2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение18.06.2015, 04:01 


30/05/13
247
СПб
schekn в сообщении #1025182 писал(а):
93 я смотрел и обратил внимание на нековариантность, что правда не мешает теоретикам пользоваться усеченным действием с лагранжианом $G$ (например у Фаддеева).

Усечённый лагранжиан приятнее, так как не содержит вторых производных от метрики. Также, к примеру, в случае асимптотически плоского пространства-времени $\sqrt{-g}G$ является допустимым лагранжианом, в отличие от $\sqrt{-g}R.$

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение19.06.2015, 12:11 
Аватара пользователя


10/12/11
2198
Москва
Nirowulf в сообщении #1028367 писал(а):
Также, к примеру, в случае асимптотически плоского пространства-времени $\sqrt{-g}G$ является допустимым лагранжианом, в отличие от $\sqrt{-g}R.$

Не совсем так. Скажем подстановка обычной метрики Шварцшильда в стандартных координатах дает функцию действия, которая расходится на бесконечности. И как это понимать? Как это варьировать?

-- 19.06.2015, 12:19 --

Я получил статью Пономарева -Цейтлина.
Залил сюда, не знаю как вставить.
https://yadi.sk/d/EyBv4KyxhKvPq
В общем все примерно так, как Вы говорили. Но Вопросы остались.
Хотелось бы понять, что есть $K$ - "разность следов второй фундаментальной формы". Что это за зверь?
Причем там фигурирует метрика плоского пространства. Интересно откуда взялась?

Относительно асимптотически плоского пространства - это серьезная предположение, которое фигурирует
в нескольких частных задачах в ОТО и, вообще говоря, ниоткуда не следует.

Статьи Гиббсона-Хокинга не смог найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение19.06.2015, 21:35 


30/05/13
247
СПб
schekn в сообщении #1028835 писал(а):
Не совсем так. Скажем подстановка обычной метрики Шварцшильда в стандартных координатах дает функцию действия, которая расходится на бесконечности. И как это понимать? Как это варьировать?

Мы имеем асимптотически плоское пространство-время, если при $r \to \infty$ и конечных $t:$
$$g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+O\left(\frac{1}{r}\right), \quad, \partial_\sigma g_{\mu \nu}=O\left(\frac{1}{r^2}\right), \quad \Gamma^\sigma_{\mu \nu}=O\left(\frac{1}{r^2}\right).$$
Отсюда имеем при $r \to \infty$
$$\sqrt{-g}R=O\left(\frac{1}{r^3}\right), \quad \sqrt{-g}G=O\left(\frac{1}{r^4}\right).$$

Внеинтегральные члены для $\delta S_G$ исчезнут на пространственной бесконечности, аналогичные члены для $\delta S_{EH}$ не исчезнут.

schekn в сообщении #1028835 писал(а):
Хотелось бы понять, что есть $K$ - "разность следов второй фундаментальной формы". Что это за зверь?
Причем там фигурирует метрика плоского пространства. Интересно откуда взялась?

Член Гиббонса-Хокинга-Йорка имеет вид
$$S_{GHY}=\oint dS \sqrt{-h}K,$$
где интегрирование ведётся по границе пространственно-временного многообразия, что есть некоторая поверхность. Здесь $h_{\mu \nu}$ это индуцированная метрика на этой поверхности, а $K -$ след второй основной формы поверхности. Наша граница является гиперповерхностью, поэтому вторая основная форма для неё сводится к второй квадратичной форме, а след $K$ этой формы есть просто напросто средняя кривизна поверхности, не путать со скалярной кривизной=)

Действие
$$S=S_{EH}+S_{GHY}=S_{EH}+\oint dS \sqrt{-h}K$$
хорошо определено в случае пространственно компактной геометрии, для некомпактной же оно расходится. Поэтому во втором случае нужно выбрать некий опорный фон, физическое действие есть разность
$$\tilde{S} \equiv S-S_0.$$
В случае асимптотически-плоского пространства времени, подходящим фоном является плоское пространство, в этом случае для физического действия член Гиббонса-Хокинга-Йорка принимает вид
$$\tilde{S}_{GHY}=\oint dS \sqrt{-h} \left( K-K_0 \right).$$
Здесь $K$ как и раньше след второй основной формы границы как поверхности в пространственно-временном многообразии, а $K_0 -$ след второй основной формы границы как поверхности в плоском пространстве-времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение19.06.2015, 22:15 
Аватара пользователя


10/12/11
2198
Москва
Nirowulf в сообщении #1029010 писал(а):
Внеинтегральные члены для $\delta S_G$ исчезнут на пространственной бесконечности, аналогичные члены для $\delta S_{EH}$ не исчезнут.

