Первая квадратичная форма

[svv]

Тогда всё-таки выпишите $\mathbf r_u, \mathbf r_v$.

[fronnya]

svv в сообщении #1025303 писал(а):

Тогда всё-таки выпишите $\mathbf r_u, \mathbf r_v$.

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}=\sh u\cos\varphi\vec{i}+\sh u\sin\varphi\vec{j}+\ch u\vec{k}$$

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi}=-\ch u\sin\varphi\vec{i}+\ch u\cos\varphi\vec{j}$$

[svv]

В $\mathbf r_u$:
$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial }{\partial u}\sh u=+\ch u$.
Остальное правильно.

[fronnya]

svv в сообщении #1025310 писал(а):

В $\mathbf r_u$:
$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial }{\partial u}\sh u=+\ch u$.
Остальное правильно.

Яяяно теперь. Теперь все ясно, я просто не знаю свойств гиперболических функций.

[svv]

Оно же почему так:
$(e^u)'=e^u$
$(e^{-u})'=-e^{-u}$
$(\sh u)'=\frac 1 2(e^u-e^{-u})'=\frac 1 2(e^u+e^{-u})=\ch u$

[fronnya]

Ладно, закончу здесь с ним:

$$g_{11}=\sh^2 u\cos^2\varphi +\sh^2 u\sin^2\varphi+\ch^2 u=\sh^2u+\ch^2u=\sh^2u+1+\sh^2u=1+2\sh^2u$$

$$g_{22}=\ch^2 u\sin^2\varphi+\ch^2u\cos^2\varphi=\ch^2u$$

$$g_{12}=0$$

Ошибка моя заключалась даже не в производных, эта ошибка в производных все равно приводит к верному результату, моя ошибка была в том (адская ошибка), что я неверно пользовался гиперболическим тождеством, вернее, что я им вообще пользовался для вычисления $g_11$, я просто подумал, что $1+2\sh^2u=2\ch^2u$. Видимо, мне пора отдохнуть.
А что касается производных, вы правы, надо было определение через экспоненты использовать, чтобы проверить. Или хотя бы википедию.

[Munin]

fronnya в сообщении #1025284 писал(а):

Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?

Это такая же творческая задача, как и придумывать замены переменных. Потому что возможно много ответов, а в общем случае - ни одного красивого ответа.

[fronnya]

Munin в сообщении #1025330 писал(а):

fronnya в сообщении #1025284 писал(а):

Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?

Это такая же творческая задача, как и придумывать замены переменных. Потому что возможно много ответов, а в общем случае - ни одного красивого ответа.

Я, пролистав пару учебников, понял, что компоненты этого метрического тензора можно выписывать сразу:

$$g_{11}=\frac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial u}\delta_{ij}$$

$$g_{21}=g_{12}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}$$

$$g_{22}=\frac{\partial x^i}{\partial v}\frac{\partial x^j}{\partial v}\delta_{ij}$$

В индексных обозначениях написал, чтобы много буковок не писать, а для $g_{21}$ че-то не смог составить выражение в индексах. Естественно, я обозначил $x=x^1,y=x^2,z=x^3$ все индексы могу пробегать значения от 1 до 3.

-- 09.06.2015, 18:20 --

Может, можно здесь записать общее выражение для $g_{ij}$? Надо попробовать.

[Munin]

fronnya в сообщении #1025345 писал(а):

$$g_{11}=\frac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial u}\delta_{ij}$$

$$g_{21}=g_{12}=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}$$

$$g_{22}=\frac{\partial x^i}{\partial v}\frac{\partial x^j}{\partial v}\delta_{ij}$$

Если уж вы пользуетесь соглашением о суммировании, то можно проще:

$$\begin{gathered}g_{11}=\dfrac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^i}{\partial u}\\g_{21}=g_{12}=\dfrac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^i}{\partial v}\\g_{22}=\dfrac{\partial x^i}{\partial v}\frac{\partial x^i}{\partial v}\end{gathered}$$

или даже, введя $u=u^1,v=u^2$ и ещё один тип индексов ($i,j=1\ldots 3,\quad a,b=1\ldots 2$):

$$g_{ab}=\frac{\partial x^i}{\partial u^a}\frac{\partial x^i}{\partial u^b}.$$

[fronnya]

А черт, все намного проще, чем я думал:

$$g_{11}=\frac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial u}\delta_{ij}$$

$$g_{21}=g_{12}=\frac{\partial x^i}{\partial u}\frac{\partial x^j}{\partial v}\delta_{ij}$$

$$g_{22}=\frac{\partial x^i}{\partial v}\frac{\partial x^j}{\partial v}\delta_{ij}$$

........
Написал, но вы меня опередили, вариант с $g_{ab}$ мне нравится больше.

[Munin]

fronnya в сообщении #1025351 писал(а):

Написал, но вы меня опередили

Главное, и без дельт тоже. Они там низачем. Все дельты с немыми индексами можно убрать из любого множителя, переименовав индексы. (Вот со свободными индексами - приходится оставлять.)

[fronnya]

Munin в сообщении #1025353 писал(а):

fronnya в сообщении #1025351 писал(а):

Написал, но вы меня опередили

Главное, и без дельт тоже. Они там низачем. Все дельты с немыми индексами можно убрать из любого множителя, переименовав индексы. (Вот со свободными индексами - приходится оставлять.)

Да, я понимаю, спешил

-- 09.06.2015, 19:01 --

Спасибо всем за помощь.