В частном случае евклидового пространства:
3) между пространством и ему сопряжённым существует изоморфизм (то есть объекты из пространства и сопряжённого пространства можно не различать)
Независимо от наличия изоморфизма всё же лучше различать. В частности, ковектор (градиент скаляра) при изменении масштаба координат преобразуется совсем не так, как вектор (направленный отрезок). Об этом лучше не забывать.
В ещё более частном случае евклидового пространства с ортогональным базисом
4) между пространством и ему сопряжённым существует изоморфизм и верхние и нижние индексы можно не различать
Если базис гарантированно
ортонормированный, то верхние и нижние индексы можно не различать.
А так хочется понять, как будет ковектор разлагаться по базису в случае неметрического пространства
Хотелось бы понять, что именно Вам бы хотелось понять. Самый общий ответ заключается в том, что ковектор разлагается по базису ковекторов точно так же, как вектор по базису векторов, т.е. "посредством нахождения коэффициентов линейной комбинации". Если же Вас интересуют частности, а именно, какова конкретная процедура нахождения оных коэффициентов линейной комбинации, то ответ может быть таков: Коэффициенты разложения по базису являются скалярными произведениями разлагаемого ковектора на соответствующие векторы сопряжённого базиса. Базис
![$\chi^i_{(\mu)}$ $\chi^i_{(\mu)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/2/a12b71f30df72cfbd203df5eafb6e73f82.png)
является сопряжённым к базису
![$\xi^{(\nu)}_j$ $\xi^{(\nu)}_j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/9/d197a06381503b52814b3483b1dc0cbe82.png)
тогда и только тогда, когда
![$\chi^k_{(\mu)} \xi^{(\nu)}_k = \delta^{(\nu)}_{(\mu)}$ $\chi^k_{(\mu)} \xi^{(\nu)}_k = \delta^{(\nu)}_{(\mu)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/5/565656a836ed64f8a07956591ac74b2882.png)
. Существование метрики здесь нигде не предполагается.
А есть ли практическая (физическая) польза от неметрических пространств?
Практическая польза заключается в расширении физического кругозора: Человек начинает понимать, что метрическое пространство -- не единственная физическая возможность. Например, может оказаться так, что эталонный метр при переносе по замкнутому контуру изменяется. В таком случае с помощью данного эталона не удастся определить метрику пространства.