2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 18:15 
И, кроме того, xolodec: Вас не смущает, что в Вашей замечательной матрице наблюдается некая асимметрия?...

А ведь Ваше исходное выражение:

xolodec в сообщении #1021095 писал(а):
$$FM = \begin{pmatrix}
\lambda_1 \mu_1 m_{11} & \lambda_1 \mu_2 m_{12}  \\
\lambda_2 \mu_1 m_{21} & \lambda_2 \mu_2 m_{22} 
\end{pmatrix}$$

-- было весьма симметричным!

 
 
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 18:22 
2old в сообщении #1021159 писал(а):
Для каждой матрицы получится вектор $4\times 1$ и в итоге матрица соответствующая оператору$4\times 4$, что добро :)

Кажется, понял, спасибо большое. Будет следующее:
$$\begin{pmatrix}
 \lambda_1 \mu_1 &   0  &  0  &  0 \\
0 &   \lambda_1 \mu_2  &  0 & 0 \\
0 &   0  &  \lambda_2 \mu_1 &  0 \\
0 &   0 &  0 &  \lambda_2 \mu_2 
\end{pmatrix}$$
Правильно?
и вот они на диагонали собственные числа, верно?
ewert в сообщении #1021164 писал(а):
Вас не смущает, что в Вашей замечательной матрице наблюдается некая асимметрия?...

:-) Вы даже не представляете, когда пытаешься разобраться с незнакомой задачей, смущает все, потому что хочется привязать ее к чему то, что уже знаешь, а это всегда сразу не получается.

 
 
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 18:37 
Я выписал в общем виде для второго пункта (убрал под спойлер, чтобы не загромождать), но кажется это тупиковая идея :mrgreen: :facepalm:
Хотя выглядит все симметрично и красиво...хочется представить матрицу как произведение векторов $4\times 1$ и $1 \times 4$

(Оффтоп)

Заметим, что:
$AE_{ij}=a_{1i}E_{1j}+a_{2i}E_{2j}$
$E_{ij}B=b_{j1}E_{i1}+b_{j2}E_{i2}$
Тогда,
$$F(E_{ij})=a_{1i}b_{j1}E_{11}+a_{1i}b_{j2}E_{12}+a_{2i}b_{j1}E_{21}+a_{2i}b_{j2}E_{22}$$
Отсюда:
$$
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{21}  & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{21} \\ 
a_{11}b_{12} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{12} & a_{12}b_{22}\\ 
a_{21}b_{11} & a_{21}b_{21} & a_{22}b_{11}& a_{22}b_{21}\\ 
a_{21}b_{12} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{12} & a_{22}b_{22} 
\end{pmatrix}
$$

 
 
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 18:47 
А во втором пункте давайте попытаемся ответ угадать. В первом случае получился вполне явный ответ; второй случай более общий, и ответ тоже должен получиться явным. Значит: или второй вопрос некорретен -- или что?...

 
 
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 19:01 
Ну второй пункт мне пришла в голову идея рассмотреть самый простой случай: когда у матриц $A$ и $B$ собственные числа различные и их произведение друг с другом различное.
Попробуем тогда предъявить $4$ (а больше их быть не может) различных собственных числа для оператора $F$. Возьмем такой вектор $x$, что $Ax=\lambda_i x$. Для матрицы $B$ заметим, что её собственные числа совпадают с матрицей $B^{*}$. Возьмем тогда вектор $y$, такой, что $B^{*}y=\mu_j y$.
Теперь, $x\cdot y^{*}$ это матрица $2\times 2$, значит можно на неё воздействовать оператором $F$:
$$
F(x\cdot y^{*})=Axy^{*}B=Ax\cdot(B^{*}y)^{*}=\lambda_i\mu_j \cdot  x y^{*}
$$

Получается такой же ответ :)

 
 
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 19:24 
2old в сообщении #1021184 писал(а):
рассмотреть самый простой случай: когда у матриц $A$ и $B$ собственные числа различные.

Они по условию разные. Причём в первом случае это условие просто не нужно, а во втором нужно лишь для того, чтобы гарантировать диагонализуемость матриц.

2old в сообщении #1021184 писал(а):
Получается такой же ответ :)

Конечно.

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group