Вывод формулы магнитной индукции

[Munin]

Atom001 в сообщении #1025670 писал(а):

Модуль может быть любым действительным числом, кроме, пожалуй, нуля.

Когда я спрашиваю про "чему может быть равен вектор", я не спрашиваю про модуль. Это два вопроса в одном: про модуль и про направление. (Потом я повторил про направление, для выразительности.) Или даже три: про $x,y$ и $z$-компоненты.

Atom001 в сообщении #1025670 писал(а):

Направление так же любое, кроме тех направлений, что параллельны самому проводу.

А почему? Нет, может.

Atom001 в сообщении #1025670 писал(а):

Обращается в ноль, когда $I=0$ (тока нет) или когда $\vec{r}$ направлен по проводу. Больше никогда в $0$ не обращается.

А когда $\Delta\mathbf{l}=0$? :-)
Тут надо сначала формально дать ответ, а потом осмысливать его. Кстати, почему она не обращается в ноль в точке $\mathbf{r}=0$?

Atom001 в сообщении #1025670 писал(а):

А можете написать ещё вопросы, которые нужно себе задавать?

Для начала, когда видите любую формулу, надо разобраться, какие величины в неё подставлять, и что вычислять. Структуру вычислений: где какие величины скалярные и векторые, потом - какие "скобочки" (подвыражения) из них получаются скалярные и векторные, и так далее до всей формулы целиком. В физической формуле - точно так же понять размерность и единицы измерения. Понять область определения: какие величины подставлять можно, а какие нельзя. Прикинуть область значений.

Для физических формул - хорошо бы задуматься о том, в каких случаях эту формулу можно применять, а в каких нельзя. Это существеннейшая часть формулы, но обычно произносится где-то по отдельности, в начале параграфа. Некоторые выводы можно сделать из самой формулы, но не все. Часть выводов приходится делать из других формул и законов, из общих физических соображений.

Если вы знакомы с анализом функций, то стоит проделать его целиком: понять, где функция возрастает, убывает, где у неё нули, где уходит в бесконечность. Как ведёт себя асимптотически. Для функций от нескольких переменных, для векторных функций - это сложнее, но в целом тоже сводится к "рисованию картинки в голове".

Морально приготовиться к тому, чтобы решать уравнение, если понадобится (то есть, вспомнить способ решения).

Ну, как-то так.

Atom001 в сообщении #1025670 писал(а):

Этого пока не изучал.

Изучали, только не знаете, что это такое.

Поле - слово многозначное, но в том смысле, о котором здесь идёт речь:
Поле - это функция, заданная в пространстве нескольких переменных. В физике - обычно в трёхмерном пространстве $x,y,z.$ В простом варианте матанализа - в трёхмерном или в двумерном пространстве $x,y.$ Эти переменные - действительные. Сама функция может принимать разные значения, например:

скалярное поле - функция, принимающая значение - действительное число; пример - расстояние до заданной точки $r,$ высота над заданным уровнем $z,$ потенциал $\varphi$;
векторное поле - функция, принимающая значение - вектор - это пара $(f_x,f_y)$ или тройка $(f_x,f_y,f_z)$ действительных чисел, смотря по тому, в каком пространстве задана функция; пример - радиус-вектор от заданной точки $\mathbf{r},$ постоянный вектор в пространстве $\mathbf{g}=-g\mathbf{k},$ напряжённость электрического поля $\mathbf{E}$;
комплексное поле - функция, принимающая значение - комплексное число; пример - волновая функция квантовой частицы $\psi$;

бывают и другие поля.

Итак, когда вы говорите, например, про магнитное поле $\mathbf{B}$ (точнее, этот вектор называется вектором магнитной индукции), то на самом деле, речь идёт о том, что в каждой точке пространства задана стрелочка. Это можно записать в виде $\mathbf{B}(x,y,z)=\mathbf{B}(\mathbf{r}).$ Но нарисовать такую вещь на картинке непросто. Поэтому рисунок упрощают: соединяют стрелочки в линии, и рисуют их не во всех точках пространства, а только в некоторых, так что получаются "линии поля" (в старых учебниках их ещё называли "силовыми линиями"). Но надо понимать, что это только условность рисунка, а на самом деле, математически, речь идёт о функции, как я сказал выше.

А раз это функция (или даже три функции - можно рассматривать $B_x,B_y,B_z$ как три отдельные функции, каждая из которых задана во всех точках пространства), то с ними дальше можно обращаться как обычно: брать производные, интегралы и т. п. Когда вы вычисляете поле по формуле Био-Савара, вы вычисляете функцию в одной заданной точке. Но формула для всех точек одна и та же, и поэтому она "создаёт" функцию сразу везде. Надо только подставлять разные $x,y,z$ (вопрос: где они "спрятаны" в этой формуле?).

Atom001 в сообщении #1025670 писал(а):

Это да, изучаю. Но пока ещё не брался за криволинейные интегралы. Операторы я пока тоже не изучал, поэтому мне не понятны ротор и дивергенция.

Тут на самом деле, слово "операторы" - просто громкое слово. Его можно не пугаться. Это совсем не то же, что операторы вообще. Просто принято так говорить "оператор ротора", "оператор дивергенции", "оператор Лапласа". А по сути - это просто такие заковыристые производные. Ну и, у них есть довольно удобный геометрический смысл, который стоит понимать, особенно в физике.

