2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение08.06.2015, 15:10 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Здравствуйте!
Хочу получить формулу для расчёта модуля магнитной индукции от прямого бесконечного проводника в точке $A$ на расстоянии $d$ от него.

Изображение

1) Принцип суперпозиции $B_A=\sum\limits_{i}^{}B_i=(*)$
2) Закон Био-Савара-Лапласа $(*)=\sum\limits_{i}^{}(\frac{\mu_0}{4\pi}I\frac{|\Delta\vec{l_i}\times\vec{r_i}|}{{r_i}^3})=\frac{\mu_0}{4\pi}I\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i r_i \sin \alpha_i}{{r_i}^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}I\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i  \sin \alpha_i}{{r_i}^2}=(*)$
3) Так как $\sin \alpha_i=\frac{d}{r_i}$, то $(*)=\frac{\mu_0}{4\pi}I\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i  d}{{r_i}^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i }{{r_i}^3}=(*)$
5) По теореме Пифагора ${r_i}^2=d^2+{l_i}^2$, тогда ${r_i}^3=(\sqrt{d^2+{l_i}^2})^3$. Значит, $(*)=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\sum\limits_{i}^{}\frac{\Delta l_i }{(\sqrt{d^2+{l_i}^2})^3}=(*)$
4) Сумму меняю на интеграл $(*)=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\int \frac{d l}{(\sqrt{d^2+{l}^2})^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\frac{l}{d^2\sqrt{d^2+l^2}}=\frac{\mu_0}{4\pi}I\frac{l}{d\sqrt{d^2+l^2}}$
5) Но так как проводник бесконечный, то $l\to \infty$. Тогда $B_{A\infty}=\lim\limits_{l\to \infty}^{}\frac{\mu_0}{4\pi}I\frac{l}{d\sqrt{d^2+l^2}}=(*)$
6) Разделю числитель и знаменатель дроби на $l$. $(*)=\lim\limits_{l\to \infty}^{}\frac{\mu_0}{4\pi}I\frac{1}{d\sqrt{\frac{d^2}{l^2}+1}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi d}$

В учебнике даётся без вывода такой результат: $B_{A\infty}=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}$. Поэтому скажите, пожалуйста, где я потерял двойку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение08.06.2015, 15:44 


14/01/11
2916
Сомнения вызывает 4-й пункт. Откуда это у вас $l_i$ под знаком интеграла, коль скоро вы перешли от суммирования к интегрированию? И этот интеграл у вас определённый или неопределённый?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение08.06.2015, 15:52 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Sender в сообщении #1024833 писал(а):
Откуда это у вас $l_i$ под знаком интеграла

Это я ошибся, сейчас исправлю.

Sender в сообщении #1024833 писал(а):
И этот интеграл у вас определённый или неопределённый?

Я вообще плохо пока знаю интегралы. Сначала я думал, что интеграл должен быть определённым, но не смог определить пределы интегрирования, поэтому поставил неопределённый (в надежде, что если не правильно, то меня поправят).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение08.06.2015, 16:02 


14/01/11
2916
Atom001 в сообщении #1024837 писал(а):
не смог определить пределы интегрирования

Ну тут вроде всё более-менее очевидно. Что такое $l$ и в каких пределах оно меняется, коль скоро
Atom001 в сообщении #1024816 писал(а):
проводник бесконечный
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение08.06.2015, 16:07 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
От $-\infty$ до $+\infty$?
Я такой интеграл взять не могу, поэтому сейчас пойду посмотрю, как брать такой интеграл.

-- 08.06.2015, 21:33 --

Вот, что я понял.
Так как подынтегральная функция непрерывна на всей числовой оси, то
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}+\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}$

1)$\int\limits_{-\infty}^{0}f(x)dx=\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(F(0)-F(b))$
$\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3} = \lim\limits_{b\to -\infty}^{}(0-\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}})=-\frac{1}{d^2}$
2)$\int\limits_{0}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{b\to +\infty}^{}(F(b)-F(0))$
$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\lim\limits_{b\to +\infty}^{}(\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}}-0)=\frac{1}{d^2}$
3)Тогда, $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}+\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=0$

Где-то опять ошибаюсь. Да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение08.06.2015, 17:13 


14/01/11
2916
Atom001 в сообщении #1024837 писал(а):
Я вообще плохо пока знаю интегралы.

А как у вас с пределами? :-) Внимательно просмотрите первый пункт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение08.06.2015, 17:20 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
$\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(0-\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}})=-\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}})=-\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(\frac{1}{d^2\sqrt{\frac{d^2}{b^2}+1}})$.
Так как $(-\infty)^2=(+\infty)^2$, то $-\lim\limits_{b\to -\infty}^{}(\frac{1}{d^2\sqrt{\frac{d^2}{b^2}+1}})=-\frac{1}{d^2}$.
Вот так как-то.
Похоже, что и с пределами пока тоже всё плохо. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение08.06.2015, 17:29 


14/01/11
2916
Так, похоже, с арифметическими квадратными корнями тоже не всё гладко. :-)