Я понимаю, что есть асимптотически плоское пространство-время, но в случае Шварцшильда есть нюанс, но ладно завтра распишу, может где ошибся.
Nirowulf в сообщении #1029010 писал(а):
В случае асимптотически-плоского пространства времени, подходящим фоном является плоское пространство, в этом случае для физического действия член Гиббонса-Хокинга-Йорка принимает вид

У меня опять смутное ощущение, что таким образом вы строите биметрическую теорию, которая во многих случаях корректнее ОТО. Если бы привели какой-нибудь пример и расписали $K$ , то было бы наверное понятнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение20.06.2015, 14:40 


30/05/13
247
СПб
schekn в сообщении #1029019 писал(а):
У меня опять смутное ощущение, что таким образом вы строите биметрическую теорию, которая во многих случаях корректнее ОТО. Если бы привели какой-нибудь пример и расписали $K$ , то было бы наверное понятнее.

Нет, я остаюсь в рамках ОТО, биметрическая теория она про другое.

Пусть поверхность $X$ размерности $m$ вложено в другое многообразие $Y$ размерности $d.$ Функция вложения
$$y^\mu(x^a): R^m \to R^d,$$
где $x^a -$ координаты на $X,$ а $y^\mu -$ координаты на $Y.$ Латинские индексы бегают от $0$ до $m-1,$ а греческие пробегают значения от $0$ до $d-1.$ Введём обозначение
$$e^\mu_a \equiv \frac{\partial y^\mu}{\partial x^a}=\partial_a y^\mu.$$
Пусть $g_{\mu \nu}$ это метрика объемлющего многообразия $Y.$ Тогда индуцированная метрика на $X$ даётся формулой
$$h_{ab}=e^\mu_a e^\nu_b g_{\mu \nu}.$$
Введём проектор на пространство, касательное к поверхности $X$ в данной точке
$$\Pi^\mu_\nu=e^\mu_a e^a_\nu.$$
Соответственно, проектор на ортогональное пространство
$$\Pi^{\phantom{\perp} \mu}_{\perp \nu}=\delta^\mu_\nu-\Pi^\mu_\nu.$$
Теперь мы можем определить вторую основную форму поверхности $X$
$$b^\mu_{ab}=\Pi^{\phantom{\perp} \mu}_{\perp \nu} \partial_a \partial_b y^\nu.$$
Если поверхность $X$ является гиперповерхностью, то ортогональный проектор приобретает следующий вид
$$\Pi^{\phantom{\perp} \mu}_{\perp \nu}=\xi n^\mu n_\nu,$$
где $n^\mu -$ единичный вектор нормали, $n^\mu n_\mu=\xi=\pm 1.$ В этом случае достаточно рассматривать величину
$$K_{ab}=n_\mu b^\mu_{ab}=n_\mu \partial_a \partial_b y^\mu,$$
которая и называется второй квадратичной формой поверхности. След второй квадратичной формы это средняя кривизна поверхности, отношение определителей второй и первой квадратичных форм даёт гауссову кривизну.

Пример: двумерная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Для удобства нумерацию индексов начнём с единицы. Пусть поверхность задана как график функции $z=f(x,y).$ Тогда компоненты индуцированной метрики есть
$$h_{11}=1+f^2_x, \quad h_{12}=h_{21}=f_x f_y, \quad h_{22}=1+f^2_y.$$
Компоненты второй квадратичной формы суть
$$K_{11}=\frac{f_{xx}}{\sqrt{1+f^2_x +f^2_y}}, \quad K_{12}=K_{21}=\frac{f_{xy}}{\sqrt{1+f^2_x +f^2_y}}, \quad K_{22}=\frac{f_{yy}}{\sqrt{1+f^2_x +f^2_y}}.$$
Гауссова кривизна
$$H=\frac{f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}}{(1+f^2_x+f^2_y)}.$$



schekn в сообщении #1028835 писал(а):
Скажем подстановка обычной метрики Шварцшильда в стандартных координатах дает функцию действия, которая расходится на бесконечности.

Я, кстати, не очень понимаю, что за функцию действия вы там получили, если для метрики Шварцшильда $R=0$ по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение20.06.2015, 18:56 
Заслуженный участник


25/12/11
749
$K$ еще называется "вторая фундаментальная форма" и "внешняя кривизна". Есть в Кобаяси-Номидзу, т.2.

