получение уравнений Эйнштейна

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1025182 писал(а):

93 я смотрел и обратил внимание на нековариантность, что правда не мешает теоретикам пользоваться усеченным действием с лагранжианом $G$ (например у Фаддеева).

Усечённый лагранжиан приятнее, так как не содержит вторых производных от метрики. Также, к примеру, в случае асимптотически плоского пространства-времени $\sqrt{-g}G$ является допустимым лагранжианом, в отличие от $\sqrt{-g}R.$

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1028367 писал(а):

Также, к примеру, в случае асимптотически плоского пространства-времени $\sqrt{-g}G$ является допустимым лагранжианом, в отличие от $\sqrt{-g}R.$

Не совсем так. Скажем подстановка обычной метрики Шварцшильда в стандартных координатах дает функцию действия, которая расходится на бесконечности. И как это понимать? Как это варьировать?

-- 19.06.2015, 12:19 --

Я получил статью Пономарева -Цейтлина.
Залил сюда, не знаю как вставить.
https://yadi.sk/d/EyBv4KyxhKvPq
В общем все примерно так, как Вы говорили. Но Вопросы остались.
Хотелось бы понять, что есть $K$ - "разность следов второй фундаментальной формы". Что это за зверь?
Причем там фигурирует метрика плоского пространства. Интересно откуда взялась?

Относительно асимптотически плоского пространства - это серьезная предположение, которое фигурирует
в нескольких частных задачах в ОТО и, вообще говоря, ниоткуда не следует.

Статьи Гиббсона-Хокинга не смог найти.

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1028835 писал(а):

Не совсем так. Скажем подстановка обычной метрики Шварцшильда в стандартных координатах дает функцию действия, которая расходится на бесконечности. И как это понимать? Как это варьировать?

Мы имеем асимптотически плоское пространство-время, если при $r \to \infty$ и конечных $t:$

$$g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left(\frac{1}{r}\right), \quad, \partial_\sigma g_{\mu \nu}=O\left(\frac{1}{r^2}\right), \quad \Gamma^\sigma_{\mu \nu}=O\left(\frac{1}{r^2}\right).$$

Отсюда имеем при $r \to \infty$

$$\sqrt{-g}R=O\left(\frac{1}{r^3}\right), \quad \sqrt{-g}G=O\left(\frac{1}{r^4}\right).$$

Внеинтегральные члены для $\delta S_G$ исчезнут на пространственной бесконечности, аналогичные члены для $\delta S_{EH}$ не исчезнут.

schekn в сообщении #1028835 писал(а):

Хотелось бы понять, что есть $K$ - "разность следов второй фундаментальной формы". Что это за зверь?
Причем там фигурирует метрика плоского пространства. Интересно откуда взялась?

Член Гиббонса-Хокинга-Йорка имеет вид

$$S_{GHY}=\oint dS \sqrt{-h}K,$$

где интегрирование ведётся по границе пространственно-временного многообразия, что есть некоторая поверхность. Здесь $h_{\mu \nu}$ это индуцированная метрика на этой поверхности, а $K -$ след второй основной формы поверхности. Наша граница является гиперповерхностью, поэтому вторая основная форма для неё сводится к второй квадратичной форме, а след $K$ этой формы есть просто напросто средняя кривизна поверхности, не путать со скалярной кривизной=)

Действие

$$S=S_{EH}+S_{GHY}=S_{EH}+\oint dS \sqrt{-h}K$$

хорошо определено в случае пространственно компактной геометрии, для некомпактной же оно расходится. Поэтому во втором случае нужно выбрать некий опорный фон, физическое действие есть разность

$$\tilde{S} \equiv S-S_0.$$

В случае асимптотически-плоского пространства времени, подходящим фоном является плоское пространство, в этом случае для физического действия член Гиббонса-Хокинга-Йорка принимает вид

$$\tilde{S}_{GHY}=\oint dS \sqrt{-h} \left( K-K_0 \right).$$

Здесь $K$ как и раньше след второй основной формы границы как поверхности в пространственно-временном многообразии, а $K_0 -$ след второй основной формы границы как поверхности в плоском пространстве-времени.

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1029010 писал(а):

Внеинтегральные члены для $\delta S_G$ исчезнут на пространственной бесконечности, аналогичные члены для $\delta S_{EH}$ не исчезнут.

