2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 13:47 


29/04/14
139
Пусть есть некоторый линейный оператор $F(M)$ на пространстве матриц 2х2.
Причем его действие описывается следующим равенством
$$F(M) = A \cdot M \cdot B$$ где A, B - некоторые матрицы 2х2.
Также известно, что собственные значения матрицы A: $\lambda_1 \ne \lambda_2$ и такое же условие на собственные значения матрицы B: $\mu_1 \ne \mu_2$.

Нужно найти собственные числа оператора в двух случаях:
а) A и B - диагональные матрицы
б) А и B - произвольные матрицы

У меня получается какая то ерунда. В случае а), у меня получается, что у оператора единственное собственное число кратности 2 и оно, к тому же, равно нулю.
Во втором случае я не могу много сказать про собственные числа оператора, кроме того, что если их два, то их произведение $\eta_1 \eta_2 = \lambda_1  \lambda_2 \mu_1  \mu_2 $, а если собственное число одно кратности два, то оно равно $\eta = \sqrt{\lambda_1  \lambda_2 \mu_1  \mu_2}$.
У меня вообще два вопроса:
1) Как правильно решить эту задачу ?
2) В каком случае при действительных коэффициентах матрицы линейного оператора его собственные числа комплексны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 13:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
xolodec в сообщении #1021053 писал(а):
В случае а), у меня получается, что у оператора единственное собственное число кратности 2 и оно, к тому же, равно нулю.

Этого не может быть, т.. пространство матриц четырёхмерно. Вы, похоже, неправильно поняли смысл задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 14:37 


29/04/14
139
ewert в сообщении #1021056 писал(а):
Вы, похоже, неправильно поняли смысл задачи.

А Вы можете пояснить смысл задачи? В пункте а) я, возможно ошибочно, исходил из предположения, что собственное число линейного оператора $\eta$, по определению: $$F(M) = \eta \cdot M$$ где M - собственная матрица. В четырехмерном случае это правило нарушается ? Или собственные числа в этой задаче имеют другую размерность? Я просто первый раз встречаюсь с задачами, где линейный оператор задан на пространстве матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 14:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
xolodec в сообщении #1021066 писал(а):
исходил из предположения, что собственное число линейного оператора $\eta$, по определению: $$F(M) = \eta \cdot M$$

Это правильно. Ну и сколько же, соответственно, должно быть собственных чисел с учётом кратности?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 14:53 


07/04/15
244
Есть идея рассмотреть все это дело в базисе из матричных единиц. Это будет хорошо, потому что оператор линейный. Сразу можно про след сказать, т.к. он тоже линейный и для матричных единиц понятный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 14:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
2old в сообщении #1021075 писал(а):
Есть идея рассмотреть все это дело в базисе из матричных единиц. Это будет хорошо

Смотря для чего. Для первого пункта -- да, хорошо. А для второго -- уже не очень, но про второй можно и после подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 15:37 


29/04/14
139
ewert в сообщении #1021072 писал(а):
Ну и сколько же, соответственно, должно быть собственных чисел с учётом кратности?...

Четыре, все правильно, ведь по определению, $Ax = \lambda x$, где $x \in L$, где $L$ - линейное пространство, в нашем случае пространство матриц. Тогда понятно, что значит
2old в сообщении #1021075 писал(а):
Есть идея рассмотреть все это дело в базисе из матричных единиц
Тогда матрица $F$ в базисе из собственных матриц (а эти собственные матрицы получатюся путем умножения соответствующей матричной единицы на некоторый скаляр), будет содержать в $f_{ij}$ позиции собственное число, правильно?
2old в сообщении #1021075 писал(а):
Сразу можно про след сказать, т.к. он тоже линейный и для матричных единиц понятный.
А вот про след не очень понятно. Что можно сказать про след, и как его можно применить ?
$$FM = \begin{pmatrix}
\lambda_1 \mu_1 m_{11} & \lambda_1 \mu_2 m_{12}  \\
\lambda_2 \mu_1 m_{21} & \lambda_2 \mu_2 m_{22} 
\end{pmatrix}$$
Мы можем записать что-то вроде: $$f_{11}m_{11} + f_{12}m_{21} + f_{21}m_{12} + f_{22}m_{22} = \lambda_1 \mu_1 m_{11} +  \lambda_2 \mu_2 m_{22}  $$ но я не очень понимаю, чем это нам может помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 15:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
xolodec в сообщении #1021095 писал(а):
будет содержать в $f_{ij}$ позиции собственное число, правильно?