"разность следов второй фундаментальной формы" - когда вы рассматриваете пространство с обеих сторон от границы. Если вы просто проведете сквозь гладкое пространство поверхность, то член Гиббонса-Хокинга-Йорка с обеих сторон просто скомпенсируется. А вот если на поверхности есть материя, то будет скачок производных метрики. Член GHY по обеим сторонам поверхности при этом себя не скомпенсирует и его вариация будет давать условия сшивания.

Если же вы просто помещаете мир в банку, вам нужно рассматривать член GHY только с одной стороны!

Все выражается через одну метрику. Единственное где может показаться, что вводится вторая метрика, это вычитание интеграла с $K_0$. Но здесь суть в следующем. Когда смотрим мир в банке радиуса $L$ и эту банку делаем бесконечно большой ($L\to\infty$), получается, что действие $S$ расходится $\sim c L$, где $c$ - некоторый коэффициент. Но если вычесть некоторую константу (что не влияет на уравнения движения) $\sim -c L$, то можно действие оставить конечным. Удобно эту константу выбрать таким образом, чтобы для пустого пространства действие оказывалось бы равным нулю. Так что вычитание интеграла с $K_0$ - это не биметрическая теория, а просто вычет некоторой константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение20.06.2015, 21:22 
Аватара пользователя


10/12/11
2198
Москва
Nirowulf в сообщении #1029110 писал(а):
Я, кстати, не очень понимаю, что за функцию действия вы там получили, если для метрики Шварцшильда $R=0$ по определению.

Если взять усеченное действие, которое часто используется в работах ( в обозначениях ЛЛ-2 (93.3))
Плотность ( в обозначениях ЛЛ-2 (93.3)) лагранжиана:
$$\sqrt{-g}G=\sqrt{-g}g^{ik}(\Gamma_{il}^{m}\Gamma_{km}^{l}-\Gamma_{ik}^{l}\Gamma_{lm}^{m})$$
Если подставить сюда точное решение Шварцшильда в стандартных координатах:
$$g_{00}=1-r_g/r, \quad g_{11}=-1/(1-r_g/r) , \quad g_{22}=-r^2, \quad g_{22}=-r^2\sin^2(\theta)$$
То получается:
$$\sqrt{-g}G=-2\sin(\theta)$$
И усеченное действие расходится при $r\to\infty$ :
$$S=\int\int\int\int{(-2\sin{\theta})d{\theta}d{\varphi}drdt}$$
Причем почему-то дивергентный член у меня получился точно $0$. У меня он по пар. 93 получился немного другой, чем у Вас в сообщении, но похож:

$$S_2=\frac{1}{2}\oint{dS_{l}(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km})\delta({\partial{g_{km},i})}$$

Как-то данное точное решение не стыкуется с вариационным принципом.

Если же взять метрику Шварцшильда в изотропной виде:
$$ds^2=\frac{{(1-r_g/4r)}^2}{{(1+r_g/4r)}^2}dt^2-(1+r_g/4r)^4(dx^2+dy^2+dz^2)$$

То с асимптотикой все нормально:
$$\sqrt{-g}G=-\frac{r_g^2}{2r^4}$$
Интеграл действия конечен.
Насчет поверхностных членов Хокинга и др. здесь ничего сказать не могу.

Нековариантность лагранжиана имеет нехорошие последствия.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение21.06.2015, 09:46 


30/05/13
247
СПб
schekn в сообщении #1029169 писал(а):
Если взять усеченное действие, которое часто используется в работах ( в обозначениях ЛЛ-2 (93.3))

Да, что-то я затупил, прощу прощения.

schekn в сообщении #1029169 писал(а):
Как-то данное точное решение не стыкуется с вариационным принципом.


schekn в сообщении #1029169 писал(а):
То с асимптотикой все нормально:


Дык, у нас
$$\eta_{\mu \nu}=\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1), \quad r=\sqrt{(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2}, \quad t=x^0.$$
Поэтому метрику надо брать в соответствующих координатах. Стандартные шварцшильдовские координаты не подходят, а изотропные подходят.

schekn в сообщении #1029169 писал(а):
У меня он по пар. 93 получился немного другой, чем у Вас в сообщении, но похож:

А вы для вариации символов Кристоффеля какую формулу использовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение21.06.2015, 11:04 
Аватара пользователя


10/12/11
2198
Москва
Nirowulf в сообщении #1029259 писал(а):
Стандартные шварцшильдовские координаты не подходят, а изотропные подходят.

Единственно , может со знаком ошибся. Наверное лаганжиан в данных координатах все таки положительный.
Nirowulf в сообщении #1029259 писал(а):
А вы для вариации символов Кристоффеля какую формулу использовали?

