2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение05.06.2015, 21:22 
Аватара пользователя


10/12/11
2199
Москва
Kirill_Sal в сообщении #1023758 писал(а):
Вы спросили, как выводили ЛЛ. Я хотел Вам ответить, а Вы философствовать начали зачем-то.

Еще раз - без философий - у меня возникли члены со вторыми производными (4), кроме уравнений Эйнштейна, в рамках ЛЛ-2 пар 95. Я хочу понять почему. Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение05.06.2015, 21:32 
Заморожен


24/06/14
358
Ну и что? Хоть вторые, хоть третьи. Первые производные метрики в используемой системе координат равны нулю, так что появление вторых вполне ожидаемо.
Чему полная добавка к интегралу с тензором Эйнштейна получилась равной?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение05.06.2015, 22:02 
Аватара пользователя


10/12/11
2199
Москва
Kirill_Sal в сообщении #1023765 писал(а):
Ну и что? Хоть вторые, хоть третьи. Первые производные метрики в используемой системе координат равны нулю, так что появление вторых вполне ожидаемо.
Чему полная добавка к интегралу с тензором Эйнштейна получилась равной?


Вот это первый член:

$$\sqrt{-g}g_{ik}\frac{\delta{g^{lm}}}{2}[\frac{\partial^{2} g_{mi}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}+\frac{\partial^{2} g_{mk}}{\partial x^{i}\partial x^{l}}-\frac{\partial^{2} g_{ik}}{\partial x^{m}\partial x^{l}}-\frac{\partial^{2} g_{lm}}{\partial x^{i}\partial x^{k}}]\quad(5)$$

А вот это второй:

$$\sqrt{-g}g_{ik}\frac{{g^{lm}}}{2}[\delta \frac{\partial^{2}  g_{mi}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}+\delta \frac{\partial^{2}  g_{mk}}{\partial x^{i}\partial x^{l}}-\delta \frac{\partial^{2}  g_{ik}}{\partial x^{m}\partial x^{l}}- \delta\frac{\partial^{2}  g_{lm}}{\partial x^{i}\partial x^{k}}]\quad(6)$$

Так почему можно заменить в локально геодезической вариацию по метрике к вариации по кристоффелю?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение05.06.2015, 22:21 
Заморожен


24/06/14
358
schekn
Вы чем занимаетесь, извините?
В используемой СК:

$R_{\alpha\beta}=\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta,\gamma}-\Gamma^{\gamma}_{\alpha\gamma,\beta}$

Про линейность символа варьирования Вы тоже не слышали?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение05.06.2015, 22:38 
Аватара пользователя


10/12/11
2199
Москва
Kirill_Sal в сообщении #1023780 писал(а):
schekn
Вы чем занимаетесь, извините?
В используемой СК:

$R_{\alpha\beta}=\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta,\gamma}-\Gamma^{\gamma}_{\alpha\gamma,\beta}$

Про линейность символа варьирования Вы тоже не слышали?

ну все правильно.
так ошибка где?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнште
Сообщение05.06.2015, 23:01 
Заморожен


24/06/14
358
Забудьте про метрику. Вам нужно взять вариацию от $R_{\alpha\beta}$.
Вот и вычисляйте ее по формуле, не расписывая связность в явном виде (зачем усложнять?); операцию дифференцирования можно поменять местами с вариацией. Затем $g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}$ легко приводится к 4-х дивергенции. Теперь вспомните, что величины $\delta\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}$ образуют тензор (нестрогое док-во есть в том же параграфе) и напишите выражение для 4-х дивергенции в произвольной (нелоренцевой) системе координат. Затем теорема Гаусса.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение06.06.2015, 02:10 


30/05/13
247
СПб
schekn
Если воспользоваться тождеством Палатини
$$\delta R_{\mu \nu}=\nabla_\lambda \delta \Gamma^\lambda_{\nu \mu}-\nabla_\nu\delta \Gamma^\lambda_{\lambda \mu},$$
то член $\sqrt{-g}g^{\mu \nu}\delta R_{\mu \nu}$ превращается в полную дивергенцию в одну строчку.

