2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение06.06.2015, 01:46 


02/06/14
20
СРОЧНО!!! Помогите пожалуйста кто сможет)))

Дано дифференциальное уравнение, которое описывает распределение радона в пористой среде. Это уравнение расписано по разностной схеме и приведено к трехдиагональному виду.
Помогите пожалуйста составить алгоритм решения этого уравнения методом прогонки для 3х многого случая=)
Вот всё что расписывала, дальше застряла((

Можно решать простым разностным методом или методом расщепления вместо прогонки!

Я пыталась кое-что сделать в программе.
Думаю можно взять вот эти коэффициенты :
$T_{12} = 3.8235\cdot 24 \cdot60\cdot60 $ пеириод полураспада 222Rn, сек.
$\Lambda  = \frac{0.693}{T_{12}}$ постоянная рaспада
$De = \frac{\Lambda }{k^2}$ коэф-т диффузии

Для численного исследования распределения радона построена мат. модель, которая включает следующее уравнение:
$${D}_{e}\Delta A(x,y,z)+V\nabla A(x,y,z)=\Lambda A(x,y,z)+\Lambda {A}_{\propto }      $$ (формула1)
с граничными условиями
$$A(0)=0$$
$$A(\propto )={A}_{\propto }$$

де $A(x,y,z)$– объемная активность радона, ${D}_{e}$– эффективный коэффициент диффузии радона, $V$ – скорость переноса радона, $\Lambda$ – постоянная распада радона.

Данное уравнение решалось в декарторой системе координат методом прогонки. Рассмотриваем уравнение в виде:
$${D}_{e}(\frac{{d}^{2}A}{d{x}^{2}}+\frac{{d}^{2}A}{d{y}^{2}}+\frac{{d}^{2}A}{d{z}^{2}})+V(\frac{dA}{dx}+\frac{dA}{dy}+\frac{dA}{dz})+\Lambda {A}_{\propto }- \Lambda (A(x)+A(y)+A(z))=0$$

фиксируем координаты $Y$, $Z$:
$${D}_{e}\frac{{d}^{2}A}{d{x}^{2}}+V\frac{dA}{dx}++\Lambda {A}_{\propto }- \Lambda A(x)=0$$
фиксируем координаты $x$,$ z$:
$${D}_{e}\frac{{d}^{2}A}{d{y}^{2}}+V\frac{dA}{dy}+\Lambda {A}_{\propto }- \Lambda A(y)=0$$
фиксируем координаты $x$, $y$:
$${D}_{e}\frac{{d}^{2}A}{d{z}^{2}}+V\frac{dA}{dz}++\Lambda {A}_{\propto }- \Lambda A(z)=0$$

таким образом, получим уравнение вдоль одной оси
$${D}_{e}\frac{{A}_{i+1,j,k}-2{A}_{i,j,k}+{A}_{i-1,j,k}}{\Delta {x}^{2}}+V\frac{{A}_{i+1,j,k}+{A}_{i-1,j,k}}{2\Delta x}-\Lambda {A}_{i,j,k}=-\Lambda {A}_{\propto }$$

$${D}_{e}\frac{{A}_{i,j+1,k}-2{A}_{i,j,k}+{A}_{i,j-1,k}}{\Delta {y}^{2}}+V\frac{{A}_{i,j+1,k}+{A}_{i,j-1,k}}{2\Delta y}-\Lambda {A}_{i,j,k}=-\Lambda {A}_{\propto }$$

$${D}_{e}\frac{{A}_{i,j,k+1}-2{A}_{i,j,k}+{A}_{i,j,k-1}}{\Delta {z}^{2}}+V\frac{{A}_{i,j,k+1}+{A}_{i,j,k-1}}{2\Delta z}-\Lambda {A}_{i,j,k}=-\Lambda {A}_{\propto }$$

