2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 03:07 
Заморожен


14/03/14
223
Здравствуйте, уважаемые участники форума!

У меня есть матричное неравенство $$\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1} \geqslant 0 .$$ Здесь $I$, $A$ и $B$ -- это квадратные матрицы. $I$ -- единичная матрица. $A = \left ( a_{ij} \right )$ и $B = \left ( b_{ij} \right )$ составлены из неотрицательных действительных чисел. $\lambda$ -- это тоже неотрицательное действительное число.
$$a_{ij}, \, b_{ij}, \, \lambda \in \mathbb{R} . \quad
a_{ij}, \, b_{ij}, \, \lambda \geqslant 0 .$$ Матрицы $A$ и $B$ подобраны так, что неравенство выполняется при достаточно маленьком $\lambda$.

Я хочу понять, в каких границах можно изменять $\lambda$, не нарушая неравенства.

Сначала я генерировал на компьютере подходящие случайные матрицы, изменял $\lambda$ и смотрел, что получится. Потом догадался найти действительные корни уравнения $det \left ( I - A - \lambda  B \right ) = 0$ и обнаружил, что если $\lambda$ лежит между $0$ и первым неотрицательным корнем, то неравенство выполняется, а если $\lambda$ выходит за указанную верхнюю границу, то не выполняется. Думаю, что так происходит всегда.

  1. Верно ли это предположение?
  2. Если верно, то как это можно доказать?

P.S. У меня почти нулевая математическая подготовка, поэтому прошу извинить, если коряво сформулировал или напутал с терминами и обозначениями. Любые замечания приму с благодарностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 05:54 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Начните свой рассказ с того, что вы имеете в виду под матричным неравенством. Что вообще означает фраза «матрица больше нуля»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 06:03 
Заморожен


14/03/14
223
iifat, я имею в виду, что все элементы матрицы не меньше нуля.

-- 22.06.2015, 13:06 --

$\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1} \geqslant 0 .$
Здесь $0$ -- это нулевая матрица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 08:41 
Заморожен


14/03/14
223
Поясню: это неравенство нарушается тогда, когда хотя бы один элемент матрицы становится отрицательным.

Понятнее ли сейчас, о чём идёт речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 09:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
926
матмех спбгу
Вам нужны точные границы или какие-нибудь?

A_Nikolaev в сообщении #1029514 писал(а):
если $\lambda$ лежит между $0$ и первым неотрицательным корнем, то неравенство выполняется, а если $\lambda$ выходит за указанную верхнюю границу, то не выполняется.

Этим Вы лишь обеспечиваете корректность неравенства - обратимость матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 09:47 
Заморожен


14/03/14
223
Точные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 09:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
A_Nikolaev в сообщении #1029540 писал(а):
Понятнее ли сейчас, о чём идёт речь?

Да, понятно. Рассматриваемые Вами матрицы изучаются и ответ на Ваш вопрос наверняка известен (где-то). Ваша гипотеза звучит немного подозрительно, но сказать что-то окончательное я не готов. Дам пока ссылку на Вики, где определяются такого типа матрицы:
англовики про матрицы писал(а):
M-matrices have several equivalent definitions, one of which is as follows: a Z-matrix is an M-matrix if it is nonsingular and its inverse is nonnegative.

Дальше по ссылкам. Хорошо бы связать это с известными результатами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 10:25 
Заморожен


14/03/14
223
grizzly, спасибо! Буду смотреть в указанном Вами направлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7948
Москва
Первая половина
A_Nikolaev в сообщении #1029514 писал(а):
если $\lambda$ лежит между $0$ и первым неотрицательным корнем, то неравенство выполняется
довольно очевидна
Раскладываем $(I-X)^{-1}=I+X+X^2+\ldots+X^n$+\ldots и видим, что если ряд сходится, то элементы обратной матрицы будут неотрицательны. А при указанных значениях лямбды он сходится. При других значениях будет расходиться, но обязательно ли появятся отрицательные значения - не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Евгений Машеров в сообщении #1029616 писал(а):
А при указанных значениях лямбды он сходится.


Нет.

Но можно аккуратнее: по условию, можно считать, что при $\lambda=0$ утверждение выполняется, т. е. $(I-A)^{-1}$ существует и имеет положительные элементы.

А потом уже использовать
$$
\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1}=(I-A)^{-1}(I-\lambda B(I-A)^{-1})^{-1},
$$

а потом то, что в скобках, раскладывать в ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 14:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7948
Москва
Вообще это сильно смахивает на задачу из матэкономики, именно межотраслевой баланс, доказательство того, что в матрице полных затрат не будет экономически бессмысленных отрицательных элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение23.06.2015, 10:13 
Заморожен


14/03/14
223
Евгений Машеров в сообщении #1029662 писал(а):
Вообще это сильно смахивает на задачу из матэкономики

Да, так и есть. Матрица в исходном неравенстве -- это часть вот такой вот формулы: $p = sC,$ где $C = \left ( I - A - \lambda B \right )^{-1}$.

Результат произведения вектора $s$ на матрицу полных затрат $C$, включающих затраты на расширение производства, -- это вектор цен $p$.

Вектор $s$ состоит из неотрицательных элементов. Он может быть практически любым, но у него, конечно, должен быть хотя бы один положительный элемент. Цены не должны быть отрицательными. Отсюда ясно, что и матрица $C$ неотрицательна.

$\lambda$ -- это норма прибыли. Я хотел узнать, в каких границах её можно изменять и как находить эти границы.

g______d в сообщении #1029654 писал(а):
можно считать, что при $\lambda=0$ утверждение выполняется, т. е. $(I-A)^{-1}$ существует и имеет положительные элементы.

А потом уже использовать
$$
\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1}=(I-A)^{-1}(I-\lambda B(I-A)^{-1})^{-1}
$$

Спасибо за подсказку! Можно преобразовать вот так: $$C = \left ( I - A - \lambda B \right )^{-1} =$$ $$\lambda^{-1} \left ( I - A \right )^{-1} \left ( \lambda^{-1} I - B \left ( I - A \right )^{-1} \right )^{-1}.$$

Чтобы существовал вектор $p = sC \geqslant 0$, нужно, чтобы существовала $$\left ( \lambda^{-1} I - B \left ( I - A \right )^{-1} \right )^{-1} \geqslant 0.$$ (Всё остальное существует и неотрицательно по условию.) А для этого нужно, чтобы $\lambda^{-1} > \rho$, где $\rho$ -- спектральный радиус матрицы $B \left ( I - A \right )^{-1}$. Эта теорема о М-матрицах была доказана для матриц со строго положительными элементами Фробениусом (Frobenius) и обобщена на случай неотрицательных матриц Островским (Ostrowski).

Правильно ли я понимаю, что $\rho^{-1}$ -- это и есть тот самый, первый неотрицательный корень уравнения $\det \left ( I - A - \lambda B \right ) = 0$? Числовые расчёты показывают, что вроде бы так и есть, но доказать я ещё не пробовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение25.06.2015, 05:20 
Заморожен


14/03/14
223
iifat, demolishka, grizzly, Евгений Машеров, g______d,
спасибо вам за участие и помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group