[Munin]

Atom001 в сообщении #1025670 писал(а):

Munin в сообщении #1025653 писал(а):

Я могу эти формулы расписать в координатном виде.

Был бы очень благодарен.

Ну, проще всего с формулой Био-Савара: $d\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\,[d\mathbf{l}\,\mathbf{r}]}{r^3}$ означает три равенства (потому что в векторной величине три компоненты)

$$\begin{align}dB_x&=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I}{{\bigl(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,\bigr)\!}^3}(dl_y z-dl_z y)\\dB_y&=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I}{{\bigl(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,\bigr)\!}^3}(dl_z x-dl_x z)\\dB_z&=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I}{{\bigl(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,\bigr)\!}^3}(dl_x y-dl_y x).\\\end{align}$$

Поскольку здесь можно вынести общий множитель за скобки, я такое равенство буду ниже записывать одним из двух принятых способов (скобки с запятыми означают перечисление компонент вектора, а $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ - три единичных вектора системы координат (три орта)):

$$\begin{align}(dB_x,dB_y,dB_z)&=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I}{{\bigl(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,\bigr)\!}^3}(dl_y z-dl_z y,dl_z x-dl_x z,dl_x y-dl_y x)=\\=dB_x\mathbf{i}+dB_y\mathbf{j}+dB_z\mathbf{k}&=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I}{{\bigl(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,\bigr)\!}^3}\bigl((dl_y z-dl_z y)\mathbf{i}+(dl_z x-dl_x z)\mathbf{j}+(dl_x y-dl_y x)\mathbf{k}\bigr).\\\end{align}$$

Здесь $(dl_x,dl_y,dl_z)$ - координатные компоненты короткого отрезка провода, указывающие его длину и пространственное направление, а расположенным он считается в начале координат. Несколько сложнее выглядит формула $\operatorname{rot}\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}$:

$$\left(\dfrac{\partial B_z}{\partial y}-\dfrac{\partial B_y}{\partial z},\dfrac{\partial B_x}{\partial z}-\dfrac{\partial B_z}{\partial x},\dfrac{\partial B_y}{\partial x}-\dfrac{\partial B_x}{\partial y}\right)=\mu_0(j_x,j_y,j_z),$$

где символ $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ означает частную производную - такую производную, которая вычисляется от функции, заданной в пространстве, если менять только одну координату $x.$ Как видите, это уже соотношение с производными - дифференциальное уравнение, входящие в него величины $\mathbf{B}$ и $\mathbf{j}$ - функции, зависящие от точки пространства: $\mathbf{B}(x,y,z),\mathbf{j}(x,y,z),$ и решением такого уравнения будут тоже сразу функции, а не какие-то отдельно взятые числа.

И наконец, чтобы записать соотношения с интегралами, договоримся ещё о нескольких моментах. И линию, и поверхность надо как-то задать в координатном виде. Самое простое (для вас сейчас) - это сказать, что линия - это пара функций $y(x),z(x),$ так что если мы возьмём конкретную координату $x_0,$ то линия пересечёт соответствующую плоскость в точке с координатами $(y(x_0),z(x_0)),$ отложенными на этой плоскости, а полные трёхмерные координаты будут $(x_0,y(x_0),z(x_0)).$ Тут не всё хорошо: мы ограничиваемся только такими линиями, которые не перпендикулярны оси $x,$ и к тому же имеют на неё взаимно-однозначную проекцию. Но это технические моменты: вы согласитесь, что почти все линии можно поделить на куски, которые удовлетворяют таким условиям. А чтобы давать универсальный, всегда безотказный способ, здесь потребуется многовато места. Аналогично поступим с поверхностью: пусть поверхность изображается функцией $z(x,y).$ Тогда обсуждаемые интегралы можно расписать:

$$\int\mathbf{B}\,d\mathbf{l}=\int(B_x dl_x+B_y dl_y+B_z dl_z)=\int(B_x dx+B_y\dfrac{dy}{dx}dx+B_z\dfrac{dz}{dx}dx)=\int(B_x+B_y y'+B_z z')dx$$

$$\begin{gathered}\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int\dfrac{I\,[d\mathbf{l}\,\mathbf{r}]}{r^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\int\dfrac{\bigl((Z-z)dl_y-(Y-y)dl_z,(X-x)dl_z-(Z-z)dl_x,(Y-y)dl_x-(X-x)dl_y\bigr)}{{\bigl(\sqrt{(X-x)^2+(Y-y)^2+(Z-z)^2}\,\bigr)\!}^3}=\\=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\int\dfrac{\Bigl((Z-z)\dfrac{dy}{dx}dx-(Y-y)\dfrac{dz}{dx}dx,(X-x)\dfrac{dz}{dx}dx-(Z-z)dx,(Y-y)dx-(X-x)\dfrac{dy}{dx}dx\Bigr)}{{\bigl(\sqrt{(X-x)^2+(Y-y)^2+(Z-z)^2}\,\bigr)\!}^3}=\\=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\int\dfrac{\bigl((Z-z)y'-(Y-y)z',(X-x)z'-(Z-z),(Y-y)-(X-x)y'\bigr)\,dx}{{\bigl(\sqrt{(X-x)^2+(Y-y)^2+(Z-z)^2}\,\bigr)\!}^3}\end{gathered}$$