Я расписал Кристоффеля через частные производные и проварьировал, отбросив члены с вариацией по метрике.

-- 21.06.2015, 11:09 --

fizeg в сообщении #1029141 писал(а):
А вот если на поверхности есть материя, то будет скачок производных метрики. Член GHY по обеим сторонам поверхности при этом себя не скомпенсирует и его вариация будет давать условия сшивания.

У меня при рассмотрении коллапса пылевого облака получился скачок метрической компоненты на границе в одних координатах (синхронных) и непрерывна в других (шварцшильдовских стандартных) . Это имеет отношение к данному члену?
Если поверхность статична или подвижна это как-то влияет на данный член?
Если граница - это бесконечно удаленная поверхность, то всегда ли член GHY нулевой? И когда не нулевой?

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение21.06.2015, 23:59 


30/05/13
247
СПб
schekn в сообщении #1029272 писал(а):
расписал Кристоффеля через частные производные и проварьировал, отбросив члены с вариацией по метрике.

Вариация связности
$$\delta \Gamma^\sigma_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma \lambda}(\partial_\mu \delta g_{\lambda \nu}+\partial_\nu \delta g_{\lambda \nu}-\partial_\lambda \delta g_{\mu \nu})+\Gamma_{\lambda, \mu \nu}\delta g^{\sigma \lambda}.$$
Если вы отбросили второй член, то, значит, вы работаете в локально-геодезической системе координат. В этих координатах моё выражение для поверхностного члена, естественно, совпадает с вашим, но чтобы получить ковариантное выражение, нужно взять полную формулу для $\delta \Gamma^\sigma_{\mu \nu}.$

Ещё приятнее использовать явно ковариантную формулу для вариации Кристоффеля:
$$\delta\Gamma^\sigma_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma \lambda}(\nabla_\mu \delta g_{\lambda \nu}+\nabla_\nu \delta g_{\lambda \nu}-\nabla_\lambda \delta g_{\mu \nu}),$$
тогда вы получите то же выражения для поверхностного члена, что и у меня.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение22.06.2015, 17:58 
Заслуженный участник


25/12/11
749
schekn
schekn в сообщении #1029272 писал(а):
Если поверхность статична или подвижна это как-то влияет на данный член?

Граница может двигаться как угодно

schekn в сообщении #1029272 писал(а):
У меня при рассмотрении коллапса пылевого облака получился скачок метрической компоненты на границе в одних координатах (синхронных) и непрерывна в других (шварцшильдовских стандартных) . Это имеет отношение к данному члену?

Считайте тензор Эйнштейна. Почти наверняка в первом случае ваши скачки дадут $\delta$-функции на границе, да и вообще говоря $\delta'$. Если метрика непрерывна, а ее производные/символы Кристоффеля нет, это также ведет к $\delta$-функции на границе. Это будет означать, что кроме $T_{\mu\nu}=T^{\text{(dust)}}_{\mu\nu}\theta\Big(r-r_0(t)\Big)$ есть еще некоторая тонкая оболочка с материей на границе. Для абы как сшитого решения она и энергетические условия соблюдать не будет.

Есть только одно но. Если ваш координатный переход был с изломом, эти изломы пойдут и в метрику. Но тогда у вас в новых координатах и соседние точки на самом деле не соседние, и нефизические области появляться могут итд итп. Но если вы не шьете по горизонту, то хороший переход к синхронным координатам найти бы должны.

Так что сильно подозреваю, вы налажали с сшивкой. Делается она также как в электродинамике. Вам нужно взять внутри вашего облака общее решение, необязательно убывающее на бесконечности! Дальше вы требуете, чтобы метрика на границе совпадала И производные метрики тоже совпадали. Сделать это можно будет не для всякого $r_0(t)$ (потому что из уравнений Эйнштейна следует $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$), это задаст вам и как двигается граница вашего облака.

Если же есть материя на границе (типа тонкая массивная оболочка), то как и в электродинамике будет испытывать скачок нормальная производная метрики. Эта нормальная производная как раз и входит во внешнюю кривизну $K$. Потому на границе будет испытывать скачок внешняя кривизна. Есть условия Израэля, которые задают как скачок внешней кривизны связан с материей на границе. Если вы выпишете член GHY $+$ материю на границе, требование равенства нулю вариации получившегося граничного члена как раз и даст те условия Израэля.

schekn в сообщении #1029272 писал(а):
Если граница - это бесконечно удаленная поверхность, то всегда ли член GHY нулевой? И когда не нулевой?

