Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

IRIKA
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[vasya321]

1) Расчет поля скоростей и коэффициента диффузии в здании является отдельной задачей. Смотрел отечественную и зарубежную литературу по данному вопросу. По специальности 05.23.03 есть работы в которых проводится расчет скоростей газа в помещении (например, "Совершенствование микроклимата в помещениях малых объемов с оптимизацией условий энергосбережения") и затрагивается вопрос о коэффициенте диффузии ("Метод определения коэффициента диффузии радона в материалах ограждающих конструкций зданий"). Возможно в них есть полезная информация. За рубежом для решения данной задачи в основном используются программные пакеты вычислительной гидродинамики (например, вот по виду неплохая статья или список литературы к статье на википедии)

1.1) Вообще говоря, самый простой способ решения всей задачи — это использовать существующие программные пакеты, т.к. они позволяют рассчитывать и характеристики среды и распределение концентрации с учетом сложной геометрии. Ограничениями здесь являются доступные вычислительные ресурсы. Конкретный путь решения: геометрия задается в SolidWorks (можно начать с одной комнаты или попытаться приближенно задать геометрию здания), экспортируется в Comsol где производится расчет осредненного поля скорости и коэффициента турбулентной диффузии, выполняется расчет концентрации (для расчета течения используется модуль Fluid Flow->Single-Phase Flow->Turbulent Flow, для расчета концентрации — Chemical Species Transport->Transport of Diluted Species)

1.2) Можно ограничиться расчетом в программном пакете только параметров среды. Ещё проще, для отладки программы можно задать постоянную скорость и коэффициент турб. диффузии (например, примерно $V_x=0,2 $ м/с, $V_y=V_z=0$, $D=5 \, \text{см}^2/\text{с}$)

2) Решения уравнения неразырвности для концентрации радона конечно-объемным методом (МКО) в 2D (для 3D аналогично). Постановка задачи: требуется рассчитать распределение концентрации радона $A(x,y)$ в прямоугольной области. Ось $x$ направлена по течению воздуха. Скорость течения вдоль оси $y$ равна нулю. Пренебрегаем диффузионным перенос вдоль направления течения. Параметры потока принимаем постоянными во всей области. Считаем, что осаждение частиц на стенки происходит только в результате диффузии. Таким образом уравнение переноса запишется в виде:

$$ - \frac{\partial A}{\partial t} = D \frac{\partial^2 A(x,y)}{\partial y^2} - V_x \frac{\partial A}{\partial x} - \lambda ( A_{\infty} - A(x,y,z)) $$

Граничные условия имеют следующий вид. Концентрация на входе равна некоторому постоянному значению:

$$ A(0,y) = A_0, \; \text{(можно принять $A_0=1$)} $$

концентрация радона на стенках равна нулю:

$$ A(x,0) = A(x,H_y) = 0 $$

Разобъем расчетную область на прямоугольники (конечные объемы) размера $\Delta x$ вдоль оси $x$, $\Delta y$ вдоль оси $y$. Увеличение числа частиц в одном объеме равно числу частиц приходящих в объем плюс сколько частиц там возникает (или минус число распавшихся частиц) и минус сколько частиц уходит из данного объема:

$$ \frac{A_{P}^{n+1} - A_{P}^n}{\Delta t} \Delta x \Delta y = F_W + F_S - F_E - F_N + \lambda (A_{P \, \infty} - A_P) \Delta x \Delta y, $$

где $n=0,1, \ldots$ — индекс по времени, $\Delta t$ — временной шаг, $A_P$ — концентрация в центре масс конечного объема, $F_W,F_S,F_E,F_N$ — соответственно потоки частиц через левую, нижнюю, правую и верхнюю грани объема (w==west и т.д.), которые равны:

$$ F_W = A_W V_x \Delta y, \; F_E = A_P V_x \Delta y, \; F_S = - D \frac{A_{P} - A_{S}}{\Delta y} \Delta x, \; F_N = - D \frac{A_{N} - A_{P}}{\Delta y} \Delta x $$

Подставим выражения для потоков в формулу для изменения концентрации во времени и приравняем $A_{P}^{n+1} = A_{P}^n$, т.к. ищем стационарное распределение концентрации. В результате получим систему уравнений вида:

$$ a_{E \, i,j} A_{i+1,j} + a_{W \, i,j} A_{i-1,j} + a_{P \, i,j} A_{i,j} + a_{N \, i,j} A_{i,j+1} + a_{S \, i,j} A_{i,j-1} = f_{i,j}, $$

где $a$, $f$ — некоторые постоянные, $i=1 \ldots N_x$, $j=1 \ldots N_y$ — индексы по осям $x$ и $y$ соответственно, $N_x$, $N_y$ — число объемов по осям $x$ и $y$. Можно использовать фиктивные ячейки, с индексами $(0,j)$, $(N_x+1,j)$, $(i,0)$, $(i,N_y+1)$ для задания граничных условий, чтобы не учитывать ГУ в коэффициентах $a$ и $f$.

СЛАУ выше решается итерационным методом Гаусса-Зейделя:

$$ A^{m}_{i,j} = -\frac{1}{a_{P \, i,j}} \left( a_{E \, i,j} A^{m-1}_{i+1,j} + a^{m}_{W \, i,j} A_{i-1,j} + a_{N \, i,j} A^{m-1}_{i,j+1} + a_{S \, i,j} A^{m}_{i,j-1} - f^{m-1}_{i,j} \right), $$

где $m$ — номер итерации.


Смотрите книгу Патанкара и попробуйте сначала решить двухмерную задачу, приведенную здесь. Теперь работа за вами.