(в последнем интеграле я, чтобы не путать, переобозначил координаты точки измерения поля через $X,Y,Z,$ так что точка интегрирования всё равно бегает по $x,y(x),z(x)$). И наконец, поверхностный интеграл:

$$\mu_0\int\limits_{S}\mathbf{j}\,d\mathbf{S}=\mu_0\iint\limits_{D}(-j_x\dfrac{\partial z}{\partial x}-j_y\dfrac{\partial z}{\partial y}+j_z)\,dx\,dy,$$

где область $D$ на плоскости $xy$ - это проекция поверхности $S$ на эту плоскость, и именно по ней берётся двойной интеграл. (Ф-ф-фух, давно я этого не делал, надеюсь, что не наврал.)

[rustot]

Вот как раз из теоремы о циркуляции скорее всего и произросла идея о том что на магнитное поле влияет только тот участок проводника с током, который пересекает воображаемую поверхность, а остальные не влияют

Это неверная идея, знак равенства в данном случае означает просто равенство, а не обозначение причинно следственной связи, не место пересечения током воображаемой поверхности является "причиной". Такая вот просто "математическая неожиданность", что сумма вкладов всех участков тока в циркуляцию магнитного поля по контуру математически оказалась равна некоторой зависимости от тока, проходящего через единственное сечение. Как ни извивай провод, магнитное поле в отдельных точках контура от этого изменится, а суммарная циркуляция - нет. Даже оборви где-нибудь ток и дай вместо этого заряду там бесконечно копиться - постоянно изменяющееся электрическое поле от этого скопления опять внесет такой вклад в магнитное поле, что его циркуляция в контуре опять останется прежней

[Munin]

rustot в сообщении #1025927 писал(а):

Как ни извивай провод, магнитное поле в отдельных точках контура от этого изменится, а суммарная циркуляция - нет.

Вот это очень важный пункт!

Надо понимать, что теорема о циркуляции ничего не говорит о поле в какой-то точке. Только о циркуляции поля.

[Atom001]

Munin в сообщении #1025746 писал(а):

Когда я спрашиваю про "чему может быть равен вектор", я не спрашиваю про модуль. Это два вопроса в одном: про модуль и про направление. (Потом я повторил про направление, для выразительности.) Или даже три: про $x,y$ и $z$-компоненты.

Я и ответил на два вопроса последовательно. Вектор же можно задать модулем и направлением.

Munin в сообщении #1025746 писал(а):

А почему? Нет, может.

Значит, внутри себя проводник тоже поле создаёт?

Munin в сообщении #1025746 писал(а):

А когда $\Delta\mathbf{l}=0$?
Тут надо сначала формально дать ответ, а потом осмысливать его.

А! Ну я, конечно же, такой вариант рассмотрел, потом обдумал и писать не стал.

Munin в сообщении #1025746 писал(а):

Кстати, почему она не обращается в ноль в точке $\mathbf{r}=0$?

Потому что тогда будет идти деление на ноль (r стоит ещё и в знаменателе).
Кстати, а вообще правильно так писать $\mathbf{r}=0$? Или же, (если уж придираться), $\mathbf{r}=\mathbf{0}$?

Munin в сообщении #1025746 писал(а):

Ну, как-то так.

Спасибо!

Munin в сообщении #1025746 писал(а):

Изучали, только не знаете, что это такое.

О! Как много интересного! Поле - функция! Никогда бы не подумал. Хотя всё выглядит очень логично. Здорово!

А вот Вы говорите: "комплексное поле". Это как так? Получается, что в какой-то точке пространства поле-функция возвращает комплексное значение? В моём понимании комплексное значение - это некое значение лежащее вне нашей Вселенной (коряво сказал, но думаю смысл будет ясен). И вообще, разве комплексные числа, это не творение математиков для облегчения своей жизни? И разве комплексные числа физически реальны?

Munin в сообщении #1025746 писал(а):

Тут на самом деле, слово "операторы" - просто громкое слово. Его можно не пугаться. Это совсем не то же, что операторы вообще. Просто принято так говорить "оператор ротора", "оператор дивергенции", "оператор Лапласа". А по сути - это просто такие заковыристые производные. Ну и, у них есть довольно удобный геометрический смысл, который стоит понимать, особенно в физике.

Ну тогда я с ними немедленно разберусь, раз уж они так важны в физике (я и в правду часто вижу эти операторы в различных выкладках).

Munin в сообщении #1025906 писал(а):

где символ $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ означает частную производную - такую производную, которая вычисляется от функции, заданной в пространстве, если менять только одну координату $x.$

То есть, чтобы найти частную производную, нужно выбрать переменную по которой будем дифференцировать, а все остальные переменные назначить параметрами?

Munin в сообщении #1025906 писал(а):

Как видите, это уже соотношение с производными - дифференциальное уравнение

Хорошая вещь. Я пока их тоже не брал, но в скором времени обязательно изучу.

Munin в сообщении #1025906 писал(а):

(Ф-ф-фух, давно я этого не делал, надеюсь, что не наврал.)