Я понимаю, что есть асимптотически плоское пространство-время, но в случае Шварцшильда есть нюанс, но ладно завтра распишу, может где ошибся.

Nirowulf в сообщении #1029010 писал(а):

В случае асимптотически-плоского пространства времени, подходящим фоном является плоское пространство, в этом случае для физического действия член Гиббонса-Хокинга-Йорка принимает вид

У меня опять смутное ощущение, что таким образом вы строите биметрическую теорию, которая во многих случаях корректнее ОТО. Если бы привели какой-нибудь пример и расписали $K$ , то было бы наверное понятнее.

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1029019 писал(а):

У меня опять смутное ощущение, что таким образом вы строите биметрическую теорию, которая во многих случаях корректнее ОТО. Если бы привели какой-нибудь пример и расписали $K$ , то было бы наверное понятнее.

Нет, я остаюсь в рамках ОТО, биметрическая теория она про другое.

Пусть поверхность $X$ размерности $m$ вложено в другое многообразие $Y$ размерности $d.$ Функция вложения

$$y^\mu(x^a): R^m \to R^d,$$

где $x^a -$ координаты на $X,$ а $y^\mu -$ координаты на $Y.$ Латинские индексы бегают от $0$ до $m-1,$ а греческие пробегают значения от $0$ до $d-1.$ Введём обозначение

$$e^\mu_a \equiv \frac{\partial y^\mu}{\partial x^a}=\partial_a y^\mu.$$

Пусть $g_{\mu \nu}$ это метрика объемлющего многообразия $Y.$ Тогда индуцированная метрика на $X$ даётся формулой

$$h_{ab}=e^\mu_a e^\nu_b g_{\mu \nu}.$$

Введём проектор на пространство, касательное к поверхности $X$ в данной точке

$$\Pi^\mu_\nu=e^\mu_a e^a_\nu.$$

Соответственно, проектор на ортогональное пространство

$$\Pi^{\phantom{\perp} \mu}_{\perp \nu}=\delta^\mu_\nu-\Pi^\mu_\nu.$$

Теперь мы можем определить вторую основную форму поверхности $X$

$$b^\mu_{ab}=\Pi^{\phantom{\perp} \mu}_{\perp \nu} \partial_a \partial_b y^\nu.$$

Если поверхность $X$ является гиперповерхностью, то ортогональный проектор приобретает следующий вид

$$\Pi^{\phantom{\perp} \mu}_{\perp \nu}=\xi n^\mu n_\nu,$$

где $n^\mu -$ единичный вектор нормали, $n^\mu n_\mu=\xi=\pm 1.$ В этом случае достаточно рассматривать величину

$$K_{ab}=n_\mu b^\mu_{ab}=n_\mu \partial_a \partial_b y^\mu,$$

которая и называется второй квадратичной формой поверхности. След второй квадратичной формы это средняя кривизна поверхности, отношение определителей второй и первой квадратичных форм даёт гауссову кривизну.

Пример: двумерная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Для удобства нумерацию индексов начнём с единицы. Пусть поверхность задана как график функции $z=f(x,y).$ Тогда компоненты индуцированной метрики есть

$$h_{11}=1+f^2_x, \quad h_{12}=h_{21}=f_x f_y, \quad h_{22}=1+f^2_y.$$

Компоненты второй квадратичной формы суть

$$K_{11}=\frac{f_{xx}}{\sqrt{1+f^2_x +f^2_y}}, \quad K_{12}=K_{21}=\frac{f_{xy}}{\sqrt{1+f^2_x +f^2_y}}, \quad K_{22}=\frac{f_{yy}}{\sqrt{1+f^2_x +f^2_y}}.$$

Гауссова кривизна

$$H=\frac{f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}}{(1+f^2_x+f^2_y)}.$$

schekn в сообщении #1028835 писал(а):

Скажем подстановка обычной метрики Шварцшильда в стандартных координатах дает функцию действия, которая расходится на бесконечности.

Я, кстати, не очень понимаю, что за функцию действия вы там получили, если для метрики Шварцшильда $R=0$ по определению.

[fizeg]

$K$ еще называется "вторая фундаментальная форма" и "внешняя кривизна". Есть в Кобаяси-Номидзу, т.2.

