Одно матричное неравенство

[A_Nikolaev]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!

У меня есть матричное неравенство

$$\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1} \geqslant 0 .$$

Здесь $I$, $A$ и $B$ -- это квадратные матрицы. $I$ -- единичная матрица. $A = \left ( a_{ij} \right )$ и $B = \left ( b_{ij} \right )$ составлены из неотрицательных действительных чисел. $\lambda$ -- это тоже неотрицательное действительное число.

$$a_{ij}, \, b_{ij}, \, \lambda \in \mathbb{R} . \quad a_{ij}, \, b_{ij}, \, \lambda \geqslant 0 .$$

Матрицы $A$ и $B$ подобраны так, что неравенство выполняется при достаточно маленьком $\lambda$.

Я хочу понять, в каких границах можно изменять $\lambda$, не нарушая неравенства.

Сначала я генерировал на компьютере подходящие случайные матрицы, изменял $\lambda$ и смотрел, что получится. Потом догадался найти действительные корни уравнения $det \left ( I - A - \lambda B \right ) = 0$ и обнаружил, что если $\lambda$ лежит между $0$ и первым неотрицательным корнем, то неравенство выполняется, а если $\lambda$ выходит за указанную верхнюю границу, то не выполняется. Думаю, что так происходит всегда.

1. Верно ли это предположение?
2. Если верно, то как это можно доказать?

P.S. У меня почти нулевая математическая подготовка, поэтому прошу извинить, если коряво сформулировал или напутал с терминами и обозначениями. Любые замечания приму с благодарностью.

[iifat]

Начните свой рассказ с того, что вы имеете в виду под матричным неравенством. Что вообще означает фраза «матрица больше нуля»?

[A_Nikolaev]

iifat, я имею в виду, что все элементы матрицы не меньше нуля.

-- 22.06.2015, 13:06 --

$\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1} \geqslant 0 .$
Здесь $0$ -- это нулевая матрица.

[A_Nikolaev]

Поясню: это неравенство нарушается тогда, когда хотя бы один элемент матрицы становится отрицательным.

Понятнее ли сейчас, о чём идёт речь?

[demolishka]

Вам нужны точные границы или какие-нибудь?

A_Nikolaev в сообщении #1029514 писал(а):

если $\lambda$ лежит между $0$ и первым неотрицательным корнем, то неравенство выполняется, а если $\lambda$ выходит за указанную верхнюю границу, то не выполняется.

Этим Вы лишь обеспечиваете корректность неравенства - обратимость матрицы.

[A_Nikolaev]

Точные.

[grizzly]

A_Nikolaev в сообщении #1029540 писал(а):

Понятнее ли сейчас, о чём идёт речь?

Да, понятно. Рассматриваемые Вами матрицы изучаются и ответ на Ваш вопрос наверняка известен (где-то). Ваша гипотеза звучит немного подозрительно, но сказать что-то окончательное я не готов. Дам пока ссылку на Вики, где определяются такого типа матрицы:

англовики про матрицы писал(а):

M-matrices have several equivalent definitions, one of which is as follows: a Z-matrix is an M-matrix if it is nonsingular and its inverse is nonnegative.

Дальше по ссылкам. Хорошо бы связать это с известными результатами.

[A_Nikolaev]

grizzly, спасибо! Буду смотреть в указанном Вами направлении.

[Евгений Машеров]

Первая половина

A_Nikolaev в сообщении #1029514 писал(а):

если $\lambda$ лежит между $0$ и первым неотрицательным корнем, то неравенство выполняется

довольно очевидна
Раскладываем $(I-X)^{-1}=I+X+X^2+\ldots+X^n$+\ldots и видим, что если ряд сходится, то элементы обратной матрицы будут неотрицательны. А при указанных значениях лямбды он сходится. При других значениях будет расходиться, но обязательно ли появятся отрицательные значения - не уверен.

[g______d]

Евгений Машеров в сообщении #1029616 писал(а):

А при указанных значениях лямбды он сходится.

Нет.

Но можно аккуратнее: по условию, можно считать, что при $\lambda=0$ утверждение выполняется, т. е. $(I-A)^{-1}$ существует и имеет положительные элементы.

А потом уже использовать

$$ \left ( I - A - \lambda B \right )^{-1}=(I-A)^{-1}(I-\lambda B(I-A)^{-1})^{-1}, $$

а потом то, что в скобках, раскладывать в ряд.

[Евгений Машеров]

Вообще это сильно смахивает на задачу из матэкономики, именно межотраслевой баланс, доказательство того, что в матрице полных затрат не будет экономически бессмысленных отрицательных элементов.

[A_Nikolaev]

Евгений Машеров в сообщении #1029662 писал(а):

Вообще это сильно смахивает на задачу из матэкономики

Да, так и есть. Матрица в исходном неравенстве -- это часть вот такой вот формулы: $p = sC,$ где $C = \left ( I - A - \lambda B \right )^{-1}$.

Результат произведения вектора $s$ на матрицу полных затрат $C$, включающих затраты на расширение производства, -- это вектор цен $p$.

Вектор $s$ состоит из неотрицательных элементов. Он может быть практически любым, но у него, конечно, должен быть хотя бы один положительный элемент. Цены не должны быть отрицательными. Отсюда ясно, что и матрица $C$ неотрицательна.

$\lambda$ -- это норма прибыли. Я хотел узнать, в каких границах её можно изменять и как находить эти границы.

g______d в сообщении #1029654 писал(а):

можно считать, что при $\lambda=0$ утверждение выполняется, т. е. $(I-A)^{-1}$ существует и имеет положительные элементы.

А потом уже использовать

$$ \left ( I - A - \lambda B \right )^{-1}=(I-A)^{-1}(I-\lambda B(I-A)^{-1})^{-1} $$

Спасибо за подсказку! Можно преобразовать вот так:

$$C = \left ( I - A - \lambda B \right )^{-1} =$$

$$\lambda^{-1} \left ( I - A \right )^{-1} \left ( \lambda^{-1} I - B \left ( I - A \right )^{-1} \right )^{-1}.$$

Чтобы существовал вектор $p = sC \geqslant 0$, нужно, чтобы существовала

$$\left ( \lambda^{-1} I - B \left ( I - A \right )^{-1} \right )^{-1} \geqslant 0.$$

(Всё остальное существует и неотрицательно по условию.) А для этого нужно, чтобы $\lambda^{-1} > \rho$, где $\rho$ -- спектральный радиус матрицы $B \left ( I - A \right )^{-1}$. Эта теорема о М-матрицах была доказана для матриц со строго положительными элементами Фробениусом (Frobenius) и обобщена на случай неотрицательных матриц Островским (Ostrowski).

Правильно ли я понимаю, что $\rho^{-1}$ -- это и есть тот самый, первый неотрицательный корень уравнения $\det \left ( I - A - \lambda B \right ) = 0$? Числовые расчёты показывают, что вроде бы так и есть, но доказать я ещё не пробовал.

[A_Nikolaev]

iifat, demolishka, grizzly, Евгений Машеров, g______d,
спасибо вам за участие и помощь!