Обозначим через:
$${A}_{i+1,j,k}={y}_{i+1}, {A}_{i,j,k}={y}_{i}, {A}_{i-1,j,k}={y}_{i-1}$$
$${A}_{i}{y}_{i-1}-{C}_{i}{y}_{i}+{B}_{i}{y}_{i+1}=-{F}_{i}$$
$${A}_{i}=\frac{{D}_{e}}{\Delta {x}^{2}}-\frac{V}{2\Delta x},  {B}_{i}=\frac{{D}_{e}}{\Delta {x}^{2}}+\frac{V}{2\Delta x},  {C}_{i}=\frac{{2D}_{e}}{\Delta {x}^{2}}+\Lambda,  {F}_{i}=\Lambda {A}_{\propto }$$

$${A}_{j}=\frac{{D}_{e}}{\Delta {y}^{2}}-\frac{V}{2\Delta y},  {B}_{j}=\frac{{D}_{e}}{\Delta {y}^{2}}+\frac{V}{2\Delta y}, {C}_{j}=\frac{{2D}_{e}}{\Delta {y}^{2}}+\Lambda,  {F}_{j}=\Lambda {A}_{\propto }$$
аналогично для $k$.

СИСТЕМА:
$${\alpha }_{i+1}=\frac{{B}_{i}}{{C}_{i}-{\alpha }_{i}{A}_i}$$
$${\beta  }_{i+1}=\frac{{A}_{i}{\beta }_{i}+{F}_{i}}{{C}_{i}-{\alpha}_{i}{A}_i}$$
$${\alpha }_{1}=0,  {\beta  }_{1}=0$$
$${y}_{i}={\alpha }_{i+1}{y}_{i+1}+{\beta }_{i+1}, i=N-1,N-2,...0$$
$${y}_{N}={A}_{\propto }$$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.06.2015, 01:51 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24000
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение10.06.2015, 04:23 
Модератор


20/03/14
11513
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 10:47 
Заслуженный участник


23/07/08
9149
Харьков
Претензии к уравнению.

0. Каждая производная $A$ по координате должна быть частной: $\frac{\partial A}{\partial x}$, в коде пишется \frac{\partial A}{\partial x}.

1. $V\nabla A$ — такого слагаемого быть не может.
У Вас $A$ скалярная величина, концентрация радона (по-моему, более уместный термин, чем «активность»). Тогда $\nabla A$ — это будет градиент концентрации, вектор с компонентами $(\frac{\partial A}{\partial x}, \frac{\partial A}{\partial y}, \frac{\partial A}{\partial z})$. Это имеет смысл. Теперь,
$\bullet$ Если скорость — скаляр $V$, то $V\nabla A$ даёт вектор, что противоречит скалярности остальных слагаемых. Складывать вектор со скалярами бессмысленно.
$\bullet$ Если скорость — вектор $\vec V$ с компонентами $(V_x, V_y, V_z)$, тогда надо писать скалярное произведение: $\vec V\cdot\nabla A$ или $(\vec V, \nabla A)$. Но в таком случае Вы неправильно расписали это ниже, должно быть $V_x\frac{\partial A}{\partial x}+V_y\frac{\partial A}{\partial y}+V_z\frac{\partial A}{\partial z}$.

Выражение $\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial A}{\partial y}+\frac{\partial A}{\partial z}$ для скалярной концентрации $A$ никакого физического смысла не имеет.

2. Вы решаете стационарное уравнение, в котором $A$, несмотря на процессы переноса и распада, не зависит от времени в любой точке. Это физически правдоподобно? (Здесь Вы можете просто ответить: «Да, я рассматриваю именно стационарный случай установившейся концентрации»)

3. Хотя бы мысленно, раз нельзя уже подправить, замените «3х многого» на «трёхмерного».

IRIKA в сообщении #1023841 писал(а):
фиксируем координаты $Y$, $Z$:
4. Хорошо, фиксируем. Но от того, что Вы рассматриваете какие-то зависимости от $x$ при фиксированных $y$ и $z$, само уравнение не может измениться. Иначе было бы очень просто решать уравнения с частными производными в многомерных областях. А у Вас с помощью такой фиксации производные по $y$ и $z$ исчезли, и задача стала одномерной. Вы просто выбросили содержательные слагаемые, выражающие зависимость $A$ от $y$ и $z$, потому что они Вам мешали.

