Первая квадратичная форма

[fronnya]

Проверьте, пожалуйста, дана поверхность $x^2+y^2-z^2=1$ нужно составить первую квадратичную форму её.
Параметризацию я такую придумал:$ x=\ch{u}, y=\sh{u}, z=2\sh{u}$. При такой параметризации $\vec{r}'_v=0$, а$\vec{r}'_u=\sh{u}\vec{i}-\sh{u}\vec{j}-2\ch{u}\vec{k}$, и, соответственно, квадрат: $(\vec{r}'_u)^2=2\sh^2{u}+4\ch^2{u}=1+6\sh^2{u}$
Тогда квадратичная форма примет вид

$$ds^2=(1+6\sh^2{u})du^2$$

Правильно?

[Nemiroff]

fronnya в сообщении #1025253 писал(а):

Параметризацию я такую придумал:$ x=\ch{u}, y=\sh{u}, z=2\sh{u}$

Во-первых, корень у двойки. Во-вторых, всё равно нет. У вас поверхность, как вы одним параметром её описываете?

[fronnya]

Nemiroff в сообщении #1025258 писал(а):

. У вас поверхность, как вы одним параметром её описываете?

Эт да, сейчас что-нибудь другое придумаю.

-- 09.06.2015, 14:39 --

А такая параметризация будет неплохой? $x=\ch{u}, y=\sh{v}, z=\sqrt{\sh^2{u}+\sh^2{v}}$ ?

[svv]

Здесь гиперболические функции не выполняют своего предназначения — избавлять параметризацию от корней. Вообще-то они это могли бы, но в таком варианте этого не делают. Поэтому это ничем не лучше, а только усложнение простого варианта $x=u, y=v, z=\sqrt{u^2+v^2-1}$.

[fronnya]

svv в сообщении #1025269 писал(а):

Здесь гиперболические функции не выполняют своего предназначения — избавлять параметризацию от корней. Они могли бы, но в таком варианте этого не делают. Поэтому это ничем не лучше, а только усложнение простого варианта $x=u, y=v, z=\sqrt{u^2+v^2-1}$.

Я такую параметризацию делал, думал, может будет попроще что-то.

[svv]

Подскажу:
$x=\ch u\; \cos v$

[fronnya]

svv в сообщении #1025271 писал(а):

Подскажу:
$x=\ch u\; \cos v$

ну тогда по аналогии $y=\sh u \sin v$, $z=\sqrt{2}\sin v\ch u$

[svv]

$x=\ch u\; \cos v$
$y=\ch u\; \sin v$
Координата $v$ на поверхности — это на самом деле $\varphi$ цилиндрической системы. Ведь видно, что Ваша поверхность — это поверхность вращения (вокруг $Oz$).

В чём смысл этих хитрых параметризаций: ввести наиболее естественные для данной поверхности координаты, в которых метрика (первая квадратичная форма) будет иметь простой вид. Например, в таком варианте координаты ортогональны (это сразу два нуля в матрице первой формы), и метрика не будет зависеть от $v$ (тоже упрощение). Ну, и я обещаю, что не будет никаких корней.

Найдите вид $z$, затем форму, и убедитесь во всём сказанном.

[fronnya]

svv в сообщении #1025282 писал(а):

:-(
$x=\ch u\; \cos v$
$y=\ch u\; \sin v$
Координата $v$ на поверхности — это на самом деле $\varphi$ цилиндрической системы. Ведь видно, что Ваша поверхность — это поверхность вращения (вокруг $Oz$).

В чём смысл этих хитрых параметризаций: ввести наиболее естественные координаты, в которых метрика (первая квадратичная форма) будет иметь простой вид. Например, в таком варианте координаты ортогональны (это сразу два нуля в матрице первой формы), и метрика не будет зависеть от $v$ (тоже упрощение). Ну, и я обещаю, что не будет никаких корней.

Найдите вид $z$, затем форму, и убедитесь во всём сказанном.

В "моей" параметризации тоже корней не оказалось по счастливой случайности. Но форма там получилась не очень красивая. Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?

-- 09.06.2015, 15:34 --

Метрика вот такая получилась(с предложенной Вами параметризацией):

$$ds^2=2\ch^2 u du^2 +2\ch^2 u dv^2$$

[svv]

fronnya в сообщении #1025284 писал(а):

В "моей" параметризации тоже корней не оказалось по счастливой случайности.

По-моему, в Вашем случае это ещё не достигается:
$x^2+y^2-z^2=\ch^2 u \cos^2 v+\sh^2 u \sin^2 v -2\ch^2 u\sin^2 v =$ ничего хорошего, а должна быть единица.

fronnya в сообщении #1025284 писал(а):

Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?

Да, наверное. Общего метода не существует — простая параметризация есть не для всякой поверхности.

Для меня эвристическим соображением было уравнение поверхности в цилиндрических координатах (явно более простое):
$\rho^2=1+z^2$
Здесь напрашивается $\rho=\ch u, z=\sh u$, что обращает уравнение в тождество. Далее в уравнениях
$x=\rho\cos\varphi$
$y=\rho\sin\varphi$
мы просто обозначаем $\varphi$ требуемым «по стандарту» $v$.

[fronnya]

svv в сообщении #1025286 писал(а):

fronnya в сообщении #1025284 писал(а):

В "моей" параметризации тоже корней не оказалось по счастливой случайности.

По-моему, в Вашем случае это ещё не достигается:
$x^2+y^2-z^2=\ch^2 u \cos^2 v+\sh^2 u \sin^2 v -2\ch^2 u\sin^2 v =$ ничего хорошего, а должна быть единица.

fronnya в сообщении #1025284 писал(а):

Как вообще эти параметризации подбирать ? Как-то предугадывать нужно?

Да, наверное. Общего метода не существует — простая параметризация есть не для всякой поверхности.

Для меня эвристическим соображением было уравнение поверхности в цилиндрических координатах (явно более простое):
$\rho^2=1+z^2$
Здесь напрашивается $\rho=\ch u, z=\sh u$, что обращает уравнение в тождество. Далее в уравнениях
$x=\rho\cos\varphi$
$y=\rho\sin\varphi$
мы просто обозначаем $\varphi$ требуемым «по стандарту» $v$.

Ааа, понял прием.

[svv]

А Вы можете выписать декартовы компоненты $\mathbf r_u$ и $\mathbf r_v$? Что-то у меня не совсем так получается.

[fronnya]

svv в сообщении #1025290 писал(а):

А Вы можете выписать компоненты $\mathbf r_u$ и $\mathbf r_v$? Что-то у меня не совсем так получается.

Ааа. Это у меня ошибка, в самом начале, попутал свойства чосинуса и косинуса, 6 часов уже занимаюсь просто, упустил. Все равно выписывать?

[svv]

Только конечный результат, да и то, если Вам нужно подтверждение.

[fronnya]

svv в сообщении #1025294 писал(а):

Только конечный результат, да и то, если Вам нужно подтверждение.

Вроде так

$$ds^2=2\ch^2 u du^2 +\ch^2 u d\varphi^2$$