимость почти всюду (т.е. всюду, кроме множества меры нуль) мне тоже знакома. Так "сходимость в пространстве измеримых функций" - это она и есть?

[Oleg Zubelevich]

Два разных типа сходимости в одном пространстве! Ужос!

[пианист]

(Оффтоп)

Раз пошла такая пьянка, да и СанСаныча уже вспомнили..

А вот для чего нужна топология Гротендика? Что, какие возможности данный инструмент добавляет?

[Anton_Peplov]

Кстати, а сходимость по мере топологизируема или не всегда?

[Oleg Zubelevich]

она метризуема даже, во всяком случае, если мера сигма-конечна

[Anton_Peplov]

Круть.
Ах, да, что-то такое помню. Измеримые множества образуют метрическое пространство, где расстояние - мера симметрической разности множеств (когда-то пытался это доказать в качестве упражнения, но на неравенстве треугольника застрял и не сдвинулся). Правда, при этом множества, совпадающие почти всюду, отождествляются. Наверное, отсюда растут ноги и у метризуемости сходимости по мере.

[Oleg Zubelevich]

Щаз попробуем топологизировать сходимость по мере в общем случае. Пусть $(X,\sigma,\mu)$ -- measure space. Введем такие подмножества в пространстве измеримых функций $f:X\to\mathbb{R}$
$U_{a b}(f)=\big\{g\mid\mu\{x\mid |g(x)-f(x)|\ge a\}\le b\big\},\quad a,b>0$
Окрестноостью элемента $f$ по определению будем считать любое множество измеримых функций, которое содержит хотя бы одно из множеств $$U_{a b}(f)$. Вот только скажу честно, аксиомы окрестностей я особенно не проверял, так на вскидку, вроде они выполнены.

-- Вс июн 28, 2015 13:10:10 --

[Xaositect]

Anton_Peplov в сообщении #1031673 писал(а):

Xaositect в сообщении #1031663 писал(а):

Если говорить про историю, то термин "топологическое пространство" появляется у Хаусдорфа в "Grundzüge der Mengenlehre".

А что он там исследовал, в этой работе? Он топологическое пространство ввел, чтобы какую-то задачу решить, или просто по принципу "смотрите, какая классная штука!"?
Тот же вопрос про Куратовского и оператор замыкания.

Просмотрел подробнее, но с немецким и французским у меня плохо, так что мог что и пропустить. Насколько я понял, Хаусдорф, во-первых, заметил, что окрестности с такими же свойствами можно определить не только на метрических пространствах, а еще и на упорядоченных множествах, а во-вторых, с помощью окрестностей ему было удобнее определять разные понятия типа внутренности, граничных точек и т.п. У Куратовского же приводятся основные свойства оператора замыкания - как он взаимодействует с теоретико-множественными операциями, сколько разных множеств можно получить с помощью замыкания и дополнения (те же внутренности и т.п.), из этого он получает некоторые утверждения интересные именно с топологической точки зрения, например, что граница замкнутого множества не может быть плотным множеством. Насколько я понимаю, мотивацией было исследование свойств замыкания, которые можно записать просто с помощью теоретико-множественных операций, без обращения к точкам.

[Anton_Peplov]

Xaositect
Спасибо.