2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1112
Oleg Zubelevich в сообщении #1031619 писал(а):
Понятие топологического пространства формализует такие понятия как "близость точек", "непрерывность отображения" и т.п.. Есть много важных топлогических пространств, которые не являются метрическими. Например, в теории обобщенных функций рассматривается простраанство $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ -- пространство основных или пробных функций. Естественная для этого пространства топология неметризуема.

Однако не любая сходимость топологизируема. Так что топология - не максимальное обобщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 01:01 


10/02/11
6786
вот Вам кстати задача: докажите, что в пространстве измеримых функций на $(0,1)$ сходимость почти всюду не топологизируема. боян конечно

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 05:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5959
Oleg Zubelevich в сообщении #1031727 писал(а):
докажите, что в пространстве измеримых функций на $(0,1)$ сходимость почти всюду не топологизируема

Имеется в виду сходимость по мере?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 07:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1112
Anton_Peplov
Нет, это разные термины. Но между ними есть связь (в обе стороны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 07:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5959
Legioner93
Что такое сходимость последовательности измеримых функций по мере, я знаю. А что тогда такое сходимость в пространстве измеримых функций, если не сходимость по мере?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 07:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1112
https://ru.wikipedia.org/wiki/Сходимость_почти_всюду

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 07:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5959
Сходимость почти всюду (т.е. всюду, кроме множества меры нуль) мне тоже знакома. Так "сходимость в пространстве измеримых функций" - это она и есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 09:45 


10/02/11
6786
Два разных типа сходимости в одном пространстве! Ужос! :lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
887
МО

(Оффтоп)

Раз пошла такая пьянка, да и СанСаныча уже вспомнили..

А вот для чего нужна топология Гротендика? Что, какие возможности данный инструмент добавляет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 12:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5959
Кстати, а сходимость по мере топологизируема или не всегда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 12:13 


10/02/11
6786
она метризуема даже, во всяком случае, если мера сигма-конечна

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 12:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5959
Круть.
Ах, да, что-то такое помню. Измеримые множества образуют метрическое пространство, где расстояние - мера симметрической разности множеств (когда-то пытался это доказать в качестве упражнения, но на неравенстве треугольника застрял и не сдвинулся). Правда, при этом множества, совпадающие почти всюду, отождествляются. Наверное, отсюда растут ноги и у метризуемости сходимости по мере.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 13:03 


10/02/11
6786
Щаз попробуем топологизировать сходимость по мере в общем случае. Пусть $(X,\sigma,\mu)$ -- measure space. Введем такие подмножества в пространстве измеримых функций $f:X\to\mathbb{R}$
$U_{a b}(f)=\big\{g\mid\mu\{x\mid |g(x)-f(x)|\ge a\}\le b\big\},\quad a,b>0$
Окрестноостью элемента $f$ по определению будем считать любое множество измеримых функций, которое содержит хотя бы одно из множеств $$U_{a b}(f)$. Вот только скажу честно, аксиомы окрестностей я особенно не проверял, так на вскидку, вроде они выполнены.

-- Вс июн 28, 2015 13:10:10 --

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6119
Anton_Peplov в сообщении #1031673 писал(а):
Xaositect в сообщении #1031663 писал(а):
Если говорить про историю, то термин "топологическое пространство" появляется у Хаусдорфа в "Grundzüge der Mengenlehre".

А что он там исследовал, в этой работе? Он топологическое пространство ввел, чтобы какую-то задачу решить, или просто по принципу "смотрите, какая классная штука!"?
Тот же вопрос про Куратовского и оператор замыкания.
Просмотрел подробнее, но с немецким и французским у меня плохо, так что мог что и пропустить. Насколько я понял, Хаусдорф, во-первых, заметил, что окрестности с такими же свойствами можно определить не только на метрических пространствах, а еще и на упорядоченных множествах, а во-вторых, с помощью окрестностей ему было удобнее определять разные понятия типа внутренности, граничных точек и т.п. У Куратовского же приводятся основные свойства оператора замыкания - как он взаимодействует с теоретико-множественными операциями, сколько разных множеств можно получить с помощью замыкания и дополнения (те же внутренности и т.п.), из этого он получает некоторые утверждения интересные именно с топологической точки зрения, например, что граница замкнутого множества не может быть плотным множеством. Насколько я понимаю, мотивацией было исследование свойств замыкания, которые можно записать просто с помощью теоретико-множественных операций, без обращения к точкам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая топология. Для чего?
Сообщение28.06.2015, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5959
Xaositect
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group