2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Posted automatically
Сообщение11.06.2015, 15:34 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5727
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

IRIKA
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение12.06.2015, 19:54 


21/03/10
43
1) Расчет поля скоростей и коэффициента диффузии в здании является отдельной задачей. Смотрел отечественную и зарубежную литературу по данному вопросу. По специальности 05.23.03 есть работы в которых проводится расчет скоростей газа в помещении (например, "Совершенствование микроклимата в помещениях малых объемов с оптимизацией условий энергосбережения") и затрагивается вопрос о коэффициенте диффузии ("Метод определения коэффициента диффузии радона в материалах ограждающих конструкций зданий"). Возможно в них есть полезная информация. За рубежом для решения данной задачи в основном используются программные пакеты вычислительной гидродинамики (например, вот по виду неплохая статья или список литературы к статье на википедии)

1.1) Вообще говоря, самый простой способ решения всей задачи — это использовать существующие программные пакеты, т.к. они позволяют рассчитывать и характеристики среды и распределение концентрации с учетом сложной геометрии. Ограничениями здесь являются доступные вычислительные ресурсы. Конкретный путь решения: геометрия задается в SolidWorks (можно начать с одной комнаты или попытаться приближенно задать геометрию здания), экспортируется в Comsol где производится расчет осредненного поля скорости и коэффициента турбулентной диффузии, выполняется расчет концентрации (для расчета течения используется модуль Fluid Flow->Single-Phase Flow->Turbulent Flow, для расчета концентрации — Chemical Species Transport->Transport of Diluted Species)

1.2) Можно ограничиться расчетом в программном пакете только параметров среды. Ещё проще, для отладки программы можно задать постоянную скорость и коэффициент турб. диффузии (например, примерно $V_x=0,2 $ м/с, $V_y=V_z=0$, $D=5 \, \text{см}^2/\text{с}$)

2) Решения уравнения неразырвности для концентрации радона конечно-объемным методом (МКО) в 2D (для 3D аналогично). Постановка задачи: требуется рассчитать распределение концентрации радона $A(x,y)$ в прямоугольной области. Ось $x$ направлена по течению воздуха. Скорость течения вдоль оси $y$ равна нулю. Пренебрегаем диффузионным перенос вдоль направления течения. Параметры потока принимаем постоянными во всей области. Считаем, что осаждение частиц на стенки происходит только в результате диффузии. Таким образом уравнение переноса запишется в виде:
$$
	- \frac{\partial A}{\partial t} =  D \frac{\partial^2 A(x,y)}{\partial y^2} - V_x \frac{\partial A}{\partial x} - \lambda ( A_{\infty} - A(x,y,z))
$$
Граничные условия имеют следующий вид. Концентрация на входе равна некоторому постоянному значению:
$$
A(0,y) = A_0, \; \text{(можно принять $A_0=1$)}
$$
концентрация радона на стенках равна нулю:
$$
A(x,0) = A(x,H_y) = 0
$$

Разобъем расчетную область на прямоугольники (конечные объемы) размера $\Delta x$ вдоль оси $x$, $\Delta y$ вдоль оси $y$. Увеличение числа частиц в одном объеме равно числу частиц приходящих в объем плюс сколько частиц там возникает (или минус число распавшихся частиц) и минус сколько частиц уходит из данного объема:
$$
  \frac{A_{P}^{n+1} - A_{P}^n}{\Delta t} \Delta x \Delta y = F_W + F_S - F_E - F_N + \lambda (A_{P \, \infty} - A_P) \Delta x \Delta y,
$$
где $n=0,1, \ldots$ — индекс по времени, $\Delta t$ — временной шаг, $A_P$ — концентрация в центре масс конечного объема, $F_W,F_S,F_E,F_N$ — соответственно потоки частиц через левую, нижнюю, правую и верхнюю грани объема (w==west и т.д.), которые равны:
$$
F_W = A_W V_x \Delta y, \; F_E = A_P V_x \Delta y, \; F_S = - D \frac{A_{P} - A_{S}}{\Delta y} \Delta x, \; F_N = - D \frac{A_{N} - A_{P}}{\Delta y} \Delta x
$$

Подставим выражения для потоков в формулу для изменения концентрации во времени и приравняем $A_{P}^{n+1} = A_{P}^n$, т.к. ищем стационарное распределение концентрации. В результате получим систему уравнений вида:
$$
	a_{E \, i,j} A_{i+1,j} + a_{W \, i,j} A_{i-1,j} + a_{P \, i,j} A_{i,j} + a_{N \, i,j} A_{i,j+1} + a_{S \, i,j} A_{i,j-1} = f_{i,j},
$$
где $a$, $f$ — некоторые постоянные, $i=1 \ldots N_x$, $j=1 \ldots N_y$ — индексы по осям $x$ и $y$ соответственно, $N_x$, $N_y$ — число объемов по осям $x$ и $y$. Можно использовать фиктивные ячейки, с индексами $(0,j)$, $(N_x+1,j)$, $(i,0)$, $(i,N_y+1)$ для задания граничных условий, чтобы не учитывать ГУ в коэффициентах $a$ и $f$.

СЛАУ выше решается итерационным методом Гаусса-Зейделя:
$$
	 A^{m}_{i,j} = -\frac{1}{a_{P \, i,j}} \left( a_{E \, i,j} A^{m-1}_{i+1,j} + a^{m}_{W \, i,j} A_{i-1,j} + a_{N \, i,j} A^{m-1}_{i,j+1} + a_{S \, i,j} A^{m}_{i,j-1} - f^{m-1}_{i,j} \right),
$$
где $m$ — номер итерации.


Смотрите книгу Патанкара и попробуйте сначала решить двухмерную задачу, приведенную здесь. Теперь работа за вами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group