Как и обещал, премного благодарен за то, что расписали все формулы. Разбираться стало намного проще!

P.S. (Я, конечно, не могу не заглянуть куда-нибудь поглубже, поэтому вопрос :) Есть ещё такой объект в математике, как кольцо. Я плохо представляю, что это такое, потому что почти ничего не читал об этом. Насколько я понимаю (хотя могу и ошибаться), кольцо - это некое обобщение поля (как $\mathbb{C}$ для $\mathbb{R}$, и $\mathbb{R}$ для $\mathbb{Q}$, и т.д.). Интересно знать, в физике кольца применяются?

[Munin]

Atom001 в сообщении #1026020 писал(а):

Значит, внутри себя проводник тоже поле создаёт?

Кстати, да! Когда проводник достаточно толстый, это можно учитывать. Магнитное поле на поверхности проводника будет другим, чем в центре.

Или можно приглядеться к проводнику, изогнутому в виде какой-то кривой линии (только не ровной окружности). Он создаст магнитное поле прямо внутри себя: одни участки проводника будут создавать поле в других участках. Ну, для такого проводника вообще нарисованная картинка с линиями-окружностями будет неверной...

Atom001 в сообщении #1026020 писал(а):

Потому что тогда будет идти деление на ноль (r стоит ещё и в знаменателе).

Правильно, но не совсем. Ведь ноль будет и сверху и снизу. Это неопределённость типа $\tfrac{0}{0}.$ И ещё вопрос, какой ноль "перевесит".

В данном случае, в числителе $\mathbf{r}$ стоит в первой степени, а в знаменателе - $r$ в кубе. Поэтому одна степень $r$ сократится, и останется деление на ноль - величина магнитного поля будет уходить в бесконечность, по мере приближения к создающему его участку провода.

Математически - она бы так и уходила в бесконечность вокруг точки, а в самой точке - не существовала бы. Функция с выколотой точкой.

Физически - формула Био-Савара записана в приближении, что провод считается тонким, а его участок - коротким, по сравнению с расстоянием $r$ от провода до точки измерения поля. Если мы приблизимся настолько, что это упрощение будет не работать, то формулу придётся записать немного иначе. Заметьте, при этом сам закон физики, как токи создают магнитное поле, не меняется, но на практике мы "загружаем" в формулу другие входные величины. На первом этапе, мы должны будем учесть, что провод имееет конечную толщину, и разные его бока находятся на разном расстоянии от нашей точки измерения поля. Тогда мы заменяем полный ток через провод на плотность тока: $I\to j\,dS,$ и всё произведение $I\,\Delta\mathbf{l}\to\mathbf{j}\,dS\,dl=\mathbf{j}\,dV.$ Теперь у нас получилась формула, которую кстати можно использовать для токов, текущих не только по проводам, но и по произвольным объёмным проводникам, сложной формы и т. д. На втором этапе, мы можем спуститься на такой микроскопический уровень, что будем чувствовать отдельные электроны, и измерять разное магнитное поле от разных электронов, из-за того, что мы находимся на разном расстоянии от них. Это уже не практические измерения (таких измерительных приборов, в буквальном смысле, на свете нет), но теоретически хотелось бы понять этот случай. Тогда мы сделаем ещё одну замену в формуле: $\mathbf{j}\,dV\to q_e\mathbf{v}.$ Каждый электрон, находясь в своём месте, создаёт своё магнитное поле, а между электронами зарядов нет, и ток не течёт, и там нет ничего, что давало бы вклад в магнитное поле.

Здесь надо уточнить, что в этой формуле считается, что электрон движется равномерно-прямолинейно. Если это будет не так, то мы подошли к пределу применимости самого закона Био-Савара. Оказывается, что электроны, и вообще заряженные частицы, движущиеся неравномерно, создают электромагнитное поле вокруг себя не сразу во всём пространстве, а с задержкой. Сначала электрон куда-то вильнул в сторону, а поле вдалеке от него - об этом ещё не "знает". Но поле рядом с электроном - это "чувствует" сразу же. И постепенно от электрона расходится волна, в которой поле "перестраивается" от старого к новому варианту. Чем больше времени пройдёт, тем дальше эта волна разойдётся, и тем бо́льшая область поля будет уже "узнавшим" о новом движении электрона. Скорость этой волны - $c$ - скорость света, и сама эта волна - электромагнитная волна, или иначе, свет, излучение. Здесь придётся записать более сложную формулу вместо старого закона Био-Савара - формулу запаздывающего поля, учитывающую не то, где электрон находится сейчас, а то, где он был раньше - в тот момент, о котором поле в данной точке "знает" только сейчас. И ещё один предел применимости закона Био-Савара возникает из-за квантовых явлений: на микроскопических масштабах сам электрон уже выглядит не точкой, а размытым облачком, и создаваемое им магнитное поле перестаёт быть точным числом, а становится некоторыми квантовыми амплитудами вероятностей. Эти пределы применимости указывают, что сам закон Био-Савара - не самый глубинный закон физики, а только является частным случаем, упрощением, от более глубинных, фундаментальных законов, позволяющих учитывать все-все-все эффекты. Ну а если какими-то эффектами пренебречь, или они по условию обращаются в ноль, то можно пользоваться законом Био-Савара.