Почти никогда не нулевой. Для пространства Минковского он на бесконечности расходится! Вопрос в том, равна ли тождественно нулю его вариация. Если вариации мы смотрим только убывающие на бесконечности, то разумеется нулевая. А вот если нас интересует именно поведение на бесконечности, то надо учитывать.

-- 22.06.2015, 19:28 --

Да, по поводу координатных переходов с изломом. Не совсем корректно написал. Изломы ж будут не в самих координатах, а в их производных. Но если это чисто координатный эффект, тензор Энштейна получится без дельт

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение22.06.2015, 18:33 
Аватара пользователя


14/11/12
1310
Россия, Нижний Новгород
fizeg в сообщении #1029716 писал(а):
Делается она также как в электродинамике. Вам нужно взять внутри вашего облака общее решение, необязательно убывающее на бесконечности! Дальше вы требуете, чтобы метрика на границе совпадала И производные метрики тоже совпадали.
Так сшивку не надо делать.

Процитирую Someone:
Someone в сообщении #979093 писал(а):
Условия склейки не содержат условия непрерывности производных. Такое требование вообще является очень странным, поскольку координаты в склеиваемых областях, вообще говоря, непосредственно не связаны, даже если одинаково обозначаются. Какая-то связь реализуется только через поверхность склейки и существует только на ней.

По-моему, я однажды писал об условиях склейки.
Поверхность склейки вложена в две склеиваемые области и должна быть либо в обеих времениподобной, либо в обеих пространственноподобной (условий склейки для изотропной поверхности не знаю).
Условия склейки следующие:
1) оба вложения индуцируют на поверхности склейки одинаковую геометрию;
2) если на поверхности склейки нет поверхностного слоя (типа бесконечно тонкой оболочки), то тензор внешней кривизны поверхности должен быть одинаковым в обеих областях;
3) если поверхностный слой есть, то скачок тензора внешней кривизны определённым образом связан с поверхностным тензором энергии импульса этого слоя.

Где-то Someone даже приводил простой пример с преобразованием координат в области пространства Минковского с последующей сшивкой с оставшейся частью, так что бы наивная попытка просто взять и сшить производные от метрики была очевидно несостоятельной.

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение22.06.2015, 18:58 
Заслуженный участник


25/12/11
749
Ну да, пожалуй это координатно-зависимое условие, пробоема как раз в том как соодносятся координаты с одной стороны и с другой. Все прямолинейно в нормальных oкоординатах, где одна из координат идет по нормали, а другие по прверхности и $ds^2=g_{ij}dx^idx^j-dy^2$.

-- 22.06.2015, 20:00 --

Инвариантно все записывается как раз через условия Израеля про скачок внешней кривизны поверхности. Нет материи - он равен нулю. Это кау раз и будет соответствовать непрерывности тензора кривизны

-- 22.06.2015, 20:01 --

Точнее не непрерывности, а отсутствию в нем дельт

-- 22.06.2015, 20:04 --

Да, кстати Someone о нем и пишет

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение22.06.2015, 20:23 
Аватара пользователя


10/12/11
2198
Москва
Nirowulf в сообщении #1029487 писал(а):
ариация связности
$$\delta \Gamma^\sigma_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma \lambda}(\partial_\mu \delta g_{\lambda \nu}+\partial_\nu \delta g_{\lambda \nu}-\partial_\lambda \delta g_{\mu \nu})+\Gamma_{\lambda, \mu \nu}\delta g^{\sigma \lambda}.$$
Если вы отбросили второй член, то, значит, вы работаете в локально-геодезической системе координат. В этих координатах моё выражение для поверхностного члена, естественно, совпадает с вашим, но чтобы получить ковариантное выражение, нужно взять полную формулу для $\delta \Gamma^\sigma_{\mu \nu}.$

Я отбросил члены вида , как у Вас последний, потому что он входит уже под интеграл по гиперповерхности (дивергентный) , а метрика там фиксирована. Могу , конечно расписать, может это то же самое. Вот эта часть совпадает: $g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km}$

 Профиль  
                  
 
 Re: получение уравнений Эйнштейна
Сообщение24.06.2015, 02:12 


30/05/13
247
СПб
schekn в сообщении #1029767 писал(а):
Я отбросил члены вида , как у Вас последний, потому что он входит уже под интеграл по гиперповерхности (дивергентный) , а метрика там фиксирована. Могу , конечно расписать, может это то же самое.

Точно, опять туплю. На поверхности $\delta g_{\mu \nu}=0,$ поэтому
$$\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu}=\partial_\sigma \delta g_{\mu \nu},$$
и наши ответы совпадают. Так что всё правильно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group