Спектральные проекторы

[demolishka]

Пусть $P_{\lambda}$ и $P_{\mu}$ - спектральные проекторы самосопряженного оператора $A: H \to H$ на замкнутые подпространства $H_{\lambda}$ и $H_{\mu}$ соответственно. Известно, что $\lambda<\mu$, то $P_\lambda \leq P_\mu$. Никак не могу доказать следующее утверждение: $P_{\lambda} \leq P_{\mu} \Leftrightarrow H_{\lambda} \subset H_{\mu}$. Проекторы определяются как предел непрерывного функционального исчисления от монотонных функций, приближающих соответствующий индикатор. Например, для $P_{\mu}$ это индикатор $\mathbf{1}_{(-\infty;\mu]}$. И вроде бы интуитивно понятно, что при $\lambda < \mu$ проектор $P_{\mu}$ должен чаще действовать как тождественный, нежели $P_{\lambda}$, но вот что-то не получается установить формальную связь.

[Oleg Zubelevich]

а это разве имеет значение, что они проекторы самосопряженного оператора?

Разве утверждение $M\subseteq N\Longleftrightarrow (P_Mx,x)\le (P_Nx,x)$ для любых проекторов неверно? безотносительно операторов, которые из них клеются

[Oleg Zubelevich]

$M\subseteq N\Longrightarrow\|P_Mx-x\|=\inf_{y\in M}\|x-y\|\ge \inf_{y\in N}\|x-y\|=\|P_Nx-x\| $

-- Пт июн 26, 2015 21:20:51 --

обратно: $\|P_Mx\|^2=(P_Mx,x)\le (P_Nx,x)=\|P_Nx\|^2\Longrightarrow N^\perp\subseteq M^\perp$

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #1031339 писал(а):

это разве имеет значение, что они проекторы самосопряженного оператора?

Ортогональность проектора существенна. Если $P$ неортогональный проектор то $P\le I$ м.б. и неверным

[Oleg Zubelevich]

в гильбертоввом пространстве проектор ортогонален по дефолту, если не указано вдоль какого подпространства он проектор

[demolishka]

Разобрался. Oleg Zubelevich, большое Вам спасибо.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1031414 писал(а):

Если $P$ неортогональный проектор то $P\le I$ м.б. и неверным

Проектор не ортогональный -- то же, что не самоспряжённый, а тогда для него неравенство попросту не определено.

[Red_Herring]

На самом деле можно найти достаточно приличные источники, в которых положительность не требует симметричности (в комплексном пр-ве симметричность следует автоматически), тем паче самосопряженности. Поэтому оговорка "самосопряженного оператора" в исходной задаче совсем не лишняя.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1031550 писал(а):

в комплексном пр-ве симметричность следует автоматически

Так комплексность и подразумевается тоже автоматически, без неё как-то неуютно.

-- Сб июн 27, 2015 14:10:45 --

Red_Herring в сообщении #1031550 писал(а):

Поэтому оговорка "самосопряженного оператора" в исходной задаче совсем не лишняя.

Не лишняя, но несколько избыточная. Дело действительно не в спектральности этих проекторов, а только в их ортогональности.

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1031551 писал(а):

Так комплексность и подразумевается тоже автоматически, без неё как-то неуютно.

Я тоже люблю комплексные пр-ва, но есть задачи, в которых пр-ва по определению действительны. А то ведь и такие оригиналы случаются

*** сообщении #1031161 писал(а):

Задачу определения собственных чисел оператора энергии и импульса необходимо решать в комплексном трехмерном евклидовом пространстве в случае уравнения Шредингера, рассматривая частный случай одномерного и двумерного пространства, и в четырехмерном комплексном пространстве Минковского в релятивистском случае. Это связано с тем, что задача в действительном евклидовом трехмерном пространстве не решается, возникает комплексное собственное значение. Но пока необходимо ограничиться уравнением Шредингера.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1031555 писал(а):

А то ведь и такие оригиналы случаются

Ну товарищ просто не отдаёт себе отчёт в том, что он понимает под словом "пространство". Комплексность же нужна везде, где требуется понятие спектра -- без неё спектра просто не будет.

[AlexDem]

ewert в сообщении #1031572 писал(а):

Комплексность же нужна везде, где требуется понятие спектра -- без неё спектра просто не будет.

Почему? (Или Вы здесь что-то специальное имеете в виду?)

[ewert]

AlexDem в сообщении #1031694 писал(а):

Почему?

Потому, что вся эта спектральная теория по существу аналитична. А какая ж аналитичность без комплексности.