Собственные числа оператора

[ewert]

И, кроме того, xolodec: Вас не смущает, что в Вашей замечательной матрице наблюдается некая асимметрия?...

А ведь Ваше исходное выражение:

xolodec в сообщении #1021095 писал(а):

$$FM = \begin{pmatrix} \lambda_1 \mu_1 m_{11} & \lambda_1 \mu_2 m_{12} \\ \lambda_2 \mu_1 m_{21} & \lambda_2 \mu_2 m_{22} \end{pmatrix}$$

-- было весьма симметричным!

[xolodec]

2old в сообщении #1021159 писал(а):

Для каждой матрицы получится вектор $4\times 1$ и в итоге матрица соответствующая оператору$4\times 4$, что добро :)

Кажется, понял, спасибо большое. Будет следующее:

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 \mu_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 \mu_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \mu_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 \mu_2 \end{pmatrix}$$

Правильно?
и вот они на диагонали собственные числа, верно?

ewert в сообщении #1021164 писал(а):

Вас не смущает, что в Вашей замечательной матрице наблюдается некая асимметрия?...

Вы даже не представляете, когда пытаешься разобраться с незнакомой задачей, смущает все, потому что хочется привязать ее к чему то, что уже знаешь, а это всегда сразу не получается.

[2old]

Я выписал в общем виде для второго пункта (убрал под спойлер, чтобы не загромождать), но кажется это тупиковая идея
Хотя выглядит все симметрично и красиво...хочется представить матрицу как произведение векторов $4\times 1$ и $1 \times 4$

(Оффтоп)

Заметим, что:
$AE_{ij}=a_{1i}E_{1j}+a_{2i}E_{2j}$
$E_{ij}B=b_{j1}E_{i1}+b_{j2}E_{i2}$
Тогда,

$$F(E_{ij})=a_{1i}b_{j1}E_{11}+a_{1i}b_{j2}E_{12}+a_{2i}b_{j1}E_{21}+a_{2i}b_{j2}E_{22}$$

Отсюда:

$$ \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{21} & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{21} \\ a_{11}b_{12} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{12} & a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{21} & a_{22}b_{11}& a_{22}b_{21}\\ a_{21}b_{12} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{12} & a_{22}b_{22} \end{pmatrix} $$

[ewert]

А во втором пункте давайте попытаемся ответ угадать. В первом случае получился вполне явный ответ; второй случай более общий, и ответ тоже должен получиться явным. Значит: или второй вопрос некорретен -- или что?...

[2old]

Ну второй пункт мне пришла в голову идея рассмотреть самый простой случай: когда у матриц $A$ и $B$ собственные числа различные и их произведение друг с другом различное.
Попробуем тогда предъявить $4$ (а больше их быть не может) различных собственных числа для оператора $F$. Возьмем такой вектор $x$, что $Ax=\lambda_i x$. Для матрицы $B$ заметим, что её собственные числа совпадают с матрицей $B^{*}$. Возьмем тогда вектор $y$, такой, что $B^{*}y=\mu_j y$.
Теперь, $x\cdot y^{*}$ это матрица $2\times 2$, значит можно на неё воздействовать оператором $F$:

$$ F(x\cdot y^{*})=Axy^{*}B=Ax\cdot(B^{*}y)^{*}=\lambda_i\mu_j \cdot x y^{*} $$

Получается такой же ответ :)

[ewert]

2old в сообщении #1021184 писал(а):

рассмотреть самый простой случай: когда у матриц $A$ и $B$ собственные числа различные.

Они по условию разные. Причём в первом случае это условие просто не нужно, а во втором нужно лишь для того, чтобы гарантировать диагонализуемость матриц.

2old в сообщении #1021184 писал(а):

Получается такой же ответ :)

Конечно.