Вообще это сильно смахивает на задачу из матэкономики
Да, так и есть. Матрица в исходном неравенстве -- это часть вот такой вот формулы:

где

.
Результат произведения вектора

на матрицу полных затрат

, включающих затраты на расширение производства, -- это вектор цен

.
Вектор

состоит из неотрицательных элементов. Он может быть практически любым, но у него, конечно, должен быть хотя бы один положительный элемент. Цены не должны быть отрицательными. Отсюда ясно, что и матрица

неотрицательна.

-- это норма прибыли. Я хотел узнать, в каких границах её можно изменять и как находить эти границы.
можно считать, что при

утверждение выполняется, т. е.

существует и имеет положительные элементы.
А потом уже использовать

Спасибо за подсказку! Можно преобразовать вот так:

Чтобы существовал вектор

, нужно, чтобы существовала

(Всё остальное существует и неотрицательно по условию.) А для этого нужно, чтобы

, где

-- спектральный радиус матрицы

. Эта теорема о М-матрицах была доказана для матриц со строго положительными элементами Фробениусом (Frobenius) и обобщена на случай неотрицательных матриц Островским (Ostrowski).
Правильно ли я понимаю, что

-- это и есть тот самый, первый неотрицательный корень уравнения

? Числовые расчёты показывают, что вроде бы так и есть, но доказать я ещё не пробовал.