Atom001 в сообщении #1026020 писал(а):

Кстати, а вообще правильно так писать $\mathbf{r}=0$? Или же, (если уж придираться), $\mathbf{r}=\mathbf{0}$?

Вообще правильно: $\mathbf{r}$ - это вектор, и может быть равен только другому вектору, в частности нулевому вектору $\mathbf{0}.$ Но тут обычно все понимают, в каком смысле пишется нолик, и специально по-разному обозначают число ноль и нулевой вектор только педанты. Впрочем, это ещё полезно начинающим, так что я вас отговаривать не буду.

Atom001 в сообщении #1026020 писал(а):

О! Как много интересного! Поле - функция! Никогда бы не подумал. Хотя всё выглядит очень логично. Здорово!

Вот удивительно, как это можно пять лет преподавать математику, и пять лет преподавать физику, и ни разу этого школьникам не сказать! Я всё-таки дывлюсь на нашу школьную программу.

Ещё пара замечаний того же рода:
- потенциальная энергия - это функция;
- давление, плотность, температура в сплошной среде - это функции. Например, в жидкости. Закон Паскаля гласит, что давление во все стороны одинаково, подразумевая значения давления (по разным направлениям), взятые в одной точке.
- скорость жидкости, газа, или колеблющейся твёрдой среды - это тоже функция (кстати, это поле какого типа?);
- плотность энергии - это функция;
- если немного выйти за рамки только скалярных и векторных функций, то можно описать напряжения в твёрдой среде, потоки энергии в пространстве, потоки света через каждую точку пространства в любом направлении, и так далее - это всё будут функции.

Atom001 в сообщении #1026020 писал(а):

А вот Вы говорите: "комплексное поле". Это как так? Получается, что в какой-то точке пространства поле-функция возвращает комплексное значение? В моём понимании комплексное значение - это некое значение лежащее вне нашей Вселенной (коряво сказал, но думаю смысл будет ясен). И вообще, разве комплексные числа, это не творение математиков для облегчения своей жизни? И разве комплексные числа физически реальны?

Физики точно так же были с квадратными глазами, когда в 1926 году Эрвин Шрёдингер открыл своё знаменитое волновое уравнение, или уравнение Шрёдингера. Оно как раз описывает волновую функцию $\psi.$ Но оказалось, что комплексные числа - лежат в основе нашей Вселенной! Они физически реальны, они даже более реальны, чем действительные числа, потому что глубинные законы Вселенной - квантовые, а обычные неквантовые законы - это их огрубление и упрощение.

(Я бы не смог написать эту фразу по-английски, потому что по-английски real - это и "реальный", и "действительное (число)". А кстати, complex - это и "комплексное (число)", и "сложный, составной". Complex problem - "сложная задача".)
(Греческая буква $\Psi\psi$ называется "пси", а читается в словах как "пс". Например, $\psi\upsilon\chi\acute{\eta}$ = psyche [псюкхе, психе] - "душа".)

Atom001 в сообщении #1026020 писал(а):

То есть, чтобы найти частную производную, нужно выбрать переменную по которой будем дифференцировать, а все остальные переменные назначить параметрами?

Да.

Для начала, можете посмотреть
Зильберман. Электричество и магнетизм. (там дивергенцию называют "источниками", а ротор "вихрем", но хорошо объяснён геометрический смысл)
Тамм. Основы теории электричества. Приложение I.

Кроме того, на форуме:
post1012502.html#p1012502

И вкратце сводка:
- сумма векторов

$$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z).$$

- произведение вектора на число

$$k\mathbf{a}=(ka_x,ka_y,ka_zk),\qquad 0\,\mathbf{a}=\mathbf{O}=(0,0,0),\quad(-1)\mathbf{a}=-\mathbf{a}=(-a_x,-a_y,-a_z).$$

- скалярное произведение векторов (применяется два стиля обозначений)

$$(\mathbf{ab})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z.$$

- векторное произведение векторов (применяется два стиля обозначений)

$$[\mathbf{ab}]=\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=(a_y b_z-a_z b_y,a_z b_x-a_x b_z,a_x b_y-a_y b_x).$$

- тройное произведение векторов (обозначения бывают разные)

$$\langle\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\rangle=(\mathbf{a}[\mathbf{b}\mathbf{c}])=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}=a_x(b_y c_z-b_z c_y)+a_y(b_z c_x-b_x c_z)+a_z(b_x c_y-b_y c_x).$$

- символический оператор "набла", используется как будто вектор, для записи разных производных

$$\nabla=\Bigl(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\Bigr)$$

- градиент

$$\operatorname{grad}f=\nabla f=\Bigl(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}\Bigr)f=\Bigl(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\Bigr).$$

- дивергенция

$$\operatorname{div}\mathbf{a}=(\nabla\mathbf{a})=\dfrac{\partial}{\partial x}a_x+\dfrac{\partial}{\partial y}a_y+\dfrac{\partial}{\partial z}a_z.$$

- ротор

$$\operatorname{rot}\mathbf{a}=[\nabla\mathbf{a}]=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\a_x&a_y&a_z\end{vmatrix}=(\dfrac{\partial}{\partial y}a_z-\dfrac{\partial}{\partial z}a_y,\dfrac{\partial}{\partial z}a_x-\dfrac{\partial}{\partial x}a_z,\dfrac{\partial}{\partial x}a_y-\dfrac{\partial}{\partial y}a_x).$$

Atom001 в сообщении #1026020 писал(а):

Хорошая вещь. Я пока их тоже не брал, но в скором времени обязательно изучу.

