2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 18:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
И, кроме того, xolodec: Вас не смущает, что в Вашей замечательной матрице наблюдается некая асимметрия?...

А ведь Ваше исходное выражение:

xolodec в сообщении #1021095 писал(а):
$$FM = \begin{pmatrix}
\lambda_1 \mu_1 m_{11} & \lambda_1 \mu_2 m_{12}  \\
\lambda_2 \mu_1 m_{21} & \lambda_2 \mu_2 m_{22} 
\end{pmatrix}$$

-- было весьма симметричным!

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 18:22 


29/04/14
139
2old в сообщении #1021159 писал(а):
Для каждой матрицы получится вектор $4\times 1$ и в итоге матрица соответствующая оператору$4\times 4$, что добро :)

Кажется, понял, спасибо большое. Будет следующее:
$$\begin{pmatrix}
 \lambda_1 \mu_1 &   0  &  0  &  0 \\
0 &   \lambda_1 \mu_2  &  0 & 0 \\
0 &   0  &  \lambda_2 \mu_1 &  0 \\
0 &   0 &  0 &  \lambda_2 \mu_2 
\end{pmatrix}$$
Правильно?
и вот они на диагонали собственные числа, верно?
ewert в сообщении #1021164 писал(а):
Вас не смущает, что в Вашей замечательной матрице наблюдается некая асимметрия?...

:-) Вы даже не представляете, когда пытаешься разобраться с незнакомой задачей, смущает все, потому что хочется привязать ее к чему то, что уже знаешь, а это всегда сразу не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 18:37 


07/04/15
244
Я выписал в общем виде для второго пункта (убрал под спойлер, чтобы не загромождать), но кажется это тупиковая идея :mrgreen: :facepalm:
Хотя выглядит все симметрично и красиво...хочется представить матрицу как произведение векторов $4\times 1$ и $1 \times 4$

(Оффтоп)

Заметим, что:
$AE_{ij}=a_{1i}E_{1j}+a_{2i}E_{2j}$
$E_{ij}B=b_{j1}E_{i1}+b_{j2}E_{i2}$
Тогда,
$$F(E_{ij})=a_{1i}b_{j1}E_{11}+a_{1i}b_{j2}E_{12}+a_{2i}b_{j1}E_{21}+a_{2i}b_{j2}E_{22}$$
Отсюда:
$$
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{21}  & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{21} \\ 
a_{11}b_{12} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{12} & a_{12}b_{22}\\ 
a_{21}b_{11} & a_{21}b_{21} & a_{22}b_{11}& a_{22}b_{21}\\ 
a_{21}b_{12} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{12} & a_{22}b_{22} 
\end{pmatrix}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 18:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
А во втором пункте давайте попытаемся ответ угадать. В первом случае получился вполне явный ответ; второй случай более общий, и ответ тоже должен получиться явным. Значит: или второй вопрос некорретен -- или что?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 19:01 


07/04/15
244
Ну второй пункт мне пришла в голову идея рассмотреть самый простой случай: когда у матриц $A$ и $B$ собственные числа различные и их произведение друг с другом различное.
Попробуем тогда предъявить $4$ (а больше их быть не может) различных собственных числа для оператора $F$. Возьмем такой вектор $x$, что $Ax=\lambda_i x$. Для матрицы $B$ заметим, что её собственные числа совпадают с матрицей $B^{*}$. Возьмем тогда вектор $y$, такой, что $B^{*}y=\mu_j y$.
Теперь, $x\cdot y^{*}$ это матрица $2\times 2$, значит можно на неё воздействовать оператором $F$:
$$
F(x\cdot y^{*})=Axy^{*}B=Ax\cdot(B^{*}y)^{*}=\lambda_i\mu_j \cdot  x y^{*}
$$

Получается такой же ответ :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные числа оператора
Сообщение29.05.2015, 19:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
2old в сообщении #1021184 писал(а):
рассмотреть самый простой случай: когда у матриц $A$ и $B$ собственные числа различные.

Они по условию разные. Причём в первом случае это условие просто не нужно, а во втором нужно лишь для того, чтобы гарантировать диагонализуемость матриц.

2old в сообщении #1021184 писал(а):
Получается такой же ответ :)

Конечно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group