2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 15:17 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Проверьте, пожалуйста, дана поверхность $x^2+y^2-z^2=1$ нужно составить первую квадратичную форму её.
Параметризацию я такую придумал:$ x=\ch{u}, y=\sh{u}, z=2\sh{u}$. При такой параметризации $\vec{r}'_v=0$, а$\vec{r}'_u=\sh{u}\vec{i}-\sh{u}\vec{j}-2\ch{u}\vec{k}$, и, соответственно, квадрат: $(\vec{r}'_u)^2=2\sh^2{u}+4\ch^2{u}=1+6\sh^2{u}$
Тогда квадратичная форма примет вид
$$ds^2=(1+6\sh^2{u})du^2$$
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
fronnya в сообщении #1025253 писал(а):
Параметризацию я такую придумал:$ x=\ch{u}, y=\sh{u}, z=2\sh{u}$
Во-первых, корень у двойки. Во-вторых, всё равно нет. У вас поверхность, как вы одним параметром её описываете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 15:29 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Nemiroff в сообщении #1025258 писал(а):
. У вас поверхность, как вы одним параметром её описываете?

Эт да, сейчас что-нибудь другое придумаю.

-- 09.06.2015, 14:39 --

А такая параметризация будет неплохой? $x=\ch{u}, y=\sh{v}, z=\sqrt{\sh^2{u}+\sh^2{v}}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 15:47 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
Здесь гиперболические функции не выполняют своего предназначения — избавлять параметризацию от корней. Вообще-то они это могли бы, но в таком варианте этого не делают. Поэтому это ничем не лучше, а только усложнение простого варианта $x=u, y=v, z=\sqrt{u^2+v^2-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 15:48 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
svv в сообщении #1025269 писал(а):
Здесь гиперболические функции не выполняют своего предназначения — избавлять параметризацию от корней. Они могли бы, но в таком варианте этого не делают. Поэтому это ничем не лучше, а только усложнение простого варианта $x=u, y=v, z=\sqrt{u^2+v^2-1}$.

Я такую параметризацию делал, думал, может будет попроще что-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 15:49 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
Подскажу:
$x=\ch u\; \cos v$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 16:03 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
svv в сообщении #1025271 писал(а):
Подскажу:
$x=\ch u\; \cos v$

ну тогда по аналогии $y=\sh u \sin v$, $z=\sqrt{2}\sin v\ch u$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 16:18 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
:-(
$x=\ch u\; \cos v$
$y=\ch u\; \sin v$
Координата $v$ на поверхности — это на самом деле $\varphi$ цилиндрической системы. Ведь видно, что Ваша поверхность — это поверхность вращения (вокруг $Oz$).

В чём смысл этих хитрых параметризаций: ввести наиболее естественные для данной поверхности координаты, в которых метрика (первая квадратичная форма) будет иметь простой вид. Например, в таком варианте координаты ортогональны (это сразу два нуля в матрице первой формы), и метрика не будет зависеть от $v$ (тоже упрощение). Ну, и я обещаю, что не будет никаких корней.

Найдите вид $z$, затем форму, и убедитесь во всём сказанном.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 16:23 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
svv в сообщении #1025282 писал(а):
:-(
$x=\ch u\; \cos v$
$y=\ch u\; \sin v$
Координата $v$ на поверхности — это на самом деле $\varphi$ цилиндрической системы. Ведь видно, что Ваша поверхность — это поверхность вращения (вокруг $Oz$).

В чём смысл этих хитрых параметризаций: ввести наиболее естественные координаты, в которых метрика (первая квадратичная форма) будет иметь простой вид. Например, в таком варианте координаты ортогональны (это сразу два нуля в матрице первой формы), и метрика не будет зависеть от $v$ (тоже упрощение). Ну, и я обещаю, что не будет никаких корней.

Найдите вид $z$, затем форму, и убедитесь во всём сказанном.

В "моей" параметризации тоже корней не оказалось по счастливой случайности. Но форма там получилась не очень красивая. Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?

-- 09.06.2015, 15:34 --

Метрика вот такая получилась(с предложенной Вами параметризацией): $$ds^2=2\ch^2 u du^2 +2\ch^2 u dv^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 16:34 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
fronnya в сообщении #1025284 писал(а):
В "моей" параметризации тоже корней не оказалось по счастливой случайности.
По-моему, в Вашем случае это ещё не достигается:
$x^2+y^2-z^2=\ch^2 u \cos^2 v+\sh^2 u \sin^2 v -2\ch^2 u\sin^2 v =$ ничего хорошего, а должна быть единица.

fronnya в сообщении #1025284 писал(а):
Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?
Да, наверное. Общего метода не существует — простая параметризация есть не для всякой поверхности.

Для меня эвристическим соображением было уравнение поверхности в цилиндрических координатах (явно более простое):
$\rho^2=1+z^2$
Здесь напрашивается $\rho=\ch u, z=\sh u$, что обращает уравнение в тождество. Далее в уравнениях
$x=\rho\cos\varphi$
$y=\rho\sin\varphi$
мы просто обозначаем $\varphi$ требуемым «по стандарту» $v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 16:37 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
svv в сообщении #1025286 писал(а):
fronnya в сообщении #1025284 писал(а):
В "моей" параметризации тоже корней не оказалось по счастливой случайности.
По-моему, в Вашем случае это ещё не достигается:
$x^2+y^2-z^2=\ch^2 u \cos^2 v+\sh^2 u \sin^2 v -2\ch^2 u\sin^2 v =$ ничего хорошего, а должна быть единица.

fronnya в сообщении #1025284 писал(а):
Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?
Да, наверное. Общего метода не существует — простая параметризация есть не для всякой поверхности.

Для меня эвристическим соображением было уравнение поверхности в цилиндрических координатах (явно более простое):
$\rho^2=1+z^2$
Здесь напрашивается $\rho=\ch u, z=\sh u$, что обращает уравнение в тождество. Далее в уравнениях
$x=\rho\cos\varphi$
$y=\rho\sin\varphi$
мы просто обозначаем $\varphi$ требуемым «по стандарту» $v$.

Ааа, понял прием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 16:44 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
А Вы можете выписать декартовы компоненты $\mathbf r_u$ и $\mathbf r_v$? Что-то у меня не совсем так получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 16:52 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
svv в сообщении #1025290 писал(а):
А Вы можете выписать компоненты $\mathbf r_u$ и $\mathbf r_v$? Что-то у меня не совсем так получается.

Ааа. Это у меня ошибка, в самом начале, попутал свойства чосинуса и косинуса, 6 часов уже занимаюсь просто, упустил. Все равно выписывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 16:56 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
Только конечный результат, да и то, если Вам нужно подтверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первая квадратичная форма
Сообщение09.06.2015, 17:19 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
svv в сообщении #1025294 писал(а):
Только конечный результат, да и то, если Вам нужно подтверждение.

Вроде так $$ds^2=2\ch^2 u du^2 +\ch^2 u d\varphi^2$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group