По сути, Ландафшиц тоже пользуется этим тождеством, только в локально геодезической системе координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение06.06.2015, 19:10 
Заморожен


24/06/14
358
Nirowulf
У человека сессия на носу - с Ландау надо разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение06.06.2015, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Да вы что. Какая сессия? Он триста лет жуёт жвачку на форумах, опровергунствует, и триста лет тупит над простыми вещами.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение07.06.2015, 10:09 
Аватара пользователя


10/12/11
2199
Москва
Kirill_Sal в сообщении #1023809 писал(а):
Теперь вспомните, что величины $\delta\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}$ образуют тензор (нестрогое док-во есть в том же параграфе) и напишите выражение для 4-х дивергенции в произвольной (нелоренцевой) системе координат. Затем теорема Гаусса.

Nirowulf в сообщении #1023844 писал(а):
По сути, Ландафшиц тоже пользуется этим тождеством, только в локально геодезической системе координат.

У меня нет вопросов по вашим замечаниям. Почему на границе полученный дивергентный член обращается в ноль? Я туплю, потому что вначале пар. 95 говорится , вариация идет по метрическим компонентам , а в результате в произвольной координатной системе в этом члене стоит вектор $\omega^{l}$ в котором вариация связности.

-- 07.06.2015, 10:10 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1024157 писал(а):
и триста лет тупит

Столько не живут.


-- 07.06.2015, 10:26 --

Был бы признателен, если кто-то смог бы достать статью в "Вестник Московского Университета , сер. физика, 1979, №5, стр. 68-70
Цейтлин, Пономарев " О вариационном принципе ОТО".


(или их же 1978, №6, 56-59, О корректном использовании принципа Платини в гравитационных полях).

У меня нет доступа к библиотеке МГУ. Может там есть ответ на мои непонятки.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение07.06.2015, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Опровергуны такие конспирологи...

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение07.06.2015, 13:00 
Заморожен


24/06/14
358
schekn
Потому что ЛЛ считают пространство асимптотически плоским. Символы Кристоффеля там нулю равны, как и их вариации. Вы бы написали этот дивергентный член хоть раз...

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение08.06.2015, 09:47 
Аватара пользователя


10/12/11
2199
Москва
Kirill_Sal в сообщении #1024344 писал(а):
Потому что ЛЛ считают пространство асимптотически плоским.

А где считают? Я наверное упустил этот момент у ЛЛ-2. Можете привести цитату?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение09.06.2015, 04:21 


30/05/13
247
СПб
schekn
На самом деле у Ландафшица написаны вот такие слова, перед формулой (95,2):

ЛЛ-2 писал(а):
Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает.


Строго говоря, это не так. Если выразить этот член через вариацию метрики, то он имеет вид
$$\int d^4 x \sqrt{-g} \, \nabla_\lambda \left[ \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu} \right]$$
и сводится к следующему поверхностному интегралу
$$\oint dS_\lambda \, \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu}. \eqno (1)$$
Из того, что вариация поля есть нуль на поверхности, не следует, что производная от неё тоже нуль на поверхности. В этот поверхностный интеграл будет давать ненулевой вклад производная от вариации метрики вдоль вектора нормали к поверхности. Про эту ситуацию и говорится в приведённом вами отрывке из книги Иваненко.

В Ландафшице это заметено под ковёр и граничные члены просто отбрасывают. Можно ли написать такое действие в ОТО, для которого вариационный принцип будет хорошо определён?