О, дифференциальные уравнения - это целый мир! Их можно начать изучать, но нельзя изучить. Ими можно прозаниматься всю жизнь. (Основные сведения по дифференциальным уравнениям составляют два курса - обыкновенные дифференциальные уравнения, и дифференциальные уравнения в частных производных, второй иногда называется уравнения математической физики - и занимают два года.)

В общем, чтобы "на пальцах" начать понимать, что это такое, и в каком смысле происходит их решение, предлагаю начать с физической книжки:
Фейнмановские лекции по физике. Том (или выпуск) 1. Глава 9.

Atom001 в сообщении #1026020 писал(а):

P.S. (Я, конечно, не могу не заглянуть куда-нибудь поглубже, поэтому вопрос :) Есть ещё такой объект в математике, как кольцо. Я плохо представляю, что это такое, потому что почти ничего не читал об этом. Насколько я понимаю (хотя могу и ошибаться), кольцо - это некое обобщение поля (как $\mathbb{C}$ для $\mathbb{R}$, и $\mathbb{R}$ для $\mathbb{Q}$, и т.д.). Интересно знать, в физике кольца применяются?

Здесь, увы, та самая путаница, которую я предвидел. Слово "поле" используется в разных смыслах слова, и увы, даже весьма рядом, в близких для ученика разделах математики.

Всё, что я писал, относится к полям в физике и в математическом анализе. В математике, чтобы уменьшить путаницу, в таких случаях говорят не просто "поле", а скалярное поле, векторное поле и т. п. - и вообще, часто заменяют на слово "функция". Глава учебника матанализа называется теория поля.

Но есть и другое понятие поля - в алгебре. Это слово может использоваться без прилагательного. Раздел алгебры, который их изучает, называется теория полей - часть общей алгебры. Общая алгебра изучает разные обобщения системы чисел, которую вы изучили в школе. Но для начала, уточним один момент. Что такое обобщение?

Обобщение - это переход от более узкого понятия $A$ к более широкому $B.$ Понятие $A$ - более частный случай, чем $B.$ При этом, понятие $B$ задаётся менее конкретными признаками, чем понятие $A$ - часть признаков отбрасывается. Отбросить можно разные части признаков, и при этом будут получаться разные обобщения. Если рассматривать $A$ и $B$ как множества (одно понятие - это множество конкретных предметов, которые соответствуют этому понятию, например, "собака" - это множество собак), то $A\subset B.$

Обобщение понятия натурального числа - приводит к понятиям целого числа, рационального числа, действительного числа, комплексного числа. Тут вы правы. Действительное число - это может быть и рациональное число (в частном случае), и иррациональное.

Но в общей алгебре речь о другом: берут не обобщение понятия одного числа, а обобщение понятия всей системы чисел. Что такое система чисел? Это множество, скажем, действительных чисел, но не только множество: в нём есть ещё и операции (сложение, вычитание, умножение), и эти операции, считается, каждый раз приводят нас снова в это множество чисел. Иногда операции не определены (как деление на ноль), но мы не рассматриваем случая, когда операция выводит куда-то "наружу" из системы. С этой точки зрения, $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{Q}^+,\mathbb{R}^+,\mathbb{C}$ - это конкретные предметы, охватываемые понятием "система чисел". И обобщение ищет другие предметы, которые можно было бы рассмотреть сходным образом, которые были бы похоже устроены. Этакие "числоподобные системы". Такие системы действительно есть: например, можно рассмотреть множество остатков от деления на какое-то число (множество сравнений по модулю), можно рассмотреть двумерные или трёхмерные векторы, можно рассмотреть многочлены (их тоже можно умножать и в каком-то смысле делить), значения "истина" и "ложь", и т. п. Хоть стулья и парты - если мы для них введём какие-то операции "умножения" и "деления", которые дадут на выходе снова какой-то стул или какую-то парту.

Например, все числа можно складывать и умножать. А если отбросить этот признак, и взять систему, в которой можно складывать, но нельзя умножать? Получается группа. Более точно, группа - это множество $G,$ в котором:
- задана какая-то операция $\circ,$ такая что можно взять эту операцию от любых двух элементов группы, и получить третий, снова из группы: $a\circ b=c\in G$;
- эта операция обладает свойством ассоциативности (сочетательности) $(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c),$ так что цепочки операций можно записывать без скобочек: $a\circ b\circ c$;
- во множестве есть нейтральный элемент ("единица") $e,$ такой что операция с ним ничего не меняет: $a\circ e=e\circ a=a$;
- для каждого элемента $a$ есть обратный элемент $\bar{a},$ такой что они друг друга "взаимно компенсируют", приводя в итоге к нейтральному элементу: $a\circ\bar{a}=\bar{a}\circ a=e$; в длинной цепочке операций это позволяет "вычёркивать" оказавшиеся рядом обратные элементы.
Вы легко узнаете в этих свойствах операцию сложения чисел. Постойте, или операцию умножения? Эти свойства подходят и к сложению (только нейтральный элемент будет числом 0, и название "единица" к нему не очень-то подходит), и к умножению (только для числа 0 не бывает обратного элемента, а так всё хорошо). Так что, понятие группы - это обобщённое понятие. Ещё оно подходит и к векторам! Векторы тоже можно складывать, а нейтральным элементом будет нулевой вектор. И даже к преобразованиям. Допустим, мы взяли какой-то предмет, и сделали над ним что-то. Последовательность действий (как композиция функций) будет тоже действием. Не важно, в каком порядке расставлены скобочки. Нейтральным элементом будет "ничего не делать, оставить всё как есть". И действия не должны "портить" предмет, так что каждое действие можно "отменить" обратно.