Иначе говоря, из полного уравнения никак не следует справедливость трех более простых уравнений с зависимостью $A$ только от $x$, только от $y$ и только от $z$.
IRIKA в сообщении #1023841 писал(а):
Помогите пожалуйста составить алгоритм решения этого уравнения методом прогонки
См. книгу Ильин, Кузнецов. Трехдиагональные матрицы и их приложения.

Итак, Вам нужно выполнить следующие этапы:
$\bullet$ Правильно записать дифференциальное уравнение.
$\bullet$ Правильно построить его разностную аппроксимацию.
$\bullet$ Правильно свести разностное уравнение к трёхдиагональной СЛАУ.
$\bullet$ Составить алгоритм решения трёхдиагональной системы методом прогонки и решить её.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 11:59 
Заслуженный участник


23/07/08
9149
Харьков
Сейчас только заметил.
IRIKA в сообщении #1023841 писал(а):
${D}_{e}(\frac{{d}^{2}A}{d{x}^{2}}+\frac{{d}^{2}A}{d{y}^{2}}+\frac{{d}^{2}A}{d{z}^{2}})+V(\frac{dA}{dx}+\frac{dA}{dy}+\frac{dA}{dz})+\Lambda {A}_{\propto }- \Lambda (A(x)+A(y)+A(z))=0$
Если выражение $\frac{dA}{dx}+\frac{dA}{dy}+\frac{dA}{dz}$ (после исправления полных производных на частные) было только физически бессмысленно, то $A(x)+A(y)+A(z)$ — ещё и математически. Короче говоря, пока не напишете корректное уравнение, о методе прогонки даже не думайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 14:27 


02/06/14
20
Всё, что я имела изначально: первое уравнение с граничными условиями.
Нужно вывести решение системы диф. уравнений и сравнить с поверхностями на картинках.
ИзображениеИзображение

ИзображениеИзображение

ИзображениеИзображение

ИзображениеИзображение

-- 10.06.2015, 13:29 --

Это то, что получилось в прошлом году в МАТЛАБЕ.
На тот момент я использовала точки, в которых измерялся радон и значения, которые мы в этих точках получили.

-- 10.06.2015, 13:56 --

Концентрацию радона меряли мы сами в кабинетах университета. На четвёртой картинке видно 3 этажа и точки в которых измеряли радон. Там где высокая концентрация, кабинет был долго закрыт и радон просто накопился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 15:46 
Заслуженный участник


23/07/08
9149
Харьков
А откуда Вы брали систему уравнений? (Есть ли ссылочка?)
Кстати, в начале же было одно уравнение, а не система?
Что такое скорость переноса? Я имею в виду, почему недостаточно коэффициента диффузии, есть ещё какой-то механизм переноса? Откуда она известна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 16:09 


02/06/14
20
http://cyberleninka.ru/article/n/diffuz ... kih-sredah

Вот ссылка статьи, опираясь на те формулы я и создавала эти формулы.

-- 10.06.2015, 15:36 --

мне нужно создать опять три поверхности и сравнить их с теми что на картинках, только тогда всё было проще, я знала и точки и значения в точках, а теперь это всё нужно сделать с использованием уравнения, вот я его и решала. Как я считаю огромная проблема еще в том, что многие коэффициенты мне не известны и я должна сама их подобрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 16:40 
Заслуженный участник


23/07/08
9149
Харьков
Понятно, в чём дело — там одномерная задача. И у Вас неверно сделан переход к трехмерному случаю.
В качестве первого приближения (хотя мне ещё надо будет подумать) трёхмерное обобщение должно выглядеть так:
$D\Delta A-\mathbf v\cdot\nabla A-\lambda A+\lambda A_{\infty}=0$
Тут много идеологических вопросов, например, откуда Вам брать поле скоростей $\mathbf v$ — это гораздо сложнее, чем подставить скалярную константу. Скорость конвекции может быть и константой, но — векторной. Я думаю, векторность $\mathbf v$ достаточно очевидна: в принципе, некий существующий в данной точке «сквозняк» может сдувать атомы радона не только с различной скоростью, но и в произвольном направлении.

Судя по графикам, Вам необходима именно трёхмерная модель в задаче?