Да, можно. Одним из вариантов является действие( параграф 93 в ЛЛ-2)
$$S=\int d^4x \sqrt{-g} \, G=\int d^4x \sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \left( \Gamma^\rho_{\mu \omega}\Gamma^{\omega}_{\nu \rho}-\Gamma^\rho_{\mu \nu}\Gamma^{\rho}_{\omega \rho}\right). \eqno (2)$$
Вариация этого действия приводит к уравнениям Эйнштейна без возникновения поверхностного члена $(1).$ У действия $(2)$ один недостаток $-$ нековариантность. Поэтому Гиббонс, Хокинг и Йорк придумали одноимённый ковариантный член, который надо добавить к действию Эйнштейна-Гильберта.
$$S_{GHY}=\oint dS \sqrt{-h}\, K,$$
где $h_{\mu \nu}$ это индуцированная метрика, а $K$ есть след второй основной формы поверхности. Вариация члена Гиббонса-Хокинга-Йорка в точности сокращает нежелательный поверхностный член $(1),$ оставляя поверхностный вклад, содержащий лишь саму вариацию метрики, которая равна нулю на поверхности. Таким образом, вариация суммарного действия $S_{EH}+S_{GHY}$ приводит в точности к уравнениям Эйнштейна.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение09.06.2015, 10:06 
Аватара пользователя


10/12/11
2199
Москва
Nirowulf в сообщении #1025147 писал(а):
schekn
На самом деле у Ландафшица написаны вот такие слова, перед формулой (95,2):

ЛЛ-2 писал(а):
Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает.


Строго говоря, это не так. Если выразить этот член через вариацию метрики, то он имеет вид
$$\int d^4 x \sqrt{-g} \, \nabla_\lambda \left[ \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu} \right]$$
и сводится к следующему поверхностному интегралу
$$\oint dS_\lambda \, \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu}. \eqno (1)$$
Из того, что вариация поля есть нуль на поверхности, не следует, что производная от неё тоже нуль на поверхности. В этот поверхностный интеграл будет давать ненулевой вклад производная от вариации метрики вдоль вектора нормали к поверхности. Про эту ситуацию и говорится в приведённом вами отрывке из книги Иваненко.

В Ландафшице это заметено под ковёр и граничные члены просто отбрасывают. Можно ли написать такое действие в ОТО, для которого вариационный принцип будет хорошо определён?

Да, можно. Одним из вариантов является действие( параграф 93 в ЛЛ-2)
$$S=\int d^4x \sqrt{-g} \, G=\int d^4x \sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \left( \Gamma^\rho_{\mu \omega}\Gamma^{\omega}_{\nu \rho}-\Gamma^\rho_{\mu \nu}\Gamma^{\rho}_{\omega \rho}\right). \eqno (2)$$
Вариация этого действия приводит к уравнениям Эйнштейна без возникновения поверхностного члена $(1).$ У действия $(2)$ один недостаток $-$ нековариантность. Поэтому Гиббонс, Хокинг и Йорк придумали одноимённый ковариантный член, который надо добавить к действию Эйнштейна-Гильберта.
$$S_{GHY}=\oint dS \sqrt{-h}\, K,$$
где $h_{\mu \nu}$ это индуцированная метрика, а $K$ есть след второй основной формы поверхности. Вариация члена Гиббонса-Хокинга-Йорка в точности сокращает нежелательный поверхностный член $(1),$ оставляя поверхностный вклад, содержащий лишь саму вариацию метрики, которая равна нулю на поверхности. Таким образом, вариация суммарного действия $S_{EH}+S_{GHY}$ приводит в точности к уравнениям Эйнштейна.

Спасибо , Nirowulf. У меня было ощущение, что там в пар. 95 что-то не так.
93 я смотрел и обратил внимание на нековариантность, что правда не мешает теоретикам пользоваться усеченным действием с лагранжианом $G$ (например у Фаддеева).
Про добавочный член Хокинга.. не знал. Посмотрю еще , может возникнуть вопросы. Ну то есть они используют некоторый искусственный прием. Проще наверное просто постулировать сами уравнения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group