Понятие группы - одно из первых в общей алгебре. И одно из наиболее широких, хотя при этом - довольно скучноватых. Мало что можно сделать только с одной операцией. Заметьте, эта операция даже не коммутативна (перестановочна), мы не наложили такого требования. Кроме групп, строятся и другие обобщения: кольца, поля, решётки, полурешётки, модули, векторные пространства, алгебры, и т. д.

В физике вся эта машинерия используется сравнительно мало. Физикам за глаза хватает очень небольшого набора из этого разнообразия. Физики используют действительные и комплексные числа. Как вы знаете, ещё физики используют векторы, и некоторое обобщение векторов - тензоры. И наконец, матрицы. Пожалуй, и всё. Хотя при углублении в теоретическую физику, иногда оказывается, что нужно что-то новенькое, более сложное, чем привычные инструменты, - бац! - а в математике это давно есть, названо, классифицировано, и построена теория, как с этим быть и что с ним можно делать. Хотя бывают и другие случаи, когда физики, не найдя в математике подходящего инструмента, берутся за рубанок, и делают его себе сами - и в результате, вносят вклад в математику.

[Atom001]

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

Когда проводник достаточно толстый, это можно учитывать. Магнитное поле на поверхности проводника будет другим, чем в центре.

Тогда получается вот что: Ток потёк, поле появилось, причём внутри самого провода. Это поле начинает действовать на электроны, и их движение изменяется. Поэтому изменяется поле создаваемое такими электронами. Оно опять действует на электроны. И так далее. Верно ли, что поле с электронами находится в некотором "динамическом равновесии"? Поле, получается, "колеблется"? Идут волны?

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

Физически - формула Био-Савара записана в приближении, что провод считается тонким, а его участок - коротким, по сравнению с расстоянием $r$ ...

Сколько, однако, интересного всего в одно формуле!

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

И ещё один предел применимости закона Био-Савара возникает из-за квантовых явлений: на микроскопических масштабах сам электрон уже выглядит не точкой, а размытым облачком, и создаваемое им магнитное поле перестаёт быть точным числом, а становится некоторыми квантовыми амплитудами вероятностей.

А далее кварки... На этом уровне поле тоже есть?

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

Вообще правильно: $\mathbf{r}$ - это вектор, и может быть равен только другому вектору, в частности нулевому вектору $\mathbf{0}.$ Но тут обычно все понимают, в каком смысле пишется нолик, и специально по-разному обозначают число ноль и нулевой вектор только педанты. Впрочем, это ещё полезно начинающим, так что я вас отговаривать не буду.

Я сам всю жизнь писал просто ноль, а сейчас подумал, что ведь надо бы писать нуль-вектор.

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

Вот удивительно, как это можно пять лет преподавать математику, и пять лет преподавать физику, и ни разу этого школьникам не сказать! Я всё-таки дывлюсь на нашу школьную программу.

Там вообще мало чего говорят. Про поле мы знаем только то, что "это особая форма материи, существующая независимо от нас и от наших знаний о нём". А также "если заряженная частица покоится, то она создаёт электрическое поле, движется равномерно - магнитное, движется с ускорением - электромагнитное". Собственно, ничего более грандиозного в школе и не говорили.

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

- скорость жидкости, газа, или колеблющейся твёрдой среды - это тоже функция (кстати, это поле какого типа?);

Векторное? Потому что скорость можно задать вектором.

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

Ещё пара замечаний того же рода:

Полезные замечания. Спасибо!

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

Но оказалось, что комплексные числа - лежат в основе нашей Вселенной! Они физически реальны, они даже более реальны, чем действительные числа, потому что глубинные законы Вселенной - квантовые, а обычные неквантовые законы - это их огрубление и упрощение.

Здорово! :)

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

Для начала, можете посмотреть
Зильберман. Электричество и магнетизм. (там дивергенцию называют "источниками", а ротор "вихрем", но хорошо объяснён геометрический смысл)
Тамм. Основы теории электричества. Приложение I.

Кроме того, на форуме: post1012502.html#p1012502

И вкратце сводка:

Спасибо! Всё посмотрю.

Munin в сообщении #1026083 писал(а):

Здесь, увы, та самая путаница, которую я предвидел. Слово "поле" используется в разных смыслах слова, и увы, даже весьма рядом, в близких для ученика разделах математики....

И здесь спасибо за развёрнутое пояснение. Очень интересно!

