2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 03:07 
Здравствуйте, уважаемые участники форума!

У меня есть матричное неравенство $$\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1} \geqslant 0 .$$ Здесь $I$, $A$ и $B$ -- это квадратные матрицы. $I$ -- единичная матрица. $A = \left ( a_{ij} \right )$ и $B = \left ( b_{ij} \right )$ составлены из неотрицательных действительных чисел. $\lambda$ -- это тоже неотрицательное действительное число.
$$a_{ij}, \, b_{ij}, \, \lambda \in \mathbb{R} . \quad
a_{ij}, \, b_{ij}, \, \lambda \geqslant 0 .$$ Матрицы $A$ и $B$ подобраны так, что неравенство выполняется при достаточно маленьком $\lambda$.

Я хочу понять, в каких границах можно изменять $\lambda$, не нарушая неравенства.

Сначала я генерировал на компьютере подходящие случайные матрицы, изменял $\lambda$ и смотрел, что получится. Потом догадался найти действительные корни уравнения $det \left ( I - A - \lambda  B \right ) = 0$ и обнаружил, что если $\lambda$ лежит между $0$ и первым неотрицательным корнем, то неравенство выполняется, а если $\lambda$ выходит за указанную верхнюю границу, то не выполняется. Думаю, что так происходит всегда.

  1. Верно ли это предположение?
  2. Если верно, то как это можно доказать?

P.S. У меня почти нулевая математическая подготовка, поэтому прошу извинить, если коряво сформулировал или напутал с терминами и обозначениями. Любые замечания приму с благодарностью.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 05:54 
Начните свой рассказ с того, что вы имеете в виду под матричным неравенством. Что вообще означает фраза «матрица больше нуля»?

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 06:03 
iifat, я имею в виду, что все элементы матрицы не меньше нуля.

-- 22.06.2015, 13:06 --

$\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1} \geqslant 0 .$
Здесь $0$ -- это нулевая матрица.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 08:41 
Поясню: это неравенство нарушается тогда, когда хотя бы один элемент матрицы становится отрицательным.

Понятнее ли сейчас, о чём идёт речь?

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 09:45 
Аватара пользователя
Вам нужны точные границы или какие-нибудь?

A_Nikolaev в сообщении #1029514 писал(а):
если $\lambda$ лежит между $0$ и первым неотрицательным корнем, то неравенство выполняется, а если $\lambda$ выходит за указанную верхнюю границу, то не выполняется.

Этим Вы лишь обеспечиваете корректность неравенства - обратимость матрицы.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 09:47 
Точные.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 09:53 
Аватара пользователя
A_Nikolaev в сообщении #1029540 писал(а):
Понятнее ли сейчас, о чём идёт речь?

Да, понятно. Рассматриваемые Вами матрицы изучаются и ответ на Ваш вопрос наверняка известен (где-то). Ваша гипотеза звучит немного подозрительно, но сказать что-то окончательное я не готов. Дам пока ссылку на Вики, где определяются такого типа матрицы:
англовики про матрицы писал(а):
M-matrices have several equivalent definitions, one of which is as follows: a Z-matrix is an M-matrix if it is nonsingular and its inverse is nonnegative.

Дальше по ссылкам. Хорошо бы связать это с известными результатами.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 10:25 
grizzly, спасибо! Буду смотреть в указанном Вами направлении.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 12:43 
Аватара пользователя
Первая половина
A_Nikolaev в сообщении #1029514 писал(а):
если $\lambda$ лежит между $0$ и первым неотрицательным корнем, то неравенство выполняется
довольно очевидна
Раскладываем $(I-X)^{-1}=I+X+X^2+\ldots+X^n$+\ldots и видим, что если ряд сходится, то элементы обратной матрицы будут неотрицательны. А при указанных значениях лямбды он сходится. При других значениях будет расходиться, но обязательно ли появятся отрицательные значения - не уверен.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 13:58 
Аватара пользователя
Евгений Машеров в сообщении #1029616 писал(а):
А при указанных значениях лямбды он сходится.


Нет.

Но можно аккуратнее: по условию, можно считать, что при $\lambda=0$ утверждение выполняется, т. е. $(I-A)^{-1}$ существует и имеет положительные элементы.

А потом уже использовать
$$
\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1}=(I-A)^{-1}(I-\lambda B(I-A)^{-1})^{-1},
$$

а потом то, что в скобках, раскладывать в ряд.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение22.06.2015, 14:25 
Аватара пользователя
Вообще это сильно смахивает на задачу из матэкономики, именно межотраслевой баланс, доказательство того, что в матрице полных затрат не будет экономически бессмысленных отрицательных элементов.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение23.06.2015, 10:13 
Евгений Машеров в сообщении #1029662 писал(а):
Вообще это сильно смахивает на задачу из матэкономики

Да, так и есть. Матрица в исходном неравенстве -- это часть вот такой вот формулы: $p = sC,$ где $C = \left ( I - A - \lambda B \right )^{-1}$.

Результат произведения вектора $s$ на матрицу полных затрат $C$, включающих затраты на расширение производства, -- это вектор цен $p$.

Вектор $s$ состоит из неотрицательных элементов. Он может быть практически любым, но у него, конечно, должен быть хотя бы один положительный элемент. Цены не должны быть отрицательными. Отсюда ясно, что и матрица $C$ неотрицательна.

$\lambda$ -- это норма прибыли. Я хотел узнать, в каких границах её можно изменять и как находить эти границы.

g______d в сообщении #1029654 писал(а):
можно считать, что при $\lambda=0$ утверждение выполняется, т. е. $(I-A)^{-1}$ существует и имеет положительные элементы.

А потом уже использовать
$$
\left ( I - A - \lambda B \right )^{-1}=(I-A)^{-1}(I-\lambda B(I-A)^{-1})^{-1}
$$

Спасибо за подсказку! Можно преобразовать вот так: $$C = \left ( I - A - \lambda B \right )^{-1} =$$ $$\lambda^{-1} \left ( I - A \right )^{-1} \left ( \lambda^{-1} I - B \left ( I - A \right )^{-1} \right )^{-1}.$$

Чтобы существовал вектор $p = sC \geqslant 0$, нужно, чтобы существовала $$\left ( \lambda^{-1} I - B \left ( I - A \right )^{-1} \right )^{-1} \geqslant 0.$$ (Всё остальное существует и неотрицательно по условию.) А для этого нужно, чтобы $\lambda^{-1} > \rho$, где $\rho$ -- спектральный радиус матрицы $B \left ( I - A \right )^{-1}$. Эта теорема о М-матрицах была доказана для матриц со строго положительными элементами Фробениусом (Frobenius) и обобщена на случай неотрицательных матриц Островским (Ostrowski).

Правильно ли я понимаю, что $\rho^{-1}$ -- это и есть тот самый, первый неотрицательный корень уравнения $\det \left ( I - A - \lambda B \right ) = 0$? Числовые расчёты показывают, что вроде бы так и есть, но доказать я ещё не пробовал.

 
 
 
 Re: Одно матричное неравенство
Сообщение25.06.2015, 05:20 
iifat, demolishka, grizzly, Евгений Машеров, g______d,
спасибо вам за участие и помощь!

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group