Вообще говоря -- нет, разумеется. У Вас же тогда этих собственных чисел окажется аж шестнадцать -- немножко перебор.

xolodec в сообщении #1021095 писал(а):
$$FM = \begin{pmatrix}
\lambda_1 \mu_1 m_{11} & \lambda_1 \mu_2 m_{12}  \\
\lambda_2 \mu_1 m_{21} & \lambda_2 \mu_2 m_{22} 
\end{pmatrix}$$
Мы можем записать что-то вроде: $$f_{11}m_{11} + f_{12}m_{21} + f_{21}m_{12} + f_{22}m_{22} = \lambda_1 \mu_1 m_{11} +  \lambda_2 \mu_2 m_{22}  $$ но я не очень понимаю, чем это нам может помочь.

А выпишите матрицу оператора $F$ в том самом каноническом базисе для этого конкретного случая. (Следы тут ни к чему.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 16:22 


29/04/14
139
ewert в сообщении #1021100 писал(а):
А выпишите матрицу оператора $F$ в том самом каноническом базисе для этого конкретного случая.

Если я Вас правильно понял, то
Пусь $E_{ij}$ - матрица из одних нулей кроме $ij$ элемента, в котором стоит $1$. Тогда матрица оператора F $$F=f_{11}E_{11} + f_{12}E_{12} + f_{21}E_{21} + f_{22}E_{22}$$
Если честно, не очень понял, что означает
Цитата:
для этого конкретного случая

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 16:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
xolodec в сообщении #1021122 писал(а):
Тогда матрица оператора F $$F=f_{11}E_{11} + f_{12}E_{12} + f_{21}E_{21} + f_{22}E_{22}$$

Это вообще не матрица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 16:39 


29/04/14
139
ewert в сообщении #1021125 писал(а):
Это вообще не матрица.

Почему ? Самая обыкновенная матрица вида: $$\begin{pmatrix}
 f_{11}& f_{12}  \\
 f_{21}& f_{22}  
\end{pmatrix}$$
Вы можете как то более развернуто пояснить? Я Ваши сообщения уже выучил почти наизусть пока сто раз перечитывал, но не могу догадаться, что Вы имели в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 16:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
У Вас $E_{ik}$ -- это базисные векторы. А матрица оператора умножается уж во всяком случае отнюдь не на векторы как таковые. Что это вообще такое -- матрица оператора?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 17:15 


29/04/14
139
ewert в сообщении #1021137 писал(а):
Что это вообще такое -- матрица оператора?...

матрица оператора - способ представления линейного оператора в некотором базисе.
То есть, если у нас есть базис из векторов $E_{ik}$, то, чтобы получить матрицу оператора, нужно записать в столбцы этой матрицы образы базисных векторов при действии данного линейного оператора. Кажется так было. Ага!
То есть матрица линейного оператора будет иметь вид:
$$\begin{pmatrix}
\lambda_1 \mu_1 & 0 & 0 & \lambda_1 \mu_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 &  \lambda_2 \mu_1  & 0 & 0 &  \lambda_2 \mu_2   
\end{pmatrix}$$Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 17:50 


07/04/15
244
У вас получилось $4$ матрицы после воздействия оператором на базисные. Но их тоже нужно записать в базисных координатах! Для каждой матрицы получится вектор $4\times 1$ и в итоге матрица соответствующая оператору$4\times 4$, что добро :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5730
Новосибирск
xolodec в сообщении #1021152 писал(а):
То есть матрица линейного оператора будет иметь вид

Такой вид может иметь матрица линейного отображения из 8-мерного пространства в 2-мерное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group