2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 17:33 
Заслуженный участник


23/07/08
7669
Харьков
Тогда всё-таки выпишите $\mathbf r_u, \mathbf r_v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 17:50 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
svv в сообщении #1025303 писал(а):
Тогда всё-таки выпишите $\mathbf r_u, \mathbf r_v$.

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=\sh u\cos\varphi\vec{i}+\sh u\sin\varphi\vec{j}+\ch u\vec{k}$$
$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi}=-\ch u\sin\varphi\vec{i}+\ch u\cos\varphi\vec{j}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 17:53 
Заслуженный участник


23/07/08
7669
Харьков
В $\mathbf r_u$:
$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial }{\partial u}\sh u=+\ch u$.
Остальное правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 17:56 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
svv в сообщении #1025310 писал(а):
В $\mathbf r_u$:
$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial }{\partial u}\sh u=+\ch u$.
Остальное правильно.

Яяяно теперь. Теперь все ясно, я просто не знаю свойств гиперболических функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 18:01 
Заслуженный участник


23/07/08
7669
Харьков
Оно же почему так:
$(e^u)'=e^u$
$(e^{-u})'=-e^{-u}$
$(\sh u)'=\frac 1 2(e^u-e^{-u})'=\frac 1 2(e^u+e^{-u})=\ch u$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 18:09 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ладно, закончу здесь с ним:
$$g_{11}=\sh^2 u\cos^2\varphi +\sh^2 u\sin^2\varphi+\ch^2 u=\sh^2u+\ch^2u=\sh^2u+1+\sh^2u=1+2\sh^2u$$
$$g_{22}=\ch^2 u\sin^2\varphi+\ch^2u\cos^2\varphi=\ch^2u$$
$$g_{12}=0$$
Ошибка моя заключалась даже не в производных, эта ошибка в производных все равно приводит к верному результату, моя ошибка была в том (адская ошибка), что я неверно пользовался гиперболическим тождеством, вернее, что я им вообще пользовался для вычисления $g_11$, я просто подумал, что $1+2\sh^2u=2\ch^2u$. Видимо, мне пора отдохнуть.
А что касается производных, вы правы, надо было определение через экспоненты использовать, чтобы проверить. Или хотя бы википедию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68350
fronnya в сообщении #1025284 писал(а):
Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?

Это такая же творческая задача, как и придумывать замены переменных. Потому что возможно много ответов, а в общем случае - ни одного красивого ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 19:16 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Munin в сообщении #1025330 писал(а):
fronnya в сообщении #1025284 писал(а):
Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?

Это такая же творческая задача, как и придумывать замены переменных. Потому что возможно много ответов, а в общем случае - ни одного красивого ответа.

Я, пролистав пару учебников, понял, что компоненты этого метрического тензора можно выписывать сразу:
$$g_{11}=\frac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial u}\delta_{ij}$$
$$g_{21}=g_{12}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}$$
$$g_{22}=\frac{\partial x^i}{\partial v}\frac{\partial x^j}{\partial v}\delta_{ij}$$
В индексных обозначениях написал, чтобы много буковок не писать, а для $g_{21}$ че-то не смог составить выражение в индексах. Естественно, я обозначил $x=x^1,y=x^2,z=x^3$ все индексы могу пробегать значения от 1 до 3.

-- 09.06.2015, 18:20 --

Может, можно здесь записать общее выражение для $g_{ij}$? Надо попробовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68350
fronnya в сообщении #1025345 писал(а):
$$g_{11}=\frac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial u}\delta_{ij}$$
$$g_{21}=g_{12}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}$$
$$g_{22}=\frac{\partial x^i}{\partial v}\frac{\partial x^j}{\partial v}\delta_{ij}$$

Если уж вы пользуетесь соглашением о суммировании, то можно проще:
$$\begin{gathered}g_{11}=\dfrac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^i}{\partial u}\\g_{21}=g_{12}=\dfrac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^i}{\partial v}\\g_{22}=\dfrac{\partial x^i}{\partial v}\frac{\partial x^i}{\partial v}\end{gathered}$$ или даже, введя $u=u^1,v=u^2$ и ещё один тип индексов ($i,j=1\ldots 3,\quad a,b=1\ldots 2$):
$$g_{ab}=\frac{\partial x^i}{\partial u^a}\frac{\partial x^i}{\partial u^b}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 19:33 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
А черт, все намного проще, чем я думал:
$$g_{11}=\frac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial u}\delta_{ij}$$
$$g_{21}=g_{12}=\frac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial v}\delta_{ij}$$
$$g_{22}=\frac{\partial x^i}{\partial v}\frac{\partial x^j}{\partial v}\delta_{ij}$$
........
Написал, но вы меня опередили, вариант с $g_{ab}$ мне нравится больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68350
fronnya в сообщении #1025351 писал(а):
Написал, но вы меня опередили

Главное, и без дельт тоже. Они там низачем. Все дельты с немыми индексами можно убрать из любого множителя, переименовав индексы. (Вот со свободными индексами - приходится оставлять.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 19:40 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Munin в сообщении #1025353 писал(а):
fronnya в сообщении #1025351 писал(а):
Написал, но вы меня опередили

Главное, и без дельт тоже. Они там низачем. Все дельты с немыми индексами можно убрать из любого множителя, переименовав индексы. (Вот со свободными индексами - приходится оставлять.)

Да, я понимаю, спешил :-) :-)

-- 09.06.2015, 19:01 --

Спасибо всем за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group