Собственные числа оператора

[xolodec]

Пусть есть некоторый линейный оператор $F(M)$ на пространстве матриц 2х2.
Причем его действие описывается следующим равенством

$$F(M) = A \cdot M \cdot B$$

где A, B - некоторые матрицы 2х2.
Также известно, что собственные значения матрицы A: $\lambda_1 \ne \lambda_2$ и такое же условие на собственные значения матрицы B: $\mu_1 \ne \mu_2$.

Нужно найти собственные числа оператора в двух случаях:
а) A и B - диагональные матрицы
б) А и B - произвольные матрицы

У меня получается какая то ерунда. В случае а), у меня получается, что у оператора единственное собственное число кратности 2 и оно, к тому же, равно нулю.
Во втором случае я не могу много сказать про собственные числа оператора, кроме того, что если их два, то их произведение $\eta_1 \eta_2 = \lambda_1 \lambda_2 \mu_1 \mu_2 $, а если собственное число одно кратности два, то оно равно $\eta = \sqrt{\lambda_1 \lambda_2 \mu_1 \mu_2}$.
У меня вообще два вопроса:
1) Как правильно решить эту задачу ?
2) В каком случае при действительных коэффициентах матрицы линейного оператора его собственные числа комплексны?

[ewert]

xolodec в сообщении #1021053 писал(а):

В случае а), у меня получается, что у оператора единственное собственное число кратности 2 и оно, к тому же, равно нулю.

Этого не может быть, т.. пространство матриц четырёхмерно. Вы, похоже, неправильно поняли смысл задачи.

[xolodec]

ewert в сообщении #1021056 писал(а):

Вы, похоже, неправильно поняли смысл задачи.

А Вы можете пояснить смысл задачи? В пункте а) я, возможно ошибочно, исходил из предположения, что собственное число линейного оператора $\eta$, по определению:

$$F(M) = \eta \cdot M$$

где M - собственная матрица. В четырехмерном случае это правило нарушается ? Или собственные числа в этой задаче имеют другую размерность? Я просто первый раз встречаюсь с задачами, где линейный оператор задан на пространстве матриц.

[ewert]

xolodec в сообщении #1021066 писал(а):

исходил из предположения, что собственное число линейного оператора $\eta$, по определению:

$$F(M) = \eta \cdot M$$

Это правильно. Ну и сколько же, соответственно, должно быть собственных чисел с учётом кратности?...

[2old]

Есть идея рассмотреть все это дело в базисе из матричных единиц. Это будет хорошо, потому что оператор линейный. Сразу можно про след сказать, т.к. он тоже линейный и для матричных единиц понятный.

[ewert]

2old в сообщении #1021075 писал(а):

Есть идея рассмотреть все это дело в базисе из матричных единиц. Это будет хорошо

Смотря для чего. Для первого пункта -- да, хорошо. А для второго -- уже не очень, но про второй можно и после подумать.

[xolodec]

ewert в сообщении #1021072 писал(а):

Ну и сколько же, соответственно, должно быть собственных чисел с учётом кратности?...

Четыре, все правильно, ведь по определению, $Ax = \lambda x$, где $x \in L$, где $L$ - линейное пространство, в нашем случае пространство матриц. Тогда понятно, что значит

2old в сообщении #1021075 писал(а):

Есть идея рассмотреть все это дело в базисе из матричных единиц

Тогда матрица $F$ в базисе из собственных матриц (а эти собственные матрицы получатюся путем умножения соответствующей матричной единицы на некоторый скаляр), будет содержать в $f_{ij}$ позиции собственное число, правильно?

2old в сообщении #1021075 писал(а):

Сразу можно про след сказать, т.к. он тоже линейный и для матричных единиц понятный.