"разность следов второй фундаментальной формы" - когда вы рассматриваете пространство с обеих сторон от границы. Если вы просто проведете сквозь гладкое пространство поверхность, то член Гиббонса-Хокинга-Йорка с обеих сторон просто скомпенсируется. А вот если на поверхности есть материя, то будет скачок производных метрики. Член GHY по обеим сторонам поверхности при этом себя не скомпенсирует и его вариация будет давать условия сшивания.

Если же вы просто помещаете мир в банку, вам нужно рассматривать член GHY только с одной стороны!

Все выражается через одну метрику. Единственное где может показаться, что вводится вторая метрика, это вычитание интеграла с $K_0$. Но здесь суть в следующем. Когда смотрим мир в банке радиуса $L$ и эту банку делаем бесконечно большой ($L\to\infty$), получается, что действие $S$ расходится $\sim c L$, где $c$ - некоторый коэффициент. Но если вычесть некоторую константу (что не влияет на уравнения движения) $\sim -c L$, то можно действие оставить конечным. Удобно эту константу выбрать таким образом, чтобы для пустого пространства действие оказывалось бы равным нулю. Так что вычитание интеграла с $K_0$ - это не биметрическая теория, а просто вычет некоторой константы.

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1029110 писал(а):

Я, кстати, не очень понимаю, что за функцию действия вы там получили, если для метрики Шварцшильда $R=0$ по определению.

Если взять усеченное действие, которое часто используется в работах ( в обозначениях ЛЛ-2 (93.3))
Плотность ( в обозначениях ЛЛ-2 (93.3)) лагранжиана:

$$\sqrt{-g}G=\sqrt{-g}g^{ik}(\Gamma_{il}^{m}\Gamma_{km}^{l}-\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{lm}^{m})$$

Если подставить сюда точное решение Шварцшильда в стандартных координатах:

$$g_{00}=1-r_g/r, \quad g_{11}=-1/(1-r_g/r) , \quad g_{22}=-r^2, \quad g_{22}=-r^2\sin^2(\theta)$$

То получается:

$$\sqrt{-g}G=-2\sin(\theta)$$

И усеченное действие расходится при $r\to\infty$ :

$$S=\int\int\int\int{(-2\sin{\theta})d{\theta}d{\varphi}drdt}$$

Причем почему-то дивергентный член у меня получился точно $0$. У меня он по пар. 93 получился немного другой, чем у Вас в сообщении, но похож:

$$S_2=\frac{1}{2}\oint{dS_{l}(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km})\delta({\partial{g_{km},i})}$$

Как-то данное точное решение не стыкуется с вариационным принципом.

Если же взять метрику Шварцшильда в изотропной виде:

$$ds^2=\frac{{(1-r_g/4r)}^2}{{(1+r_g/4r)}^2}dt^2-(1+r_g/4r)^4(dx^2+dy^2+dz^2)$$

То с асимптотикой все нормально:

$$\sqrt{-g}G=-\frac{r_g^2}{2r^4}$$

Интеграл действия конечен.
Насчет поверхностных членов Хокинга и др. здесь ничего сказать не могу.

Нековариантность лагранжиана имеет нехорошие последствия.

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1029169 писал(а):

Если взять усеченное действие, которое часто используется в работах ( в обозначениях ЛЛ-2 (93.3))

Да, что-то я затупил, прощу прощения.

schekn в сообщении #1029169 писал(а):

Как-то данное точное решение не стыкуется с вариационным принципом.

schekn в сообщении #1029169 писал(а):

То с асимптотикой все нормально:

Дык, у нас

$$\eta_{\mu \nu}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1), \quad r=\sqrt{(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2}, \quad t=x^0.$$

Поэтому метрику надо брать в соответствующих координатах. Стандартные шварцшильдовские координаты не подходят, а изотропные подходят.

schekn в сообщении #1029169 писал(а):

У меня он по пар. 93 получился немного другой, чем у Вас в сообщении, но похож:

А вы для вариации символов Кристоффеля какую формулу использовали?

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1029259 писал(а):

Стандартные шварцшильдовские координаты не подходят, а изотропные подходят.

Единственно , может со знаком ошибся. Наверное лаганжиан в данных координатах все таки положительный.

Nirowulf в сообщении #1029259 писал(а):

А вы для вариации символов Кристоффеля какую формулу использовали?