[Munin]

Atom001 в сообщении #1026119 писал(а):

Тогда получается вот что: Ток потёк, поле появилось, причём внутри самого провода. Это поле начинает действовать на электроны, и их движение изменяется. Поэтому изменяется поле создаваемое такими электронами. Оно опять действует на электроны. И так далее. Верно ли, что поле с электронами находится в некотором "динамическом равновесии"? Поле, получается, "колеблется"? Идут волны?

Да, в целом всё верно: получается некоторое "динамическое равновесие", создаваемое и полем, и электронами. И поля здесь участвует два: электрическое и магнитное. И вся эта система может колебаться, а может и не колебаться. Если она колеблется - то вы это видите как колебания в электрической цепи (например, в колебательном контуре из конденсатора и катушки индуктивности), или в каком-то более сложном виде в электрических резонаторах, антеннах, и наконец, без участия зарядов - в виде электромагнитных волн. А в обычной схеме постоянного тока мы рассматриваем режим, когда все колебания утихли.

Atom001 в сообщении #1026119 писал(а):

Сколько, однако, интересного всего в одно формуле!

А в физике всегда так. Каждая формула - это формула, плюс мешок условий, когда её можно применять, и когда она работает. Обычно они произносятся текстом, и не всегда чётко. Что, конечно, плохо для учеников.

Atom001 в сообщении #1026119 писал(а):

А далее кварки... На этом уровне поле тоже есть?

Квантовый уровень "продолжается до самого конца вниз". По крайней мере, в сегодняшней физике. То есть, в пределах тех законов природы, которые мы знаем.

То есть, после того, как мы перешли от поля к квантовому полю, оно так дальше и остаётся. Хотя события на этом не останавливаются. Электрон так и остаётся электроном, тут ничего не происходит. Атомные ядра - состоят из протонов и нейтронов, протоны - из кварков, а кварки - такие же элементарные, как электрон. Но вот если мы будем измерять само поле в какой-то точке, то тут тоже полезут усложнения. Электромагнитное поле - это, по сути, фотоны. Но квантовые эффекты приводят и к тому, что эти фотоны тоже начинают взаимодействовать с электронами, кварками, и наконец, с электрослабым объединением взаимодействий - прямо в той точке, где мы измеряем поле.

Это всё очень запутанные попервоначалу вещи, и я не смогу о них рассказать даже вкратце. Вы уж извините. Могу дать несколько хороших книг, хотя они вам будут, скорее всего, "на вырост".

Atom001 в сообщении #1026119 писал(а):

Там вообще мало чего говорят. Про поле мы знаем только то, что "это особая форма материи, существующая независимо от нас и от наших знаний о нём". А также "если заряженная частица покоится, то она создаёт электрическое поле, движется равномерно - магнитное, движется с ускорением - электромагнитное". Собственно, ничего более грандиозного в школе и не говорили.

Да уж, грустно.

Давайте я вам скажу сразу самое главное. В физике есть динамические системы. Так называют какой-то самостоятельный кусочек материального мира, который может "жить своей жизнью". Это означает, что если мы знаем его начальное состояние в какой-то момент времени $t_0,$ то по своим собственным законам он будет существовать и дальше, и перейдёт в какое-то другое состояние в моменты времени $t>t_0.$ Примеры: материальная точка с законом $\mathbf{F}=m\mathbf{a},$ или система материальных точек, связанная между собой разными силами.

Так вот. Электромагнитное поле - это тоже динамическая система. (Но заметьте, не электрическое и не магнитное поле по отдельности!) Его динамический закон - это уравнения Максвелла. Ну и кроме того, динамические системы бывают взаимодействующими друг с другом, как например, маятники, связанные пружиной. Электромагнитное поле аналогичным образом связано с электрическими зарядами. Так что, вместе они образуют более крупную систему: поле + заряды. Ну а дальше, вы сами понимаете, в такой системе бывает динамическое равновесие, бывают колебания, и всякое такое.

Atom001 в сообщении #1026119 писал(а):

Векторное? Потому что скорость можно задать вектором.

Правильно.

Кстати, так же можно представить себе и поле ускорений в жидкости. Или наоборот - поле смещений. Представим себе, что в начальный момент времени мы пометили каждую точку, где она была. И потом, когда она "утекла", то нарисуем вектор смещения от её начального положения. Получится по вектору для каждой точки. И они тоже образуют векторное поле.

[Atom001]

Munin, огромное Вам спасибо! Я, помнится, создал эту тему только потому, то у меня не получалось вывести формулу магнитной индукции провода, а в конце я столько всего узнал, да ещё сколько всего теперь надо будет изучить!

Munin в сообщении #1026136 писал(а):

Это всё очень запутанные попервоначалу вещи, и я не смогу о них рассказать даже вкратце. Вы уж извините. Могу дать несколько хороших книг, хотя они вам будут, скорее всего, "на вырост".

А Вы всё равно напишите. Я как созрею, так сразу и почитаю.

[Munin]

Ну, одна совсем популярная, можно почитать прямо сейчас:
И. Д. Новиков. Куда течёт река времени?
Впрочем, по нонешним временам почти того же самого можно начитаться из Википедии...

Ещё популярная книга:
Фейнман. КЭД: странная теория света и вещества.

Пожалуй
Хелзен, Мартин. Кварки и лептоны.
Окунь. Физика элементарных частиц.

[Atom001]

Munin, спасибо!