(исправил знак)

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 16:43 


02/06/14
20
Да, именно трёхмерной.

-- 10.06.2015, 15:46 --

Там по началу кажется всё более менее понятно, но когда начинаешь расписывать всё в трёхмерке с каждым шагом всё больше и больше вопросов возникает.

-- 10.06.2015, 15:49 --

Всю информацию про радон я узнавала с методичек и т.д.
Конкретного человека, который бы рассказал про скорости и всё остальное нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 16:52 
Заслуженный участник


23/07/08
9149
Харьков
А откуда бы Вы брали скалярное значение скорости переноса?
Для меня это, буквально, средняя скорость сквозняка в помещении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 16:56 


02/06/14
20
Как и многие коэффициенты, я бы их с потолка.
К сожалению этих значений нет, в этом для меня огромная проблема, большенство значений нужно подобрать самим.

-- 10.06.2015, 16:12 --

брала бы их с потолка

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение10.06.2015, 23:32 


02/06/14
20
Можно решать простым разностным методом или методом расщепления вместо прогонки!

-- 10.06.2015, 22:53 --

Я пыталась кое-что сделать в программе.
Думаю можно взять вот эти коэффициенты :
$T_{12} = 3.8235\cdot 24 \cdot60\cdot60 $ пеириод полураспада 222Rn, сек.
$\Lambda  = \frac{0.693}{T_{12}}$ постоянная рaспада
$De = \frac{\Lambda }{k^2}$ коэф-т диффузии

-- 10.06.2015, 23:00 --



Что делать со скоростью $V$ я не знаю((

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение11.06.2015, 02:10 


21/03/10
43
Для решения уравнения
$$
\nabla \left( D(z) \nabla A(x,y,z)\right) - \mathbf{V} \, \nabla A(x,y,z) - \lambda ( A(x,y,z) - A_{\infty} ) = 0
$$
советую использовать конечно-объемный метод. Данный метод подробно рассмотрен в книге "Патанкар - Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости". На стр. 84 приводятся формулы для коэффициент системы лин. алг. уравнений для 3-х мерного случая (лучше, конечно, самому их вывести, чтобы разобраться). Получившуюся СЛАУ можно решить методом Гаусса-Зейделя.

Вообще не ясно:
1) Вам надо рассчитать распределение концентрации радона в доме или в грунте
2) Какие граничные условия на плоскостях $(x,0,z)$, $(x,H_y,z)$, $(0,y,z)$, $(H_x,y,z)$, здесь $H_x$, $H_y$ — координаты границы расчетной области по $x$ и $y$ соответственно

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм решения уравнения методом прогонки для 3х многого
Сообщение11.06.2015, 02:20 


02/06/14
20
Концентрация радона в помещении. В кабинетах университета.

-- 11.06.2015, 01:30 --


Вот точки и значения в них:
1т.: 25, 9, 0.5, 206;
2т.: 8, 3, 0.5, 64;
3т.: 9, 50, 0.5, 62;
4т.: 12, 80, 0.5, 80;
5т.: 8, 8, 3.75, 75;
6т.: 12, 20, 3.75, 209;
7т.: 5, 42, 3.75, 26;
8т.: 3, 65, 3.75, 68
9т.: 14, 14, 7, 106
10т.: 12, 38, 7, 32
11т.: 3, 46, 7, 18
12т.: 12, 86, 7, 37

Вот матрица
$$\begin{bmatrix}
25&  9& 0.5& 206\\
 8&  3&  0.5&  64\\
9&  50&  0.5&  62\\
12&  80&  0.5&  80\\
8&  8&  3.75&  75\\
12&  20&  3.75&  209\\
5&  42&  3.75&  26\\
3&  65&  3.75&  68\\
14&  14&  7&  106\\
 12&  38&  7&  32\\
3&  46&  7&  18\\
12&  86&  7&  37\\
\end{bmatrix}$$
Я брала схему расположения кабинетов, мысленно брала оси $x,  y$, $z$ - это высота.
Первое значение это $x$
второе - $y$
третье - $z$
четвёртое - это концентрация радона в кабинете.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group