-- Пн июн 08, 2015 17:38:30 --

$-\infty$ - это слишком страшно. А если бы там стояло $b \to -10$, к примеру?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение08.06.2015, 17:45 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
А! $\sqrt{b^2}=|b|$. Получается, что я теряю знак. Так как $b$ отрицательное. Тогда надо делать замену $b=-\sqrt{b^2}$, минусы нейтрализуются и в итоге $\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3} = \lim\limits_{b\to -\infty}^{}(0-\frac{b}{d^2\sqrt{d^2+b^2}})=\frac{1}{d^2}
$
Но в таком случае,
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}+\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dl}{(\sqrt{d^2+l^2})^3}=\frac{2}{d^2}$
Значит, $B_{A\infty}=\frac{\mu_0}{4\pi}Id\frac{2}{d^2}=\frac{\mu_0}{2\pi}Id\frac{1}{d^2}=\frac{\mu_0}{2\pi}I\frac{1}{d}$.
Теперь всё сходится!
Sender, спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение09.06.2015, 18:21 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Я не захотел останавливаться и поэтому решил вывести формулу магнитной индукции для конечного проводника.
Пусть есть проводник длиной $L$. Нужно найти модуль магнитной индукции в точке $A$, находящейся на расстоянии $R$ от проводника и на одинаковых расстояниях от концов проводника.
Тогда, как уже ранее было выяснено, $B_A=\frac{\mu_0}{4\pi}IR\int\limit_{\text{что-то}}^{\text{что-то}}\frac{dl}{(\sqrt{R^2+l^2})^3}$
Теперь надо определить пределы интегрирования. Я рискнул и предположил следующее: $l$ - это расстояние от элемента тока $\Delta l$ до проекции точки $A$ на провод. Это расстояние пробегает все значения от $\frac{L}{2}$ до $0$ (снизу вверх) и потом ещё от $0$ до $\frac{L}{2}$ (тоже снизу вверх).
Получается, $B_A=\frac{\mu_0}{4\pi}IR \cdot 2\int\limit_{0}^{L/2} \frac{dl}{(\sqrt{R^2+l^2})^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{IL}{R\sqrt{R^2+\frac{1}{4}L^2}}$
Теперь надо проверить правильность полученного результата. Должно выполняться следующее: $\lim\limits_{L\to +\infty}^{}B_A=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I}{R}$. Всё хорошо выполняется, значит я получил правильный ответ.

Но потом я подумал вот о чём. $B_A$ зависит от $L$. Почему так происходит? Ведь вокруг проводника создаётся магнитное поле, линии индукции которого являются окружностями, перпендикулярными самому проводу. Тогда, если провести плоскость через точку $A$, перпендикулярно проводу, то получится, что только "часть провода действует на точку". Весь остальной провод создаёт поле, которое никак не может попасть в точку $A$. Почему же тогда индукция в точке зависит от длины провода?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение09.06.2015, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Можно разрезать провод поперёк проводящей плоскостью, и убрать то, что находится в "невидимом" полупространстве. Но тогда вместо убранной части провода - токи потекут по этой проводящей плоскости, стекаясь к началу провода (или растекаясь от него). Они и создадут недостающее поле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение09.06.2015, 18:52 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Munin, впервые, я совсем не могу представить то, что Вы написали. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение09.06.2015, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Обратите внимание, закон Био-Савара указывает, что каждый участок провода создаёт поле не только в плоскости, перпендикулярной к себе, но и вообще во всём пространстве, и впереди, и сзади. Только точно впереди и точно сзади, на продолжении своей линии, поле нулевое. А во всех других точках - нет.

-- 09.06.2015 18:53:42 --

Munin в сообщении #1025336 писал(а):
Munin, впервые, я совсем не могу представить то, что Вы написали. :facepalm:

Возможно, я ляпнул о другой задаче, которую вы в виду не имели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение09.06.2015, 18:55 
Аватара пользователя


13/02/13
777
♍ — ☉ — ⊕
Да, но если есть один проводочек, он создаёт поле в какой-то точке $A$, и если к нему сверху подставить другой такой же, то он никак не будет влиять на поле в точке $A$. Так ведь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод формулы магнитной индукции
Сообщение09.06.2015, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Общая идеология такая.

Есть уравнение, которое позволяет найти по заданным токам - поле во всём пространстве. Это теорема о циркуляции магнитного поля:
$$\oint\limits_{L=\partial S}\mathbf{B}\,d\mathbf{l}=\mu_0 I_\text{сумм}=\mu_0\int\limits_{S}\mathbf{j}\,d\mathbf{S},$$ где первый интеграл берётся по замкнутому контуру, а второй - по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Этот же физический закон может быть математически записан в дифференциальной форме:
$$\operatorname{rot}\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}.$$ Запись в интегральной форме удобна для некоторых частных случаев, но часто её неясно как применять: какой выбрать контур? как из циркуляции сделать вывод о конкретном значении поля? А запись в дифференциальной форме - это дифференциальное уравнение, которое более-менее понятно как решать: знаем поле в одной точке, и можем перейти к полю в соседней точке (зная ещё и ток). Правда, дополнительно используется ещё уравнение $\operatorname{div}\mathbf{B}=0$ и равенство нулю поля на бесконечности - ну, это технические детали.

А вот дальше, математики нашли общее решение этого уравнения. Можно его не решать, а просто взять и проинтегрировать. Это решение через закон Био-Савара:
$$\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int\dfrac{I\,[d\mathbf{l}\,\mathbf{r}]}{r^3},$$ где интеграл берётся по линиям всех проводов. Математически эти три соотношения - по сути, одно и то же. Аналогично квадратному уравнению и его корням. А физически - это немножко разные слова, где что находится. Но они, при правильном применении, приводят к одинаковым ответам. И их можно применять попеременно, то одну картину, то другую, смотря как вам удобнее рассуждать.

-- 09.06.2015 19:13:23 --

Atom001 в сообщении #1025337 писал(а):
Да, но если есть один проводочек, он создаёт поле в какой-то точке $A$, и если к нему сверху подставить другой такой же, то он никак не будет влиять на поле в точке $A$. Так ведь?

Почему?

Ещё раз повторяю: любой провод создаёт поле во всём пространстве. Закон Био-Савара явно об этом гласит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group