А вот про след не очень понятно. Что можно сказать про след, и как его можно применить ?

$$FM = \begin{pmatrix} \lambda_1 \mu_1 m_{11} & \lambda_1 \mu_2 m_{12} \\ \lambda_2 \mu_1 m_{21} & \lambda_2 \mu_2 m_{22} \end{pmatrix}$$

Мы можем записать что-то вроде:

$$f_{11}m_{11} + f_{12}m_{21} + f_{21}m_{12} + f_{22}m_{22} = \lambda_1 \mu_1 m_{11} + \lambda_2 \mu_2 m_{22} $$

но я не очень понимаю, чем это нам может помочь.

[ewert]

xolodec в сообщении #1021095 писал(а):

будет содержать в $f_{ij}$ позиции собственное число, правильно?

Вообще говоря -- нет, разумеется. У Вас же тогда этих собственных чисел окажется аж шестнадцать -- немножко перебор.

xolodec в сообщении #1021095 писал(а):

$$FM = \begin{pmatrix} \lambda_1 \mu_1 m_{11} & \lambda_1 \mu_2 m_{12} \\ \lambda_2 \mu_1 m_{21} & \lambda_2 \mu_2 m_{22} \end{pmatrix}$$

Мы можем записать что-то вроде:

$$f_{11}m_{11} + f_{12}m_{21} + f_{21}m_{12} + f_{22}m_{22} = \lambda_1 \mu_1 m_{11} + \lambda_2 \mu_2 m_{22} $$

но я не очень понимаю, чем это нам может помочь.

А выпишите матрицу оператора $F$ в том самом каноническом базисе для этого конкретного случая. (Следы тут ни к чему.)

[xolodec]

ewert в сообщении #1021100 писал(а):

А выпишите матрицу оператора $F$ в том самом каноническом базисе для этого конкретного случая.

Если я Вас правильно понял, то
Пусь $E_{ij}$ - матрица из одних нулей кроме $ij$ элемента, в котором стоит $1$. Тогда матрица оператора F

$$F=f_{11}E_{11} + f_{12}E_{12} + f_{21}E_{21} + f_{22}E_{22}$$

Если честно, не очень понял, что означает

Цитата:

для этого конкретного случая

[ewert]

xolodec в сообщении #1021122 писал(а):

Тогда матрица оператора F

$$F=f_{11}E_{11} + f_{12}E_{12} + f_{21}E_{21} + f_{22}E_{22}$$

Это вообще не матрица.

[xolodec]

ewert в сообщении #1021125 писал(а):

Это вообще не матрица.

Почему ? Самая обыкновенная матрица вида:

$$\begin{pmatrix} f_{11}& f_{12} \\ f_{21}& f_{22} \end{pmatrix}$$

Вы можете как то более развернуто пояснить? Я Ваши сообщения уже выучил почти наизусть пока сто раз перечитывал, но не могу догадаться, что Вы имели в виду.

[ewert]

У Вас $E_{ik}$ -- это базисные векторы. А матрица оператора умножается уж во всяком случае отнюдь не на векторы как таковые. Что это вообще такое -- матрица оператора?...

[xolodec]

ewert в сообщении #1021137 писал(а):

Что это вообще такое -- матрица оператора?...

матрица оператора - способ представления линейного оператора в некотором базисе.
То есть, если у нас есть базис из векторов $E_{ik}$, то, чтобы получить матрицу оператора, нужно записать в столбцы этой матрицы образы базисных векторов при действии данного линейного оператора. Кажется так было. Ага!
То есть матрица линейного оператора будет иметь вид:

$$\begin{pmatrix} \lambda_1 \mu_1 & 0 & 0 & \lambda_1 \mu_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2 \mu_1 & 0 & 0 & \lambda_2 \mu_2 \end{pmatrix}$$

Правильно?

[2old]

У вас получилось $4$ матрицы после воздействия оператором на базисные. Но их тоже нужно записать в базисных координатах! Для каждой матрицы получится вектор $4\times 1$ и в итоге матрица соответствующая оператору$4\times 4$, что добро :)

[bot]

xolodec в сообщении #1021152 писал(а):

То есть матрица линейного оператора будет иметь вид

Такой вид может иметь матрица линейного отображения из 8-мерного пространства в 2-мерное.