Я расписал Кристоффеля через частные производные и проварьировал, отбросив члены с вариацией по метрике.

-- 21.06.2015, 11:09 --

fizeg в сообщении #1029141 писал(а):

А вот если на поверхности есть материя, то будет скачок производных метрики. Член GHY по обеим сторонам поверхности при этом себя не скомпенсирует и его вариация будет давать условия сшивания.

У меня при рассмотрении коллапса пылевого облака получился скачок метрической компоненты на границе в одних координатах (синхронных) и непрерывна в других (шварцшильдовских стандартных) . Это имеет отношение к данному члену?
Если поверхность статична или подвижна это как-то влияет на данный член?
Если граница - это бесконечно удаленная поверхность, то всегда ли член GHY нулевой? И когда не нулевой?

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1029272 писал(а):

расписал Кристоффеля через частные производные и проварьировал, отбросив члены с вариацией по метрике.

Вариация связности

$$\delta \Gamma^\sigma_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma \lambda}(\partial_\mu \delta g_{\lambda \nu}+\partial_\nu \delta g_{\lambda \nu}-\partial_\lambda \delta g_{\mu \nu})+\Gamma_{\lambda, \mu \nu}\delta g^{\sigma \lambda}.$$

Если вы отбросили второй член, то, значит, вы работаете в локально-геодезической системе координат. В этих координатах моё выражение для поверхностного члена, естественно, совпадает с вашим, но чтобы получить ковариантное выражение, нужно взять полную формулу для $\delta \Gamma^\sigma_{\mu \nu}.$

Ещё приятнее использовать явно ковариантную формулу для вариации Кристоффеля:

$$\delta\Gamma^\sigma_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma \lambda}(\nabla_\mu \delta g_{\lambda \nu}+\nabla_\nu \delta g_{\lambda \nu}-\nabla_\lambda \delta g_{\mu \nu}),$$

тогда вы получите то же выражения для поверхностного члена, что и у меня.

[fizeg]

schekn

schekn в сообщении #1029272 писал(а):

Если поверхность статична или подвижна это как-то влияет на данный член?

Граница может двигаться как угодно

schekn в сообщении #1029272 писал(а):

У меня при рассмотрении коллапса пылевого облака получился скачок метрической компоненты на границе в одних координатах (синхронных) и непрерывна в других (шварцшильдовских стандартных) . Это имеет отношение к данному члену?

Считайте тензор Эйнштейна. Почти наверняка в первом случае ваши скачки дадут $\delta$-функции на границе, да и вообще говоря $\delta'$. Если метрика непрерывна, а ее производные/символы Кристоффеля нет, это также ведет к $\delta$-функции на границе. Это будет означать, что кроме $T_{\mu\nu}=T^{\text{(dust)}}_{\mu\nu}\theta\Big(r-r_0(t)\Big)$ есть еще некоторая тонкая оболочка с материей на границе. Для абы как сшитого решения она и энергетические условия соблюдать не будет.

Есть только одно но. Если ваш координатный переход был с изломом, эти изломы пойдут и в метрику. Но тогда у вас в новых координатах и соседние точки на самом деле не соседние, и нефизические области появляться могут итд итп. Но если вы не шьете по горизонту, то хороший переход к синхронным координатам найти бы должны.

Так что сильно подозреваю, вы налажали с сшивкой. Делается она также как в электродинамике. Вам нужно взять внутри вашего облака общее решение, необязательно убывающее на бесконечности! Дальше вы требуете, чтобы метрика на границе совпадала И производные метрики тоже совпадали. Сделать это можно будет не для всякого $r_0(t)$ (потому что из уравнений Эйнштейна следует $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$), это задаст вам и как двигается граница вашего облака.

Если же есть материя на границе (типа тонкая массивная оболочка), то как и в электродинамике будет испытывать скачок нормальная производная метрики. Эта нормальная производная как раз и входит во внешнюю кривизну $K$. Потому на границе будет испытывать скачок внешняя кривизна. Есть условия Израэля, которые задают как скачок внешней кривизны связан с материей на границе. Если вы выпишете член GHY $+$ материю на границе, требование равенства нулю вариации получившегося граничного члена как раз и даст те условия Израэля.

schekn в сообщении #1029272 писал(а):

Если граница - это бесконечно удаленная поверхность, то всегда ли член GHY нулевой? И когда не нулевой?

