

Координата

на поверхности — это на самом деле

цилиндрической системы. Ведь видно, что Ваша поверхность — это поверхность вращения (вокруг

).
В чём смысл этих хитрых параметризаций: ввести наиболее естественные для данной поверхности координаты, в которых метрика (первая квадратичная форма) будет иметь простой вид. Например, в таком варианте координаты ортогональны (это сразу два нуля в матрице первой формы), и метрика не будет зависеть от

(тоже упрощение). Ну, и я обещаю, что не будет никаких корней.
Найдите вид

, затем форму, и убедитесь во всём сказанном.