Почти никогда не нулевой. Для пространства Минковского он на бесконечности расходится! Вопрос в том, равна ли тождественно нулю его вариация. Если вариации мы смотрим только убывающие на бесконечности, то разумеется нулевая. А вот если нас интересует именно поведение на бесконечности, то надо учитывать.

-- 22.06.2015, 19:28 --

Да, по поводу координатных переходов с изломом. Не совсем корректно написал. Изломы ж будут не в самих координатах, а в их производных. Но если это чисто координатный эффект, тензор Энштейна получится без дельт

[SergeyGubanov]

fizeg в сообщении #1029716 писал(а):

Делается она также как в электродинамике. Вам нужно взять внутри вашего облака общее решение, необязательно убывающее на бесконечности! Дальше вы требуете, чтобы метрика на границе совпадала И производные метрики тоже совпадали.

Так сшивку не надо делать.

Процитирую Someone:

Someone в сообщении #979093 писал(а):

Условия склейки не содержат условия непрерывности производных. Такое требование вообще является очень странным, поскольку координаты в склеиваемых областях, вообще говоря, непосредственно не связаны, даже если одинаково обозначаются. Какая-то связь реализуется только через поверхность склейки и существует только на ней.

По-моему, я однажды писал об условиях склейки.
Поверхность склейки вложена в две склеиваемые области и должна быть либо в обеих времениподобной, либо в обеих пространственноподобной (условий склейки для изотропной поверхности не знаю).
Условия склейки следующие:
1) оба вложения индуцируют на поверхности склейки одинаковую геометрию;
2) если на поверхности склейки нет поверхностного слоя (типа бесконечно тонкой оболочки), то тензор внешней кривизны поверхности должен быть одинаковым в обеих областях;
3) если поверхностный слой есть, то скачок тензора внешней кривизны определённым образом связан с поверхностным тензором энергии импульса этого слоя.

Где-то Someone даже приводил простой пример с преобразованием координат в области пространства Минковского с последующей сшивкой с оставшейся частью, так что бы наивная попытка просто взять и сшить производные от метрики была очевидно несостоятельной.

[fizeg]

Ну да, пожалуй это координатно-зависимое условие, пробоема как раз в том как соодносятся координаты с одной стороны и с другой. Все прямолинейно в нормальных oкоординатах, где одна из координат идет по нормали, а другие по прверхности и $ds^2=g_{ij}dx^idx^j-dy^2$.

-- 22.06.2015, 20:00 --

Инвариантно все записывается как раз через условия Израеля про скачок внешней кривизны поверхности. Нет материи - он равен нулю. Это кау раз и будет соответствовать непрерывности тензора кривизны

-- 22.06.2015, 20:01 --

Точнее не непрерывности, а отсутствию в нем дельт

-- 22.06.2015, 20:04 --

Да, кстати Someone о нем и пишет

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1029487 писал(а):

ариация связности

$$\delta \Gamma^\sigma_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma \lambda}(\partial_\mu \delta g_{\lambda \nu}+\partial_\nu \delta g_{\lambda \nu}-\partial_\lambda \delta g_{\mu \nu})+\Gamma_{\lambda, \mu \nu}\delta g^{\sigma \lambda}.$$

Если вы отбросили второй член, то, значит, вы работаете в локально-геодезической системе координат. В этих координатах моё выражение для поверхностного члена, естественно, совпадает с вашим, но чтобы получить ковариантное выражение, нужно взять полную формулу для $\delta \Gamma^\sigma_{\mu \nu}.$

Я отбросил члены вида , как у Вас последний, потому что он входит уже под интеграл по гиперповерхности (дивергентный) , а метрика там фиксирована. Могу , конечно расписать, может это то же самое. Вот эта часть совпадает: $g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km}$

[Nirowulf]

schekn в сообщении #1029767 писал(а):

Я отбросил члены вида , как у Вас последний, потому что он входит уже под интеграл по гиперповерхности (дивергентный) , а метрика там фиксирована. Могу , конечно расписать, может это то же самое.

Точно, опять туплю. На поверхности $\delta g_{\mu \nu}=0,$ поэтому

$$\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu}=\partial_\sigma \delta g_{\mu \nu},$$

и наши ответы совпадают. Так что всё правильно.